非線性濾波技術在GPS動態(tài)濾波中的運用

陳治國

(中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471000)

0 引言

GPS全球定位系統(tǒng)為新一代的精密衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)，在軍事、民用領域中均有廣泛應用，但因GPS定位含有很多誤差源，分別是測量隨機誤差與衛(wèi)星的結(jié)合位置誤差等，對定位精準性形成較大影響，GPS動態(tài)濾波是解除GPS定位隨機誤差額度有效方法之一?；诜蔷€性濾波技術實現(xiàn) GPS動態(tài)濾波，能顯著提升 GPS導航定位的精準度。本文主要探究各種卡爾曼濾波方法在GPS定位估計方面的應用情況。

1 非線性濾波技術

1.1 擴展卡爾曼濾波

在上個世紀70年代后期，Sunahara等人專注于研究在非線性系統(tǒng)及觀測下 Kalman濾波理論的擴展情況，明顯拓展了 Kalman濾波的適用范疇。擴展卡爾曼濾波（EKF）是一種應用范圍十分廣泛的非線性系統(tǒng)濾波方程。為應對一些缺少相關原始狀態(tài)信息與先驗知識可供應用狀況下的濾波，F(xiàn)raser提出了信息濾波的概念，這種算法在處理測量更新問題方面表現(xiàn)出良好效能，但時間更新時需要進行大量的計算工作。

1.2 Unscented卡爾曼濾波（UKF）

EKF算法應用時暴露出兩個不足：一是線性化假設不成立時，會造成濾波器十分不穩(wěn)定；二是很難精準地計算出Jacobi與Hesse矩陣。為處理以上問題，國外學者提出了一種較適用于非線性系統(tǒng)的濾波器，即UKF。和EKF算法最大的不同是，UKF算法利用確定性采樣所得的sigma點去表示系統(tǒng)額度屬性，能做出更精準的估計結(jié)果。對于任何一個非線性系統(tǒng)，UKF算法對于高斯、非高斯輸入量至少能分別達到最優(yōu)估計的三、二階近似，和EKF算法相比有很大提升[1]。

1.3 魯棒濾波

常規(guī)Kalman濾波算法是基于H2估算準則為基礎建設的，在現(xiàn)實運用中，很難全面了解外界干擾信號的統(tǒng)計屬性，且系統(tǒng)模型本體存有一定攝動，實質(zhì)上就是外界干擾與系統(tǒng)均帶有不確定性。魯棒控制就是針對如上特點，導入魯棒控制思維，誘導魯棒濾波理論的生成與發(fā)展過程，H∞濾波便是十分經(jīng)典的方法。

2 GPS導航系統(tǒng)內(nèi)非線性濾波技術的應用

2.1 EKF

2.1.1 技術處理

在衛(wèi)星導航系統(tǒng)內(nèi)，卡爾曼濾波是常用的定位解算算法，但真實系統(tǒng)的運動及觀測模型都是非線性的，故而在現(xiàn)實運用中應用的是EKF。

2.1.2 仿真分析

觀測時間間隔 T=l s，用戶初始位置：（–1727947.4，4982862.9，3575658.9）m，初始速度：（100，100，100）m/s，初始加速度：（10，10，10）m/s2，三個方向的加速度正上、負下限分別取15 m/s2、–15 m/s2，應用二炮接收機實測仿真內(nèi)的形成的衛(wèi)星信息，求算出衛(wèi)星位置[3]。

結(jié)合仿真結(jié)果，發(fā)現(xiàn)伴隨抽樣點位置的改變，真實值與估計值均有不斷增加的趨勢，濾波走勢相對穩(wěn)定后兩條曲線基本吻合，顯現(xiàn)出線性改變趨勢。但在濾波早期，實際值和估計值之間形成較大偏差。在應用“當下”統(tǒng)計模型時，EKF算法在 X、Y、Z三個方向的最大定位誤差依次是0.5008 mm、1.885 mm、2.278 mm，速度最大誤差估計依次是2.064 m/s、5.821 m/s、6.777 m/s，均符合m級精準度要求。

2.2 UKF

2.2.1 UT變換

UT方法為UKF算法的核心。UT變化的思想主要是采用定量的闡述去進食一個高斯分布，和近似任何一個非線性函數(shù)或變換相比較其更加簡單容易。其實現(xiàn)原理可以做出如下闡述：依照某個規(guī)則在原先狀態(tài)分布內(nèi)取一些點，使這些點的平均值、協(xié)方差和原狀態(tài)分布的均值與協(xié)方差持平；把以上這些點代進非線性函數(shù)，這樣便能獲得非線性函數(shù)值點集，利用這些點集求算出變換以后的均值與協(xié)方差；因為以上所得的函數(shù)值未經(jīng)過線性化處理，也沒有重視自身的高階項，故而基于此估計所得的平均值和協(xié)方差和EKF方法相比較精準度更高。

