有限稀疏陣列散射計算的高效自適應積分算法

鄭明晅, 趙惠玲, 李楚薇

(西北工業大學 電子信息學院, 陜西 西安 710072)

在微波通信、雷達探測、飛行器隱身等領域中,常涉及到有限周期陣列[1]的設計和仿真。在使用矩量法(method of moments,MoM)[2]對這種問題進行仿真計算時,由于陣列電尺寸通常很大,使用多層快速多極子法[3](multilevel fast multipole algorithm,MLFMA),IE-FFT[4-5](integral equation fast Fourier transformation)以及自適應積分法[6-7](adaptive integral method,AIM)等加速算法來提升求解效率。與MLFMA和IE-FFT相比,基于等效源的AIM精度更高并且非常適合于求解這種相對平坦的“準平面”問題。對于未知量為N的問題,AIM可以將時間復雜度和內存復雜度從O(N2)和O(N2)分別減少到O(NlogN)和O(N)。

然而,利用AIM分析大型周期陣列的電磁特性時,存在著2個不足。第一個是求解區域中存在大量的冗余柵格點[8-9],這些柵格點對于遠場互阻抗的計算并沒有任何實質上的貢獻,反而會消耗大量計算資源,從而墮化算法的真實效率。第二個則是,隨著未知量的增加,近場矩陣的填充和矯正步驟也會占用大量時間,這是因為AIM本質上并沒有將遠場和近場計算徹底分離。

為了克服上述2個問題,本文提出了一種陣列自適應積分法。該方法共包括4個關鍵性技術,分別為冗余點消除技術、零值屏蔽技術、塊狀對角預處理以及快速遠場后處理技術,它們分別從矩陣填充、近場矯正、迭代求解以及后處理4個方面來提升算法的計算效率。數值仿真結果表明,本文提出的方法能有效降低內存需求量并提高總求解速度。此外,該方法不僅適合于有限周期陣列,還可以處理大型稀疏陣列。

1 算法原理

1.1 傳統自適應積分法

傳統AIM是一種基于矩量法的快速算法,它將稠密的阻抗矩陣Z根據近場門限劃分為近場和遠場2個部分

式中：Znear和Zfar分別表示近場稀疏矩陣和遠場壓縮矩陣；ZMoM和ZAIM分別表示使用矩量法計算得到的準確近場矩陣和由離散格點產生的不準確近場矩陣。(1)式中的Zfar又可以進一步寫成多個稀疏矩陣相乘的形式

(3)

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1.2 冗余柵格點消除技術和零值屏蔽技術

盡管AIM的性能優于矩量法,但在求解大型周期陣列問題時,為了保證精度,往往需要大量柵格點對整個求解區域進行離散。在這些柵格點中只有一部分柵格點參與了遠場近似計算,其余的柵格點則由于沒有基函數在其上展開對遠場計算沒有任何貢獻,它們被稱作冗余柵格點。

如圖1所示的3×3平面陣列,灰色橢圓代表實際的陣元,每個陣元都可以看作是整個陣列的1個子區域。當使用矩形柵格點籠罩住整個陣列后,只有子域中的柵格點(圖中空心點)上定義了展開系數,而陣元之間中心帶叉柵格點則全部屬于冗余柵格點。

圖1 冗余柵格點與子域柵格點

為了消除陣元間的冗余柵格點,可以首先將整個陣列的阻抗矩陣Z劃分為大小相等的M2個子矩陣塊Zmn(m,n∈{1,2,…,M}),這里M代表陣元的個數,當m≠n時,Zmn表示不同陣元間的互耦項。由于大型陣列中,陣元間距一般都可以滿足AIM的遠場條件,因此可以使用與(3)式類似的遠場近似式來計算這些互耦項

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與(3)式相比,G由3層變成5層Toeplitz矩陣,它不僅最大限度地保留了子域柵格點,而且剔除了陣元間的冗余柵格點,此時整個陣列的阻抗矩陣Z就可以寫作

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接下來,為了解決大型陣列中近場矯正耗時長的問題,本文使用了一種零值屏蔽技術來直接消除近場矯正步驟。它的原理是將G中與陣元自耦項有關的格林函數Gmm全部置零,從而徹底阻隔遠場近似計算對近場區域的干擾。

僅考慮包含3個陣元的線陣,若將格林函數G的對角矩陣塊全部置零,此時其遠場近似矩陣可以寫作

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在實際計算中,如圖1所示可以通過對格林函數添加約束條件來實現置零操作,即

(9)

式中：r=rlocal+rv+ru代表場源點間的位矢；rlocal表示子域柵格點間的位矢；ru,rv則代表陣元間沿著u,v2個方向的位置矢量。將(8)式代入(7)式并改寫可得

Z=Zself+Zarray=diag(Zl)+Zarray

(10)

(11)

式中,I(m)表示迭代向量Ii展開后的第m個子向量。從(11)式仍舊可以看出Λp,l和Zl被多次復用,這極大地降低了陣列自適應積分法的內存需求量。此外,若陣列的某些區域并不存在陣元,等同于該區域的Λp,l和Zl為0,在公式(11)中就表現為跳過這些區域的計算。這一特性使得本文提出的陣列AIM不僅適用于有限周期陣列,還能在一定程度上處理稀疏陣列。

1.3 塊狀雅克比預處理和快速遠場后處理

為了進一步提升迭代求解時的收斂速度,根據有限周期陣列的結構特性,本文采用穩健的塊狀雅克比預處理。由(10)式可知,近場矩陣Zself屬于塊狀對角矩陣,因此可以直接對該矩陣求逆得到預處理矩陣,同時對(11)式兩端乘以這個預處理矩陣可得

