超聲換能器恒振幅控制策略研究

茍曉玲，徐 愷，陸鵬超，孫夢瑤

(1.河南科技大學 a.機電工程學院；b.機械裝備先進制造河南省協同創新中心，河南 洛陽 471003；2.東莞優超精密技術有限公司，廣東 東莞 523000)

0 引言

換能器超聲焊接工件是一個變負載的過程，會對換能器的固有特性(動態支路的參數)造成一定的影響，導致超聲換能器振幅出現衰減、增大、抖動等不穩定現象，影響工件成品的質量。針對這個問題，近年來，已有多位學者進行了換能器恒振幅控制研究。文獻[1]提出了基于埃爾曼(Elman)神經網絡的電流預測控制，能夠根據換能器的諧振頻率、阻抗、靜態電容和給定振幅等特定參數成功預測驅動電流值，但是該方法只針對單一的換能器進行控制，而且對某一特定的換能器需要大量的數據進行訓練，通用性不強。文獻[2]提出了基于換能器模型不確定性的魯棒控制算法，將非線性系統通過模糊辨識后，在有界擾動下有效地保持系統的穩定性，但是由于該算法過程比較繁瑣，因此在工程的實際應用中，對超聲電源主控芯片的運算速度要求較高。文獻[3]提出了典型的比例積分微分(proportion integration differentiation,PID)控制器，在變負載的情況下，雖然能保持較好的振幅穩定度，但是仍存在較大的穩態誤差。

以上幾種方法雖然在一定程度上實現了超聲換能器恒振幅控制，但是超聲換能器特性很難具有同一性，且以上算法難以消減穩態誤差，又過于復雜。本文在單神經PID控制器的基礎上，提出了改進型的單神經元模糊自適應PID的恒振幅控制算法，不僅能夠在給定電流的情況下縮短調節時間，降低系統輸出誤差，而且能在變負載的情況下輸出穩定的振幅。

1 換能器振幅模型理論

超聲波焊接系統換能器主要由鋼模、法蘭、變幅桿、陶瓷堆以及后蓋板組成。忽略換能器的機械損耗時，可等效為換能器Mason電氣模型圖，如圖1所示。圖1中，Zbi(i=1,2,3)、Zpi(i=1,2,3)、Zmi(i=1,2,3)和ZL分別為后蓋板、陶瓷堆、變幅桿鋼模以及外部負載的等效網絡阻抗[4-5]。根據力電類比法和電路等效模型理論，可以將圖1的電氣模型圖等效為一個集總系統，即等效為一個二端口網絡[6-8]，如圖2所示。在圖2中，Ui和Ii分別為換能器兩端的激勵電壓和激勵電流；UL和IL分別為機械端(鋼模端)的機械振動力和機械振速；ZL為機械等效負載阻抗，且有UL=ILZL；Z為換能器力電轉換矩陣，為換能器的固有參數。

圖1 換能器Mason電氣等效模型圖

圖2 換能器二端口網絡等效模型圖

換能器在產生機械振動時，對于振幅來說，其機械等效內阻損耗可以忽略不計，故換能器的力電轉換矩陣Z可以等效為純電抗性。由串并聯電阻計算公式和圖2的二端口網絡等效模型圖，得到關于矩陣Z的電學模型與動力模型的方程[9]：

(1)

將UL代入式(1)，則可得換能器機械端負載電流IL為：

(2)

又由換能器的阻抗特性可知，X22>>ZL，故由式(2)可得：

|IL|=|Ii|X21/X22。

(3)

當換能器諧振時，可知換能器振幅A為：

(4)

將式(3)代入式(4)得：

(5)

由式(5)可知：當系統處于串聯諧振狀態時，換能器的振幅A與換能器兩端的電流Ii成正相關。由此可知，當系統需要實現恒振幅輸出時，只需要把換能器兩端的電流有效值當做給定量進行恒電流控制，即可實現恒振幅控制。

