基于干擾觀測(cè)器的航天器編隊(duì)抓捕控制方法

王小龍, 孫沖, 方群, 李琪,2, 宋碩

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072; 2.西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所, 陜西 西安 710065)

空間失效目標(biāo)和空間碎片的增多,導(dǎo)致地球衛(wèi)星軌道資源日趨緊張,面向低速翻滾的空間非合作目標(biāo)的抓捕具有極大的研究?jī)r(jià)值和應(yīng)用前景。由于非合作目標(biāo)本身故障而喪失姿態(tài)軌道調(diào)整能力導(dǎo)致其不可控,因此目標(biāo)往往會(huì)因受到各種攝動(dòng)和擾動(dòng)影響而處于自由翻滾狀態(tài)。由于傳統(tǒng)的集成大型航天器系統(tǒng)體積大,靈活性差、成本高,在對(duì)空間低速翻滾的非合作目標(biāo)進(jìn)行抓捕時(shí)需要更大的安全冗余與更高精度的控制方法。與之相比,采用小型航天器編隊(duì)或集群協(xié)同抓捕非合作目標(biāo)擁有更高的可靠性及靈活性,已經(jīng)引起了研究者的廣泛關(guān)注[1]。由于近距離階段相對(duì)運(yùn)動(dòng)姿軌耦合更加嚴(yán)重,且非合作目標(biāo)失控翻滾以及外部干擾的存在,使得為航天器編隊(duì)設(shè)計(jì)安全可靠的控制器變得十分困難。

到目前為止,在多航天器的位置與姿態(tài)的協(xié)同控制方面已經(jīng)有了大量的研究成果。文獻(xiàn)[2]基于有向圖設(shè)計(jì)了一種可消除多跳變時(shí)延影響的多航天器編隊(duì)姿態(tài)跟蹤控制律,解決了在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中的航天器編隊(duì)在跳變時(shí)延條件下的姿態(tài)一致性問(wèn)題。文獻(xiàn)[3]在無(wú)角速度測(cè)量和飽和輸入條件下,針對(duì)航天器編隊(duì)的姿態(tài)跟蹤問(wèn)題,提出一種基于干擾觀測(cè)器的終端滑模有限時(shí)間控制律。在姿態(tài)同步的基礎(chǔ)上,針對(duì)多航天器編隊(duì)的重構(gòu)與軌道保持問(wèn)題,文獻(xiàn)[4]提出一種基于人工勢(shì)場(chǎng)方法保持共面四邊形的主從式航天器編隊(duì)的編隊(duì)保持方法,實(shí)現(xiàn)小推力航天器的長(zhǎng)周期軌道保持。文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)了主從式航天器的編隊(duì)飛行軌道與構(gòu)型,研究了有限通信信息和變化通信拓?fù)錀l件下的航天器編隊(duì)協(xié)同保持控制方法。然而,上述文獻(xiàn)沒(méi)有考慮到實(shí)際任務(wù)中的安全避碰問(wèn)題。

進(jìn)一步,考慮到工程中可能存在的空間障礙,已經(jīng)有多種避障方法被廣泛研究,如人工勢(shì)場(chǎng)法[6]、模型預(yù)測(cè)控制[7]和最優(yōu)控制方法[8]等。文獻(xiàn)[9]研究了一種基于反步法的有限時(shí)間編隊(duì)避障控制問(wèn)題,使編隊(duì)可以沿著預(yù)定軌跡移動(dòng)的同時(shí)避開(kāi)障礙,并最終重構(gòu)為預(yù)定編隊(duì)構(gòu)型。文獻(xiàn)[10]針對(duì)航天器編隊(duì)中的故障容錯(cuò)、避障等問(wèn)題,提出一種將人工勢(shì)場(chǎng)與自適應(yīng)滑?？刂坡上嘟Y(jié)合的方法,使得編隊(duì)在實(shí)現(xiàn)目標(biāo)追蹤和構(gòu)型保持的同時(shí),能夠具備規(guī)避障礙物的能力?？紤]到通信距離與碰撞規(guī)避約束,文獻(xiàn)[11]提出一種基于干擾觀測(cè)器與人工勢(shì)場(chǎng)方法相結(jié)合的航天器編隊(duì)分布式協(xié)同控制方法,保證編隊(duì)航天器之間的隊(duì)形保持。然而,上述控制方法大部分考慮到編隊(duì)系統(tǒng)內(nèi)部避障,但較少考慮航天器編隊(duì)與目標(biāo)的避障問(wèn)題。

