基于復積分論柯西積分定理與柯西積分公式之異同

崔冬玲

摘 要： 柯西積分定理與柯西積分公式是計算復積分的理論基礎，也是聯系復積分與留數相關知識的紐帶，在復變函數論中占有十分重要的地位。首先從應用條件及結論上說明兩者間的聯系，再通過實際例子論述兩者之間的不同，以期在計算復積分時提供便捷。

關鍵詞：復積分;柯西積分定理;柯西積分公式

柯西積分定理和柯西積分公式與復積分的關系密切。而復積分無論從定義的角度看還是從計算的角度看，它均離不開實函數中的第二類曲線積分。因此，對坐標的曲線積分非常成功地滲透到了復積分的計算中去，而此類積分的兩個標志性的特點——格林公式、積分與路徑無關等相關內容在復積分中也體現得淋漓盡致。特別是積分與路徑無關的問題，映射到復積分中即為柯西積分定理。柯西積分公式是為一類閉曲線上的復積分提供一種比較便捷的算法，它較利用積分與路徑無關以及復積分的基本算法有很大的優越性。但柯西積分定理與柯西積分公式在名稱、應用條件和結論等方面既有相似之處，又各有特色。下面針對以上問題展開討論，以免在應用兩者時產生混淆，進而加深對柯西積分定理與柯西積分公式的理解。

一、柯西積分定理與柯西積分公式理論上的聯系

柯西積分定理與柯西積分公式在名稱上只差兩個字，它們均與復積分的計算有關，更確切地說，它們的結論都是以復積分的形式體現的。它們都是既適合單連通區域又適合復連通區域。從某種意義上講，柯西積分公式中包含了柯西積分定理的一些思想，具體體現在復連通區域的情形，即定理4中有定理2的影子。

從兩者的使用條件上看，柯西積分定理要求在積分曲線及其內部解析，而柯西積分公式的條件略有降低，它只需在曲線所圍區域內解析，在曲線及所圍區域上連續即可，因此，柯西積分公式的結論比柯西積分定理的結論在形式上要復雜。

從兩者的結論表達方式上看，柯西積分定理是被積函數在積分曲線所圍的區域內解析，其積分值為零;而柯西積分公式中被積函數是一個分式，其在積分曲線所圍的區域內有奇點，將作為分母，分子在積分曲線所圍的區域內解析，整個的積分值等于。在具體的做題過程中，如何找到所謂的是關鍵所在。

總之，柯西積分定理與柯西積分公式在理論上既有相同之處，又有內在的聯系，在具體應用的過程中要仔細甄別，以達到事半功倍的效果。

二、柯西積分定理與柯西積分公式應用上的不同

柯西積分定理是解決解析函數的復積分問題，而柯西積分公式是解決被積函數是分式的復積分問題。下面以實際的例子來說明二者在應用時的相異性，以及在計算復積分時所體現出來的優越性。

例1? 計算下列積分值

（1）（2）

解：（1）根據柯西積分定理：

（2）根據柯西積分定理：

注：這兩道題的被積函數的奇點均不在積分曲線內，即被積函數在積分曲線所圍的區域內是解析的，完全符合柯西積分定理的條件，直接得出結果實0。

例2? 計算

解：是被積函數的奇點，且都在曲線內部。

注：該題主要體現的是柯西積分公式的應用，它的特點在于：一方面是復連通區域上的柯西積分公式，另一方面是在整理被積函數的過程中，要將產生奇點的因式的系數化為1。具體體現在這個式子中，它不可以寫成，因為柯西積分公式里被積函數的分母是，的系數是1。同樣注意到兩條曲線與是互不相交且完全含于曲線的，而且類似這樣的曲線表達方式不唯一，只要滿足互不相交且完全含于整個的積分曲線內即可，這個可以畫圖說明，也可以定量的寫出，只要滿足條件即可。

例3? 計算，其中是包含0與2的簡單閉曲線。

解：

注：該方法是柯西積分定理與柯西積分公式的一個結合。首先利用復連通區域上的柯西積分定理，這里注意兩條曲線與是互不相交且完全含于曲線的，而且類似這樣的曲線表達方式不唯一，只要滿足互不相交且完全含于整個的積分曲線內即可，這個可以畫圖說明，也可以定量的寫出，只要滿足條件即可。然后利用復連通區域上的柯西積分公式，在用該公式的時候，先要弄清楚被積函數在積分區域內的奇點，讓產生奇點的因式作為分母，且的系數為1，其他的部分都作為分子，再利用公式，在分子代數值時要注意，誰是奇點就代誰的值，最后算出結果。

總之，柯西積分定理與柯西積分公式確實在理論和實際應用中存在差異，但它們都是為計算曲線積分而服務的。在具體應用的過程中也體現出二者相結合的現象。由于柯西積分定理的條件較強，而柯西積分公式的條件相對較弱，所以柯西積分公式的應用更加廣泛。從實例中可以看出，兩者在計算復積分時體現了比基本計算方法更便捷。特別是遇到用定性的方式描述積分曲線，或者是積分曲線不容易用參數方程表示的時候，柯西積分定理與柯西積分公式便體現出其優越性。

參考文獻：

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【基金項目：1.淮南師范學院校級重點教學研究改革項目：“金課”建設目標下大學數學線上線下混合式教學改革的研究（2020hsjyxm08）.2.安徽省質量工程項目：線上課程（原MOOC）：微積分（2020mooc475）;3.淮南師范學院科研創新團隊建設計劃資助“微分代數系統的分析控制及應用創新團隊”（XJTD202008）。】