2 換能器動態支路參數對換能器兩端電流iRa響應的影響

圖3 串接Ra后的換能器簡化等效電路圖

為了讓換能器在負載條件下實現恒振幅控制，需要分析負載對換能器特性的影響。由文獻[10-11]可知:當換能器在諧振頻率點附近工作時，可將圖1等效為由動態支路(動態電感L1，動態電容C1，動態電阻R1)和靜態支路(靜態電容C0)并聯而成的網絡圖，且負載對換能器特性的影響最終會映射到換能器動態支路各個參數的變化上。基于此，本文使用單一變量法，在諧振頻率條件下，確定影響換能器兩端電流iRa響應的主要參數。為此，在主支路上串接一個阻值為0.01 Ω的測量電流電阻Ra來測量換能器兩端的電流iRa，然后建立該等效電路的狀態方程組。圖3為串接測量電阻Ra后的換能器簡化等效電路圖。令x1(t)=uC0(t)，x2(t)=iL1(t)，x3(t)=uc1(t)，則由基爾霍夫電壓定律(Kirchhoff voltage laws，KVL)和基爾霍夫電流定律(Kirchhoff current laws，KCL)得超聲換能器系統的狀態方程為：

(6)

由圖3可得換能器兩端的電流iRa：

(7)

當換能器處于串聯諧振狀態時，激勵頻率為：

(8)

所使用的換能器參數如表1所示，該參數由阻抗分析儀測量所得。由于負載只影響動態支路參數，故不需要考慮靜態支路電容C0對電流響應的影響。

表1 換能器參數

2.1 L1對超聲換能器兩端電流iRa的影響分析

由式(8)可知:當只改變動態電感L1時，諧振頻率fs也會改變，故為了保證換能器在諧振頻率條件下，相應的激勵頻率值也需要根據式(8)進行調整。保持R1、C1不變，L1的改變對換能器兩端電流響應的影響如圖4所示。

由圖4可得：當換能器處于串聯諧振狀態時，電流響應的上升時間與L1成正比，但是穩態電流是恒定的，這表明L1的改變與穩態電流值無關，僅與電流響應的上升時間有關。

2.2 C1對超聲換能器兩端電流iRa的影響分析

同理，保持R1、L1不變，C1的改變對換能器兩端電流響應的影響如圖5所示。

圖4 L1的改變對換能器兩端電流響應的影響

圖5 C1的改變對換能器兩端電流響應的影響

由圖5可得：不同動態電容值下的電流響應曲線幾乎重合，可見在諧振頻率條件下，C1的改變與電流響應上升時間和穩態電流均無關。

2.3 R1對超聲換能器兩端電流iRa的影響分析

由式(8)可知:改變動態電阻，不影響換能器的諧振頻率，故不需要對諧振頻率進行調整。同理，保持L1、C1不變，R1的改變對換能器兩端電流響應的影響如圖6所示。由圖6可得：隨著動態電阻的增大，換能器電流響應的最終穩態值降低，上升時間隨著動態電阻減小而增大。

由以上分析可知:當換能器工作在串聯諧振頻率fs狀態下，受到負載時，電流iRa的上升時間和穩態值主要與R1有關。忽略C1和L1變化量的影響，機械負載阻抗ZL可以等效為機械負載電阻RL，由此可得：在串聯諧振頻率fs狀態下，當換能器受到負載時，可將動態電阻的變化量等效為機械負載電阻RL。由于動態支路L1與C1發生串聯諧振，兩者的阻抗相互抵消，故可將換能器電路模型等效為由靜態電容C0和動態電阻R1、機械負載電阻RL并聯組成的網絡，如圖7所示。圖7中，R1為換能器未受到負載時,阻抗分析儀測量得到的阻值，RL則表示換能器受到負載時機械負載的大小。

圖6 R1的改變對換能器兩端電流響應的影響

圖7 串聯諧振狀態下換能器等效負載電路

3 換能器功率因數的匹配校正

(9)

為了使Zi最小，則令式(9)虛部等于0，得：

L0=C0(R1+RL)2/[1+(ωsC0(R1+RL))2]。

(10)

在實際應用中，由于R1>>RL,故式(10)化簡為：

L0=C0R12/[1+(ωsC0R1)2]。

(11)

圖8 換能器串聯電感調諧匹配電路

將表1數據代入式(11)，得L0=0.000 014 470 8 H。應當指出，上述匹配方法屬于靜態匹配，在超聲焊接過程中，由于溫漂換能器的工作頻率點會發生改變，L0的值也應該做出相應的微調，同時也要對發生器工作頻率進行調整。由于本文主要研究振幅的控制，暫不考慮溫漂對換能器的影響。同時，以下恒振幅控制研究都有一個前提，即換能器當前工作在串聯諧振頻率點上。

4 單神經元自適應PID控制

4.1 離散型增量式PID控制器

離散型增量式PID控制器由比例項P、積分項I和微分項D 3個部分組成，其增量式公式為：

△u(k)=kp(e(k)-e(k-1))+kie(k)+kd(e(k)-2e(k-1)+e(k-2))；

(12)

u(k)=u(k-1)+△u(k)。

(13)