綜上所述,本文針對(duì)抓捕空間非合作目標(biāo)的多航天器協(xié)同控制問(wèn)題,在考慮安全約束、推力約束以及終端狀態(tài)編隊(duì)構(gòu)型約束的情況下,提出了一種基于干擾觀測(cè)器的協(xié)同避碰控制方法。本文的主要貢獻(xiàn)如下:

1) 與文獻(xiàn)[12]中用球體描述目標(biāo)外形相比,本文利用超二次曲面來(lái)描述目標(biāo)和抓捕航天器的外形,建立復(fù)合人工勢(shì)場(chǎng),更加接近目標(biāo)的幾何形狀,從而實(shí)現(xiàn)避免碰撞的控制目標(biāo);

2) 考慮到抓捕過(guò)程中存在的外部干擾,利用干擾觀測(cè)器對(duì)復(fù)合干擾進(jìn)行估計(jì)并在控制律的設(shè)計(jì)中進(jìn)行抵消,更加符合工程實(shí)際。

1 航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型及預(yù)備知識(shí)

1.1 坐標(biāo)系建立

如圖1所示,為了描述多航天器之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系,定義如下坐標(biāo)系:

1) 地心慣性坐標(biāo)系Fi={Oi,xi,yi,zi}。坐標(biāo)系的原點(diǎn)Oi固定于地球質(zhì)心,Oixi軸指向春分點(diǎn),Oizi軸指向南極點(diǎn),Oiyi軸、Oixi軸與Oizi軸共同構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

2) 抓捕航天器本體坐標(biāo)系Fc={Oc,xc,yc,zc}。坐標(biāo)系的原點(diǎn)Oc固定于抓捕航天器的質(zhì)心,Ocxc軸指向抓捕航天器的對(duì)接軸,Ocyc軸,Oczc軸與抓捕者的其他2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量主軸對(duì)齊,并且Ocyc軸,Oczc軸與Ocxc軸共同構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

3) 目標(biāo)航天器本體坐標(biāo)系Ft={Ot,xt,yt,zt}。坐標(biāo)系原點(diǎn)Ot固定于目標(biāo)航天器的質(zhì)心,Otxt軸指向目標(biāo)航天器主對(duì)接軸的反方向,Otyt軸,Otzt軸與抓捕者的其他2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量主軸對(duì)齊,并且Otyt軸,Otzt軸與Otxt軸共同構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

1.2 基于修正羅德里格斯參數(shù)的相對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型

基于修正羅德里格斯參數(shù)的相對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程為[13]

(1)

式中

(2)

式中,σe,i∈R3為修正羅德里格斯參數(shù),表示抓捕航天器i相對(duì)于目標(biāo)的姿態(tài),其中i=1,2,3;ωe,i∈R3表示抓捕航天器相對(duì)于目標(biāo)的角速度,其表達(dá)式為

(3)

對(duì)于任意的矢量x=[x1,x2,x3]T∈R3,S(x)∈R3×3表示一個(gè)3×3的反對(duì)稱(chēng)矩陣,其表達(dá)式為

(4)

(5)

抓捕航天器相對(duì)于目標(biāo)的相對(duì)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為[13]

(6)

式中

式中：Jc∈R3×3表示抓捕航天器的慣量矩陣;τi∈R3和τd,i∈R3分別表示控制力矩和外界干擾力矩。

1.3 相對(duì)位置運(yùn)動(dòng)模型

抓捕航天器相對(duì)于目標(biāo)的相對(duì)位置運(yùn)動(dòng)方程[13]為

(9)

(10)

式中：ve,i∈R3表示第i個(gè)抓捕航天器相對(duì)于目標(biāo)的速度矢量在其本體系Fc中的投影;mc表示抓捕航天器的質(zhì)量;fi∈R3和fd,i∈R3表示控制力和外界干擾力;nt,i∈R3的表達(dá)式為

(11)

式中：ρc,i∈R3表示第i個(gè)抓捕航天器相對(duì)于慣性系的位置矢量在其本體系Fc中的投影;ρt∈R3表示目標(biāo)相對(duì)于慣性系的位置矢量在其本體系Ft中的投影;μ為地球引力常數(shù);rt,i表示抓捕航天器i的期望抓捕位置;Cm,i∈R3×3的表達(dá)式為

(12)

1.4 引理與假設(shè)

為了方便后續(xù)控制律的設(shè)計(jì),本文結(jié)合實(shí)際工程情況引入以下假設(shè)和引理:

