基于高職物流管理專業(yè)的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用案例研究

■王雪

（武漢交通職業(yè)學(xué)院公共教學(xué)與實(shí)踐學(xué)院，湖北 武漢 430065）

高職物流管理專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)是為適應(yīng)社會(huì)主義市場經(jīng)濟(jì)需要，為物流企業(yè)培養(yǎng)具有一定的物流管理和物流信息處理能力，能在物流領(lǐng)域從事采購、供應(yīng)、運(yùn)輸、調(diào)度、倉儲(chǔ)、配送、銷售等物流核心環(huán)節(jié)的實(shí)務(wù)運(yùn)作工作的高素質(zhì)技能技術(shù)物流人才。數(shù)學(xué)建模是物流管理專業(yè)開設(shè)的重要基礎(chǔ)課程，教學(xué)內(nèi)容包括線性規(guī)劃、圖論、貯存等經(jīng)典數(shù)學(xué)模型，這些數(shù)學(xué)模型在物流領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，能為物流企業(yè)依據(jù)效益最大化原則進(jìn)行資源優(yōu)化配置提供科學(xué)依據(jù)，提升企業(yè)核心競爭力。但數(shù)學(xué)建模教學(xué)中還存在如下問題:教學(xué)內(nèi)容陳舊，與物流專業(yè)問題聯(lián)系不夠緊密；模型求解注重?cái)?shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)計(jì)算；鮮有運(yùn)用快捷方便的數(shù)學(xué)軟件求解等問題。這些問題導(dǎo)致學(xué)生不能靈活應(yīng)用所學(xué)建模知識(shí)解決專業(yè)問題，嚴(yán)重影響了學(xué)生的核心職業(yè)能力和創(chuàng)新能力培養(yǎng)。因此，很有必要探討數(shù)學(xué)建模在物流管理中的應(yīng)用案例，使數(shù)學(xué)建模教學(xué)更好地為專業(yè)教學(xué)服務(wù)。

一、數(shù)學(xué)建模在優(yōu)化采購方案中的應(yīng)用

采購是一項(xiàng)保證物流企業(yè)正常開展生產(chǎn)及經(jīng)營活動(dòng)的重要物流活動(dòng)，一方面為企業(yè)獲取生產(chǎn)資源，為企業(yè)帶來效益；另一方面采購過程中，也會(huì)產(chǎn)生采購成本[1]。采購時(shí)要努力追求科學(xué)采購，就是以最少的成本去獲取最大的效益，追求利潤最大化。因此，制定科學(xué)合理的采購方案是實(shí)現(xiàn)企業(yè)經(jīng)濟(jì)利潤最大化的基本源泉，有助于提高企業(yè)競爭力。下面通過案例，闡述如何利用數(shù)學(xué)模型制定科學(xué)合理的采購方案。

案例1:某企業(yè)生產(chǎn)三種不同產(chǎn)品，需要同一種資源，采購主管從兩個(gè)資源產(chǎn)地G1、G2進(jìn)行采購，兩個(gè)產(chǎn)地的產(chǎn)量分別為48噸、56噸，三種產(chǎn)品分別在三個(gè)分廠C1、C2、C3生產(chǎn)加工，根據(jù)生產(chǎn)計(jì)劃安排，三種產(chǎn)品分別各需要這種材料37噸、22噸、32噸。從G1產(chǎn)地采購單位材料能給三個(gè)分廠帶來的利潤分別為6、3、8；從G2產(chǎn)地采購單位材料能給三個(gè)分廠帶來的利潤分別為5、9、7，其中利潤單位為（百元/噸）。請(qǐng)問采購主管制定怎樣的采購計(jì)劃，才能使企業(yè)獲得最大利潤。

分析問題:由案例知兩個(gè)產(chǎn)地的總產(chǎn)量為104噸，大于三個(gè)分廠的總需求量91噸，屬于供大于求的采購模型。由此可知采購方案有很多種，但采購時(shí)要滿足條件:每個(gè)產(chǎn)地的總采購量不能超過該產(chǎn)地的產(chǎn)量；每個(gè)分廠采購的原材料質(zhì)量要等于該分廠的需求量。現(xiàn)從眾多采購方案中選擇獲得最大利潤的方案，這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)最大化的線性規(guī)劃模型。現(xiàn)建立模型如下:

設(shè)Cj分廠從Gi產(chǎn)地采購xij單位的原材料，i=1,2，j=1,2,3，則目標(biāo)函數(shù)為:

模型求解:現(xiàn)有數(shù)學(xué)建模教材中介紹的是單純形法求解[2]，但是單純形法計(jì)算步驟復(fù)雜、計(jì)算量大、學(xué)生不易掌握，不利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣及解決問題的能力，下面介紹簡單、快速、準(zhǔn)確的LINGO軟件求解步驟，并給出結(jié)果分析。

首先打開LINGO軟件窗口，在窗口中輸入上面建立的線性規(guī)劃模型，注意，每個(gè)語句之間用英文狀態(tài)下的分號(hào)隔開[3]，如圖1所示。

圖1 線性規(guī)劃模型輸入

然后點(diǎn)擊工具欄上的求解按鈕，1秒鐘即可得出模型求解結(jié)果，如圖2所示。

圖2 模型求解結(jié)果

最后對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行分析，由圖2可得出:x11=37，x13=11，x22=22，x23=21，Objective value為 655。結(jié)合前面假設(shè)知，最優(yōu)采購方案為:C1分廠所需的37噸全部從G1產(chǎn)地采購，C2分廠所需22噸全部從G2產(chǎn)地采購，C3分廠所需11噸從G1產(chǎn)地采購，另外21噸從G2產(chǎn)地采購，企業(yè)獲得最大利潤為65500元。