典型的PID控制器通過離線調整好參數后，只要系統的狀態參數沒有發生很大的改變，一般都能夠適應控制系統的要求。但是當系統原來的狀態參數發生變化或者負載發生變化后，原系統的控制參數就可能不再適應，為此，需要對典型的PID控制器進行改進。

4.2 單神經元自適應PID控制器

典型的PID控制器雖然在一定的負載條件下可以滿足性能需求，但是當負載發生變化時，單一的PID參數難以適應負載的變化，造成系統輸出產生偏差。本節針對典型PID控制器的單一參數不能滿足變負載恒振幅問題，引入了單神經元自適應PID控制器[14-15]。單神經元自適應PID控制器不僅結構簡單，而且魯棒性好，對外界干擾能夠自發調節[16]，若令：

(14)

則可將式(13)轉化為單神經元自適應PID控制器網絡結構圖[16-18]，如圖9所示。

圖9 單神經元自適應PID控制器

在圖9中，輸入層xj(k)(j=1,2,3)和輸出層△u(k)之間的連接權wj(k)(j=1,2,3)為PID控制器的3個參數kp、ki和kd，輸出層則對應于增量式PID的△u(k)，故可將式(12)寫成：

(15)

在式(15)中，K為神經元比例系數，主要影響系統的響應速度，且K值與系統響應速度成正比，但該值過大則會導致系統超調，而且在受到干擾后可能使系統發散不穩定。wj(k)為連接權，本文選擇有導師信號的Hebb學習規則，即可以通過誤差信號來對wj(k)進行調整，則wj(k)修正規則為：

(16)

其中：ηp、ηi、ηd分別為比例、微分、積分3個部分的學習速率，通過采用不同的學習速率，可以讓系統根據特性進行相應的調整。顯然，在導師信號ek和適當的學習率的作用下，控制器會通過式(16)的學習不斷調整連接權wj(k)來自適應在線地調節PID參數kp、ki、kd，直至系統穩定，降低系統穩態誤差。然而，該方法雖然能動態地調節PID的3個參數，但是如果每項的學習速率是固定的，仍然難以實現自適應調節PID參數，所以學習速率也必須能夠根據不同階段自行調整。為此，進一步對單神經元自適應PID控制器進行改進。

4.3 單神經元自適應PID的改進

系統的單位階躍響應存在3個階段：上升階段、調整階段和穩態階段。顯然，每個階段偏差ek以及偏差變化率△ek的大小、方向都存在明顯的區別，PID參數在線學習修正不僅與偏差ek有關，還與偏差變化率△ek有關，故為了加快神經元網絡的學習速率，在式(16)的基礎上，將xj(k)項替換成(e(k)+△e(k))，可得新的連接權wj(k)學習規則為：

(17)

另外，還可以通過增大ηp、ηi、ηd來提高系統的學習速率，加快神經網絡收斂速度，但是參數過大可能會造成系統振蕩，或者超調；參數過小，收斂速度可能變慢。故可以根據ek和△ek來調整學習速率。本次訓練中，選取3組數據，分別記為組1、組2和組3。

每組數據在不同的階段有不同的特性：對于組1，可以加快系統的上升速度，但接近期望值時，受到干擾后容易振蕩，此組數據值為ηp大、ηd大、ηi大；對于組2，可以讓系統在期望值附近振蕩的時候快速穩定，降低超調量，但受到干擾后仍會容易振蕩，此組數據值為ηp大、ηd小、ηi小；對于組3，系統響應速度變慢，但是不會有超調現象，受到干擾后不會有很明顯的振蕩現象，此組數據值為ηp小、ηd小、ηi小。