引理1[14]對(duì)于反對(duì)稱(chēng)矩陣S(·),有如下性質(zhì):對(duì)于任意的列向量y=[y1,y2,y3]T∈R3,有yTS(·)y=0。

引理2本文中使用了激活函數(shù)tanh(·)及其導(dǎo)數(shù)cosh-2(·),具有如下性質(zhì):

1) 對(duì)于激活函數(shù)tanh(·),其是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù),且其上下界分別為1和-1,有‖tanh(·)‖≤1。

2) 對(duì)于函數(shù)cosh(·),有‖cosh(·)‖≥1。對(duì)函數(shù)cosh-2(·),有0≤‖cosh-2(·)‖≤1,也就是說(shuō),激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)同樣是有界的。

1.5 人工勢(shì)場(chǎng)設(shè)計(jì)

為了防止碰撞以及獲得更大的安全接近區(qū)域,本文利用超二次曲面來(lái)描述非合作目標(biāo)和抓捕航天器的外形,建立復(fù)合人工勢(shì)場(chǎng)。首先,本文用圓柱體約束來(lái)描述目標(biāo)本體,即

(13)

其次針對(duì)抓捕航天器編隊(duì)內(nèi)部之間的避碰問(wèn)題,將其描述為球形障礙,即

(14)

式中：Xi,j=[xi,j,yi,j,zi,j]T=Xc,i-Xc,j,i=1,2,3,j=1,2,3且i≠j,表示抓捕航天器i和j之間的距離;l4與r1是正常數(shù),其值影響球形路徑約束的半徑。

則勢(shì)函數(shù)可以表示為

(15)

注1本文介紹的基于超二次曲面描述航天器外形的方法相比于傳統(tǒng)的球體或是橢球體能夠更為準(zhǔn)確地描述目標(biāo)的外形,為抓捕者提供更大的安全接近區(qū)域。如(13)式所述的超二次曲面,通過(guò)調(diào)節(jié)外形參數(shù)可以用于描述各種復(fù)雜外形的航天器。如:當(dāng)e1?1,e2?1時(shí),可描述長(zhǎng)方體外形;當(dāng)e1=1,e2=1時(shí),超二次曲面可描述橢球體外形;當(dāng)e1?1,e2=1時(shí),可描述圓柱體外形。

注2所設(shè)計(jì)的勢(shì)函數(shù)(15)式,當(dāng)抓捕者的位置位于路徑約束外部時(shí),有h>0;僅當(dāng)抓捕者位于路徑約束的表面時(shí)有h=0;當(dāng)抓捕者位于路徑約束的內(nèi)部時(shí)有h<0。由此可知,勢(shì)函數(shù)κ在抓捕者由勢(shì)場(chǎng)外部逐步向勢(shì)場(chǎng)表面趨近的過(guò)程中會(huì)趨于無(wú)窮大,使抓捕者不能再向勢(shì)場(chǎng)表面靠近,即抓捕航天器不會(huì)與目標(biāo)發(fā)生碰撞。

2 基于干擾觀測(cè)器的控制器設(shè)計(jì)

2.1 相對(duì)姿態(tài)控制律設(shè)計(jì)

定義如下輔助量

S1,i=ωe,i+k1,iσe,i

(16)

式中,k1,i為正常數(shù)。

則S1,i的導(dǎo)數(shù)為

(17)

(17)式可以寫(xiě)為如下形式

(18)

設(shè)復(fù)合干擾力矩

(19)

設(shè)計(jì)如下非線(xiàn)性干擾觀測(cè)器

(20)

式中,Bi=τi+Jck1,iG(σe,i)ωe,i,ks,i>1。

(21)

將(20)式代入(21)式,則有

(22)

進(jìn)一步,設(shè)計(jì)如下姿態(tài)控制律

(23)

定理1針對(duì)航天器姿態(tài)閉環(huán)系統(tǒng)(1)式和(6)式,在復(fù)合干擾力矩作用下,以假設(shè)1為條件,所設(shè)計(jì)的姿態(tài)控制器律(23)式可以使相對(duì)姿態(tài)實(shí)現(xiàn)有界穩(wěn)定,且干擾觀測(cè)器(20)式可以有效估計(jì)干擾力矩。

證明選擇Lyapunov函數(shù)

(24)

其一階導(dǎo)數(shù)可以寫(xiě)為

(25)

將控制力(23)式代入上式,可得

(26)

根據(jù)楊氏不等式[13],有

(27)

將(27)式代入(26)式,可得

(28)