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幸運的是,這一問題可以通過補償陣元間的波程差來輕松解決。首先,令En(θ,φ)代表參考陣元上第n個基函數在(θ,φ)方向的散射場,并將它視作元因子。其次,陣列在(θ,φ)方向的散射總場可以寫作

(13)

式中，Sn(θ,φ)可以理解為陣因子,它表示為

(14)

dm=-(ΔNumducosφ+ΔNvmdvsinφ)sinθ

(15)

式中：dm表示第m個陣元與參考單元在(θ,φ)方向的波程差；du,dv分別表示陣元沿著u,v方向的間距,而ΔNum,ΔNvm表示第m個陣元與參考陣元在u,v方向的序號差；In+(m-1)Nl則表示不同陣元上第n個基函數的電流項系數。從(13)～(15)式可知,陣因子Sn(θ,φ)只包括求解后得到的電流項激勵和相位因子,它們都是與基函數無關的參量,而元因子En(θ,φ)只與參考陣元有關。

綜上所述,一旦得到求解后的電流激勵I,就可以利用(13)～(15)式快速計算任意方向的散射電場。為了更好地理解陣列AIM,圖2給出了該算法的計算流程圖。

圖2 陣列AIM算法流程圖

2 仿真與分析

為了驗證陣列AIM的算法精度和效率,本文先計算了有限周期陣列和稀疏陣列的遠場雷達散射截面(radar cross section, RCS),并與MLFMA和傳統AIM的計算結果作對比。隨后針對稀疏陣列,比較了陣列AIM和傳統AIM在不同陣列尺寸條件下的性能參數,以此來驗證本文算法的高效性。本節所有算例均使用電場積分方程,陣列平面位于xoy面,入射平面波Ei沿-z軸方向傳播,極化方向沿x軸,頻率為300 MHz。算例的仿真平臺為Intel Core i7 4790 3.6GHz 臺式機,內存為32 GB。

2.1 算法精度驗證

第一個算例為4×4的金屬球陣列。如圖3所示,球半徑為0.6 m,陣列尺寸lu×lv=5.7 m×5.7 m,陣元間距du=dv=1.5 m。經過剖分后,每個陣元未知量為1 287,從而整個陣列的未知量為20 592。圖4給出了由陣列AIM,傳統AIM以及MLFMA計算的得到的φ=0,π/2時俯仰面雙站RCS,3種方法計算得到遠場RCS曲線基本一致。以MLFMA的計算結果為參考,陣列AIM在φ=0和φ=π/2平面的相對均方根誤差分別為0.88%和0.94%,這表明陣列AIM在處理這種密集的有限周期陣列時具有較好的精度。

圖3 陣元為金屬球的4×4平面陣列模型圖

圖4 陣元為金屬球的4×4平面陣列俯仰面雙站RCS曲線

第二個算例是8×8圓錐稀疏陣列。圖5中，陣元間距du=dv=0.7 m,陣列尺寸lu×lv=5.15 m×5.15 m。金屬圓錐底面直徑為0.25 m,高度為0.5 m。與第一個算例不同,陣列一共只有40個陣元,在整個陣面呈現出稀疏分布,其稀疏度為37.5%。

圖5 陣元為圓錐的8×8稀疏陣列模型圖

圖6給出了陣列AIM計算得到的俯仰面雙站RCS曲線,并與MLFMA和傳統AIM作對比。從圖6中可以看出,3種方法得到的雙站RCS能良好吻合。經過計算,陣列AIM在φ=0和φ=π/2平面的相對均方根誤差分別為1.24%和1.96%,這表明陣列AIM也能有效處理稀疏陣列的散射問題。

圖6 陣元為圓錐的8×8稀疏陣列俯仰面雙站RCS曲線

2.2 稀疏陣列尺寸對陣列AIM性能影響分析

本節將主要分析稀疏陣列尺寸對陣列AIM性能的影響,算例模型與圖5一致,陣列的稀疏度為37.5%。共選取了3組不同的陣列尺寸,分別為8×8,16×16和24×24,其對應的未知量分別為24 120,96 480和217 080,其余參數與2.1節一致。

從表1中可以清晰的看出,與傳統AIM相比,陣列AIM可以減少96%的內存消耗。并且陣列AIM的近場矩陣填充時間不會隨著陣列尺寸的增大而發生變化,尤其是陣列尺寸為24×24的情況下,填充速度比傳統AIM快3 300倍。這些因素使得陣列AIM的總時間要遠小于傳統AIM。

表1 不同陣列尺寸下陣列AIM和傳統AIM性能對比

綜上所述,本文提出的陣列AIM不僅具有很好的計算精度,而且在處理稀疏陣列時也具有較好的性能。

3 結 論

本文針對于大型有限周期陣列的特性,提出了一種稱作陣列AIM的方法。該方法使用5層Toeplitz矩陣和零值屏蔽技術解決了傳統AIM中存在的冗余柵格點和遠近場耦合問題。同時使用塊狀Jacobi預處理技術提升迭代求解的收斂速率,并基于波程差補償技術進行快速后處理。數值結果表明,該方法具有良好的計算精度,不僅適用于密集陣列,也同樣適用于稀疏陣列。其次,在稀疏度相同時,隨著陣列尺寸的增加,該方法的近場矩陣填充時間不發生變化且小于傳統AIM,特別地,當陣列尺寸為24×24時,近場填充速度可以提高3 300倍。此外陣列AIM的內存需求量也低于傳統AIM。這充分說明了陣列AIM在仿真計算稀疏和非稀疏陣列上的高效性。