根據以上3組數據的特性，在不同階段使用相應的數據，使系統快速穩定地達到期望值。模糊控制規則如下：

(Ⅰ)當ek較大，而△ek較小時，說明系統開始追蹤目標，當前值離目標期望值較大，這時候應該選取組1進行調整。

(Ⅱ)當ek較大，而△ek較大時，說明系統正在追蹤目標，應該保持組1的值來調整。

(Ⅲ)當ek較小，而△ek依然比較大時，說明系統已經追蹤到目標附近，這時候為了避免系統因微分抖動而振蕩，應該選取組2的值進行調整。

(Ⅳ)當ek較小，而△ek較小時，說明此時系統處于穩定狀態，為了使系統不容易受到干擾而抖動振蕩，應該使用組3的值來調整。

5 換能器恒振幅控制Simulink仿真實驗及分析

5.1 匹配后換能器系統狀態方程的建立

為了驗證改進型的單神經元模糊自適應PID控制器對恒振幅控制的有效性，首先，對匹配后的換能器系統建立狀態方程。在換能器一端串聯1個匹配電感L0后，為建立狀態方程組，保留L1與C1，則可將圖8轉換為圖10，并令x1(t)=iL0(t)，x2(t)=iL1(t)，x3(t)=uC0(t)，x4(t)=uC1(t)，由KVL和KCL，可得系統狀態方程組為：

(18)

圖10 換能器串聯電感匹配電路

5.2 換能器給定電流階躍響應仿真實驗

在各個控制器的PID輸出設定電壓限幅，假設實際工作時電壓最大為1 000 V，給定電流序列為0.4 A、0.7 A、0.3 A，3種控制器的初始PID參數是一致的，kp、ki和kd分別取100、0.8和2。對于未改進型的單神經元PID控制器，各個學習率值為ηp=ηi= 0.025，ηd= 0.2。對于改進型的單神經PID控制器，3組學習率分別為：組1，ηp= 27，ηi= 0.185，ηd= 0.8；組2，ηp=27，ηi= 0.039，ηd= 0.2；組3，ηp= 8，ηi= 0.039，ηd= 0.2。

圖11為3種控制方式的階躍電流響應及局部放大圖。由圖11a可以得出：對于典型PID控制器來說，給定階躍電流信號，產生的電流穩態越大，誤差越大。圖11b是圖11a在1～3 ms的局部放大圖。從圖11b中可以得出：對于典型的PID控制器，由于單一控制參數，不能在線地根據偏差以及偏差變化量來進行參數調整，穩態誤差只能維持當前值附近不變，根據公式算得穩態誤差為2.50%。而單神經元自適應PID控制器通過不斷地檢測誤差和誤差變化量，調整PID控制器的參數，最終使穩態誤差小于0.13%。由于單一的參數學習率，仍不能根據偏差和偏差變化量來調節學習率，導致調節時間過長，調節時間為2.5 ms。而改進型的單神經元模糊自適應PID控制器根據電流誤差以及誤差變化量來調整學習率ηp、ηi、ηd，進而自適應地調整PID控制器的參數，使得后者的電流響應時間小于前者的電流響應時間，電流響應調節時間由2.5 ms縮短至1.7 ms。改進型的單神經元模糊自適應PID控制器的電流響應穩態誤差小于0.13%。

5.3 換能器在負載干擾下恒電流仿真實驗

給定負載干擾序列(數據進行了歸一化處理)：0.375、0.3；給定電流值為0.4 A。圖12為3種控制方式在負載干擾下的電流控制及局部放大圖。由圖12a可知：超聲換能器系統受到階躍負載信號后，無論負載大小，典型PID控制器均不能維持原電流狀態，穩態誤差反而變大。圖12b是圖12a在3～7 ms的局部放大圖。由圖12b可知：當超聲換能器系統受到1個階躍負載信號后，典型PID控制器不能繼續維持原電流狀態，穩態誤差反而變大，輸出電流由0.390 A降到0.385 A，即穩態誤差由原來的2.50%增大至3.75%。而單神經元自適應PID控制器和改進型的單神經元模糊自適應PID控制器都能夠迅速響應并且維持在(0.4±0.25%)A，兩者的調節時間約為0.22 ms。

(a) 3種控制方式的階躍電流響應

(b) 局部放大圖

(a) 3種控制方式在負載干擾下的電流控制

(b) 局部放大圖

6 結束語

本文對超聲焊接換能器的振幅與電流的關系建模，得出控制電流即可控制振幅的正相關線性關系。基于單一變量法確定動態電阻是影響換能器電流響應的主要因素，同時使用串聯電感匹配法對換能器進行功率因數校正，使換能器輸出功率達到最大。針對傳統單一參數的典型PID控制器難以適應超聲焊接換能器多場合負載問題，引入了單神經自適應PID控制器。但是由于單參數學習速率低，導致調節時間仍然較長，所以在此基礎上，提出了改進型的單神經元模糊自適應PID控制算法。根據電流偏差以及偏差率來動態調整PID參數的控制算法，能夠極大地改善超聲換能器恒振幅控制效果。