多線性Marcinkiewicz高階交換子在變指數Herz-Morrey空間上的有界性

韓 晶,葉曉峰

(華東交通大學 理學院，江西 南昌 330013)

0 引言

各類算子在不同空間上的有界性刻畫一直是調和分析的主要問題。當算子的核函數滿足不同條件時，算子的性質也就不同。文獻[1]研究了帶變量核的Marcinkiewicz算子的有界性。文獻[2]研究了帶奇變量核的Marcinkiewicz算子的有界性。文獻[3]研究了帶粗糙核的Marcinkiewicz算子的有界性。文獻[4]研究了當粗糙核Ω滿足零階齊次函數和Ω∈Lipα(Sn-1)(0<1≤α)時，Marcinkiewicz型積分算子及其交換子在變指數Herz-Morrey空間上的有界性。以上文獻僅僅研究了當核函數滿足一定條件時，線性算子及其交換子的有界性。文獻[5]研究了Marcinkiewicz高階交換子在變指數Herz-Morrey空間上的有界性。文獻[6]證明了多線性奇異積分算子與有界平均振動(bounded mean oscillation, BMO)函數生成的交換子在變指數Herz-Morrey 空間上的有界性。基于以上研究，本文研究并確定了當核函數滿足一定條件時，多線性Marcinkiewicz算子與BMO函數生成的高階交換子在變指數Herz-Morrey空間上的有界性。

1975年，文獻[7]開始了對多線性算子的研究，并給出多線性算子的定義:

假設核函數K滿足下面的尺寸條件，即對所有的x,y1,…,ym∈Rn，只要存在1≤j≤m，滿足x≠yj，有

以及核函數K滿足正定性條件，即存在常數δ∈(m,+)，對每個正數M滿足2|x-x′|

其中，b為BMO函數，定義如下:

設b∈Lloc(Rn)，若b的平均振動是有界的，即M#b∈L，則稱b為BMO函數，其全體記作BMO(Rn)，稱為BMO函數空間，簡記為BMO。

設B(x,r)={y∈Rn:|x-y|0,C2>0,使C1B≤A≤C2B。

定義1[9]設p(·):E→[1,)是一個可測函數。

(Ⅰ)變指數Lebesgue空間Lp(·)(E)定義為：

Lp(·)(E)={f可測ρp(f/λ)<對某些常數λ成立},其中

定義

p-=ess inf {p(x):x∈E},p+=ess sup {p(x):x∈E}。

集合P(Rn)表示由所有滿足1

(Ⅲ)設α∈R,0

其中，范數表示為:

1 引理

引理1[10]當0

(1)

引理2[11]如果p(·)∈P(Rn),存在一個常數C>0,且對于所有球B在Rn中，下面不等式成立：

(2)

引理3[10]如果p(·)∈P(Rn),存在常數0<γ<1和C>0，對任意的球B?Rn和任意的可測子集S?B,有下面的不等式成立

(3)

A=B(0,r)B(0,r/2)。如果|A|≥2-n，則有

‖χA‖p(·)≈|A|1/p(x),

(4)

這里隱含常數不依賴r且x∈R。

(5)

其中：

設E是Rn中的開集，如果p(·)∈P(Rn)，且滿足下面兩個條件：

(6)

(7)

則有p(·)∈B(Rn)。

引理7[15]如果b∈BMO(Rn),m∈N,i,j∈Z滿足i

(8)

(9)

2 主要結果

定理1設p(·)∈P(E),p(·)滿足引理6中的式(6)和式(7)，其中

當m=2時，

根據變指數Herz-Morrey空間的定義

由于E2和E3對稱，則只要分析E1，E2，E4即可。根據核函數K滿足尺寸條件和Minkowskiw不等式，

B1+B2。

由中值定理可得：

(10)

由E1注意到i≤k-2，j≤k-2,且|x-y1|～|x|～2k，|x-y2|～|x|～2k,其中x∈Ak，y1∈Ai，y2∈Aj。則根據引理5、中值定理和式(10)可得：

則‖[b1,b2,μ](fi,gj)(x)χk‖Lp(·)(Rn)≤C2-2kn‖I1χk‖Lp1(·)(Rn)‖I2χk‖Lp2(·)(Rn)。先分析‖I1χk‖Lp1(·)(Rn):

則根據引理7，可得：

再分析‖I2χk‖Lp2(·)(Rn)，同‖I1χk‖Lp1(·)(Rn)分析一樣，可得：

(11)

由引理4，可得：

(12)

可得：

當0

當1

當1

由E2可注意到i≤k-2,j≥k-1,且|x-y1|～|x|～2k,|x-y2|～|max{|x|,|y2|}|～max{2j,2k},其中x∈Ak，y1∈Ai，y2∈Aj。當j≥k-1，有兩種情況:當k>j時,B1,B2和E1中的B1,B2得到的結果一樣;當k

b2(y2)gj(y2)dy2=C2-kn2-jnI1I2。

‖[b1,b2,μ](fi,gj)(x)χk‖Lp(·)(Rn)≤C2-kn2-jn‖I1χk‖Lp1(·)(Rn)‖I2χk‖Lp2(·)(Rn)。

分析‖I1χk‖Lp1(·)(Rn)，‖I2χk‖Lp2(·)(Rn)和E1中的‖I1χk‖Lp1(·)(Rn),‖I2χk‖Lp2(·)(Rn)一樣，可得：

注意到：‖χi‖Lp(·)(Rn)≤‖χBi‖Lp(·)(Rn),最后可得：

‖[b1,b2,μ](fi,gj)(x)χk‖Lp(·)(Rn)≤C2-kn‖b‖2BMO(Rn)(k-i)‖fi‖Lp1(·)(Rn)‖χBk‖Lp1(·)(Rn)×

(13)

由引理2，可得：

(14)

由引理3，可得：

‖b‖2BMO(Rn)C2(i-k)nγ1(k-i)2(k-j)nγ2×(j-k)‖fi‖Lp1(·)(Rn)‖gj‖Lp2(·)(Rn)。

當1

E223與E221的形式一樣，E224與E222的形式一樣,則用同樣的方法估計不等式可得：

當1

由E4可注意到i>k-1,j>k-1。分下面4種情況：當ik和i>k,jk,j>k時, 其中x∈Ak,y1∈Ai,y2∈Aj。|x-y1|～|y1|～2i,|x-y2|～|y2|～2j。與E1中B1,B2的分析方法相同，可得：B1≤C2-in2-jnI1I2和B2≤C2-in2-jnI1I2。

與E2中‖[b1,b2,μ](fi,gj)(x)χk‖Lp(·)(Rn)的方法相同，可得：

‖[b1,b2,μ](fi,gj)(x)χk‖Lp(·)(Rn)≤

C‖b‖2BMO(Rn)2(i-k)nγ1(i-k)2(k-j)nγ2(j-k)‖fi‖Lp1(·)(Rn)‖gj‖Lp2(·)(Rn)。

可得：

E41和E42的形式與E22的形式一樣，可得：

定理1證畢。