2.2.2 應用與分析

解讀UKF算法對GPS系統(tǒng)動態(tài)濾波的仿真情況[4]。關于UKF算法三個方向的位置和速度誤差對比的情況，發(fā)現(xiàn)UKF位置估計值自開始便和真實軌跡有較高的吻合度，表現(xiàn)出均勻增長的線性改變趨勢。EKF、UKF算法三維位置估計的誤差最大值以及位置誤差樣本標準差，如表 1。比較發(fā)現(xiàn)，在三個坐標方向的最大位置誤差指標上，UKF都比EKF濾波提升了25%之上。對比兩種算法的位置誤差標準差，發(fā)現(xiàn)三個方向均有提升[5]。

表1 UKF、EKF算法的應用情況Tab.1 application of UKF and EKF algorithms

基于以上仿真結(jié)果與分析說明，不難發(fā)現(xiàn)在非線性系統(tǒng)內(nèi)，和EKF相比較，UKF的性能更加優(yōu)異。UKF無需對狀態(tài)及測量方程進行線性化近似處理，規(guī)避了非線性系統(tǒng)線性化過程生成的誤差問題，且在計算量上和EKF沒有顯著差異。從某個角度分析，UKF能夠?qū)KF取而代之用于非線性系統(tǒng)內(nèi)。

2.3 H∞濾波

在上個世紀90年代，H∞濾波理論成為了魯棒估計領域中的研究熱點之一，其設計的主要思路如下：研發(fā)出一種濾波器，對應的性能指標是外界干擾信號到估計誤差信號的H∞范數(shù)，這樣當面對各種外界干擾信號時，能將估計誤差值降到最低水平。

2.3.1H∞濾波問題的表達

本文主要研究最優(yōu)H∞濾波的定義，具體是探尋到H∞估計，進而獲得，推導出正定矩陣P0。參照以上做出的定義，不難發(fā)現(xiàn)H∞最優(yōu)濾波器針對所有具有確定能量的可能干擾輸入，確保將估計誤差能量增益控制到最小。但以上所得結(jié)果過于保守，如下給出了次優(yōu)H∞濾波問題的定義：具體是給定正數(shù)γ〉0，探尋到次優(yōu)H∞估計

2.3.2 分析及應用

參照GPS導航系統(tǒng)狀態(tài)方程與量測方程的計算方法，離散化以后，最后的狀態(tài)及量測方法可以用式（5）表示：

H∞濾波器設計階段，伴隨參數(shù)γ取值的減小，那么其所對應的H∞濾波器的魯棒性就有一定強化；參數(shù)γ達最優(yōu)值時，此時便能獲得H∞最優(yōu)濾波器，這種濾波器對外界干擾信號表現(xiàn)出很強的魯棒性，但是其估計相對較保守，且只能在特殊情境下才能獲得其最優(yōu)閉環(huán)解。鑒于以上情況，通常利用探求其次優(yōu)解的方式去代替?？偨Y(jié)H∞濾波的仿真結(jié)果[7]，發(fā)現(xiàn)和UKF、EKF算法相比較，H∞濾波在三個方向位置最大誤差是分別提升 90%、17%以上，且H∞濾波的收斂速度和其他兩個算法相比較有很大提升。綜合以上所得的仿真及分析結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)和UKF、EKF相比，H∞濾波能更好的修正GPS導航系統(tǒng)，位置與速度精準度均有顯著提升，濾波誤差收斂速度更快。并且不必實時計算系統(tǒng)噪聲方差陣，降低了濾波的計算量，能取得更優(yōu)秀的濾波效果[8]。

3 結(jié)語

當下，GPS導航系統(tǒng)在軍事、民用等諸多領域中均有廣泛應用，但是在部分場合，尤其是高動態(tài)環(huán)境下，初有的定位方法已經(jīng)不能滿足不斷提升的性能要求。本文主要針對高動態(tài)用戶設計定位算法，將卡爾曼最優(yōu)估計理論用在GPS導航定位范疇中，明顯提升了用戶定位的精準性，使系統(tǒng)運行可靠性得到更大保障。和UKF、EKF相比，H∞濾波能更好的修正GPS導航系統(tǒng)，位置與速度精準度均有顯著提升，濾波誤差收斂速度更快。