則(28)式可簡(jiǎn)化為

(29)

對(duì)(29)式兩側(cè)同時(shí)積分,可得

(30)

(31)

證明:

在S1,i≤ΔS1,i時(shí),選擇如下Lyapunov函數(shù)

(32)

則其導(dǎo)數(shù)可以寫(xiě)為

(33)

將(1)式代入(33)式,則有

(34)

由此可見(jiàn),相對(duì)姿態(tài)角σe,i有界,且最終收斂到以下區(qū)域

(35)

由此,姿態(tài)閉環(huán)系統(tǒng)的收斂性得證,即定理1得證。

2.2 相對(duì)位置控制律設(shè)計(jì)

定義如下輔助量

S2,i=k2,itanh(k3,ive,i)+(k4,i+κi)ρe,i

(36)

式中,ve,i=[ve1,i,ve2,i,ve3,i]T∈R3,k2,i,k3,i,k4,i為正常數(shù),且

則S2,i的導(dǎo)數(shù)為

(37)

式中

(37)式可以寫(xiě)為如下形式

(38)

設(shè)復(fù)合干擾力

(39)

設(shè)計(jì)如下干擾觀測(cè)器

(40)

式中，Ei=k2,ik3,icosh-2(k3,ive,i)fi+((k4,i+κi)·

(41)

將(40)式代入(41)式,則有

(42)

設(shè)計(jì)如下位置控制律

(43)

定理2針對(duì)航天器位置閉環(huán)系統(tǒng)(9)式和(10)式,考慮了復(fù)合干擾力影響的情況下,以假設(shè)1為條件,所設(shè)計(jì)的相對(duì)位置控制律(43)式可以使抓捕者與目標(biāo)的相對(duì)位置最終實(shí)現(xiàn)有界穩(wěn)定,并避免與目標(biāo)及抓捕者編隊(duì)內(nèi)部發(fā)生碰撞。同時(shí)干擾觀測(cè)器(40)式可以有效估計(jì)復(fù)合干擾。

證明選擇如下Lyapunov函數(shù)

(44)

其一階導(dǎo)數(shù)可以寫(xiě)為

(45)

將控制力(43)式代入(45)式,得到

(46)

根據(jù)楊氏不等式[13]

(47)

將(47)式代入(46)式,則有

(48)

則(48)式可簡(jiǎn)化為

(49)

將(44)式代入(49)式,可得

(50)

對(duì)(50)式兩側(cè)同時(shí)積分,可得

(51)

(52)

由(52)式可知,在多航天器運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,S2,i是始終有界的,另外,根據(jù)引理2可知,顯然k2,itanh(k3,ive,i)(j=1,2,3)是有界的,同時(shí)結(jié)合(36)式可得κiρe,i是有界的。根據(jù)勢(shì)函數(shù)(15)式的設(shè)計(jì)以及注2,只有航天器在與目標(biāo)發(fā)生碰撞時(shí)才會(huì)有κi趨近于無(wú)窮,因此根據(jù)κiρe,i有界,可以得知κi是始終有界的,即在整個(gè)任務(wù)過(guò)程中κi不會(huì)趨近于無(wú)窮。因此,抓捕者沒(méi)有違反路徑約束,即沒(méi)有發(fā)生碰撞。

下面,將對(duì)相對(duì)位置ρe,i的有界性進(jìn)行證明。

證明:

當(dāng)S2,i收斂至0時(shí),有

0=k2,itanh(k3,ive,i)+(k4,i+κi)ρe,i

(53)

選取如下Lyapunov函數(shù)

(54)

則,V4,i的導(dǎo)數(shù)為

(55)

根據(jù)引理1和(53)式,(55)式可以化簡(jiǎn)為

(56)

根據(jù)引理2,有tanh(k3,ive,i)≤k3,ive,i,則(56)式可以寫(xiě)為

(57)

由此可見(jiàn),當(dāng)S2,i收斂至0時(shí),ρe,i是漸進(jìn)收斂的。

設(shè)存在常數(shù)|W|≤ΔS2,i使得

W=k2,itanh(k3,ive,i)+(k4,i+κi)ρe,i

(58)

則根據(jù)(52)式、(57)式和(58)式,可得ρe,i將收斂至以下區(qū)域

(59)

綜上所述,定理2得證。

3 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的航天器編隊(duì)抓捕避碰控制方法有效性,本文設(shè)計(jì)了仿真驗(yàn)證試驗(yàn),仿真對(duì)象為3個(gè)編隊(duì)飛行的航天器。

假設(shè)目標(biāo)為低速翻滾的失效航天器,其軌道六要素與初始參數(shù)如表1所示,初始姿態(tài)與角速度為

表1 目標(biāo)航天器初始參數(shù)

σt(0)=[0,0,0]T,ωt(0)=[0.02,0.05,-0.02]Trad/s

表2 抓捕航天器初始相對(duì)狀態(tài)

表3 控制器仿真參數(shù)

外界干擾力矩和干擾力分別設(shè)為

randn(3,1)×0.02

randn(3,1)×0.1

仿真時(shí)描述路徑約束的尺寸與外形參數(shù)設(shè)定為l1=3,l2=3,l3=6,l4=1,e1=0.1,e2=1,r1=0.5,仿真結(jié)果如圖2～9所示。其中圖2～5給出了3個(gè)抓捕航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化曲線(xiàn),由其可見(jiàn),本文所提出的控制策略可以使3個(gè)抓捕航天器的相對(duì)位置與相對(duì)速度在60 s內(nèi)收斂,相對(duì)姿態(tài)與相對(duì)角速度在70 s內(nèi)收斂。

圖2 抓捕航天器編隊(duì)相對(duì)位置變化曲線(xiàn) 圖3 抓捕航天器編隊(duì)相對(duì)速度變化曲線(xiàn)

圖6展示了相對(duì)姿態(tài)與相對(duì)位置干擾觀測(cè)器的觀測(cè)誤差,從圖中可以看出,觀測(cè)誤差在20 s內(nèi)收斂至零附近的極小區(qū)域,在存在白噪聲干擾的情況下也能夠估計(jì)復(fù)合擾動(dòng)的真值。

圖4 抓捕航天器編隊(duì)相對(duì)姿態(tài)變化曲線(xiàn) 圖5 抓捕航天器編隊(duì)相對(duì)角速度變化曲線(xiàn)

圖6 抓捕航天器編隊(duì)觀測(cè)誤差變化曲線(xiàn)

圖7展示了3個(gè)抓捕航天器的控制力與力矩變化曲線(xiàn)。可以看出,抓捕者的輸出力與力矩始終沒(méi)有超過(guò)飽和上界,但是由于時(shí)變干擾力的存在,控制力與力矩最終并未收斂至零,而且由于避障的需求,導(dǎo)致控制力在收斂過(guò)程中出現(xiàn)部分震蕩現(xiàn)象。圖8和圖9展示了抓捕者編隊(duì)內(nèi)路徑約束hi,j函數(shù)以及抓捕者與目標(biāo)之間的路徑約束hit函數(shù)變化曲線(xiàn)。從圖中可以看出,h始終保持大于零,說(shuō)明航天器運(yùn)動(dòng)過(guò)程中沒(méi)有碰撞發(fā)生。

圖7 抓捕航天器編隊(duì)控制力和控制力矩變化曲線(xiàn)

圖8 抓捕航天器編隊(duì)內(nèi)部hi,j函數(shù)變化曲線(xiàn) 圖9 抓捕航天器與目標(biāo)之間hit函數(shù)變化曲線(xiàn)

4 結(jié) 論

本文針對(duì)近距離低速翻滾空間非合作目標(biāo)抓捕問(wèn)題,提出了一種基于干擾觀測(cè)器的多航天器協(xié)同避碰抓捕控制方法。首先,針對(duì)抓捕任務(wù)的安全性問(wèn)題,提出一種基于超二次曲面的人工勢(shì)場(chǎng),其優(yōu)勢(shì)在于,超二次曲面可以根據(jù)不同的參數(shù)選取描述各種尺寸及形狀的路徑約束,將其用于描述多個(gè)抓捕者與目標(biāo)之間的路徑約束以及抓捕者內(nèi)部的路徑約束可以提高抓捕者的可接近范圍。其次針對(duì)任務(wù)中可能出現(xiàn)的復(fù)合干擾問(wèn)題,設(shè)計(jì)了用于估計(jì)外界擾動(dòng)的非線(xiàn)性干擾觀測(cè)器,并在控制律中對(duì)復(fù)合干擾進(jìn)行抵消。之后設(shè)計(jì)了魯棒控制律,并在Lyapunov定義下證明了在該控制律作用下系統(tǒng)的穩(wěn)定性與收斂性,以及任務(wù)過(guò)程中航天器編隊(duì)對(duì)于障礙規(guī)避的有效性。數(shù)值仿真結(jié)果說(shuō)明了本文所提方法的有效性與正確性。