二、數(shù)學(xué)建模在優(yōu)化調(diào)運(yùn)方案中的應(yīng)用

運(yùn)輸是物流系統(tǒng)的核心，運(yùn)輸費(fèi)用在物流各環(huán)節(jié)費(fèi)用中占比重較大，因此合理優(yōu)化運(yùn)輸方案，降低運(yùn)輸費(fèi)用對(duì)降低物流系統(tǒng)成本起著至關(guān)重要的作用。

案例2:某物流企業(yè)從三個(gè)倉庫調(diào)運(yùn)某批貨物到四個(gè)需求地，三個(gè)倉庫分別為W1、W2、W3，它們的最大儲(chǔ)存量分別為55噸、43噸、52噸；四個(gè)需求地分別為K1、K2、K3、K4，四個(gè)需求地的需求量分別為:35噸、45噸、40噸、30噸；從倉庫 W1調(diào)運(yùn)貨物到 K1、K2、K3、K4四個(gè)需求地的單位貨物運(yùn)價(jià)分別為9百元/噸、8百元/噸、7百元/噸、2百元/噸；從W2調(diào)運(yùn)貨物到K1、K2、K3、K4四個(gè)需求地的運(yùn)價(jià)分別為3百元/噸、9百元/噸、3百元/噸、1百元/噸；從W3調(diào)運(yùn)貨物到K1、K2、K3、K4四個(gè)需求地的單位運(yùn)價(jià)分別為5百元/噸、6百元/噸、4百元/噸、3百元/噸；請(qǐng)問物流企業(yè)制定怎樣的調(diào)運(yùn)方案，使物流企業(yè)運(yùn)費(fèi)最少。

解決這一問題，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)建模課程中采用的是表上作業(yè)法[4]，表上作業(yè)法同樣存在計(jì)算量大、結(jié)果容易出錯(cuò)等缺點(diǎn)，多數(shù)高職學(xué)生不能很好地把表上作業(yè)法應(yīng)用到實(shí)際工作中。下面探討通過建立數(shù)學(xué)模型，利用LINGO軟件求解。

分析:從案例知，三個(gè)倉庫的總儲(chǔ)存量等于四個(gè)需求地的總需求量，這是供需平衡的運(yùn)輸問題，存在多種調(diào)運(yùn)方案。但是調(diào)運(yùn)時(shí)要滿足每個(gè)倉庫運(yùn)往需求地的貨物運(yùn)量不得超過倉庫的最大儲(chǔ)存量，三個(gè)倉庫運(yùn)往同一個(gè)需求地的貨物總量不得小于需求地的需求量。現(xiàn)從滿足條件的眾多方案中選擇運(yùn)費(fèi)最少的方案。假設(shè)從第i個(gè)倉庫Wi運(yùn)往第j個(gè)需求地Kj的貨物為xij噸。cij表示從倉庫Wi運(yùn)往需求地Kj的貨物的單位運(yùn)價(jià)，ai表示倉庫Wi的供應(yīng)量，bj表示需求地Kj的需求量。

說明:模型中式（3）表示求運(yùn)輸費(fèi)用函數(shù)的最小值；式（4）中第一個(gè)表達(dá)式表示三個(gè)倉庫各自運(yùn)往四個(gè)需求地的總運(yùn)量應(yīng)不超過各自的最大儲(chǔ)存量55噸、43噸和52噸；式（4）中第二個(gè)表達(dá)式表示三個(gè)倉庫運(yùn)往四個(gè)需求地的總運(yùn)量應(yīng)不小于四個(gè)需求地各自的需求量35噸、45噸、40噸和30噸。

通過lingo軟件求解模型，制定出最優(yōu)的運(yùn)輸方案為:W1調(diào)運(yùn)25噸貨物到K2，調(diào)運(yùn)30噸貨物到K4；W2調(diào)運(yùn)35噸貨物到K1，調(diào)運(yùn)8噸貨物到K3；W3調(diào)運(yùn)20噸貨物到K2，調(diào)運(yùn)32噸貨物到K3，最少運(yùn)費(fèi)為63700元。

三、數(shù)學(xué)建模在優(yōu)化倉庫租用合同簽訂方案中的應(yīng)用

案例3:某物流公司在2021年的1—3月的3個(gè)月內(nèi)擬租用倉庫。已知各月份所需倉庫面積分別為:1500、1000、2500平方米。倉庫租借費(fèi)用隨租用期限而定，租用1個(gè)月的費(fèi)用為30元/平方米；租用2個(gè)月的費(fèi)用為50元/平方米；租用3個(gè)月的費(fèi)用為60元/平方米。租借倉庫的合同每個(gè)月初都可辦理，合同內(nèi)容規(guī)定租用面積和期限，每次可以同時(shí)簽訂多份合同。請(qǐng)為該公司簽訂租借合同的最優(yōu)決策，使租借費(fèi)用最小。

分析:分析案例知租用方案有多種，租借時(shí)只需滿足如下條件:各份合同中1月份的租用面積之和等于1500平方米，2月份的租用面積之和等于1000平方米，3月份的租用面積之和等于2500平方米。現(xiàn)制定使租借費(fèi)用最小的租用方案。為便于把上述問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，假設(shè)xij為第i個(gè)月月初開始租借且租借期限為j個(gè)月的租用面積。因?yàn)橹挥?—3個(gè)月需要租用倉庫，如果第2個(gè)月初開始租借，租借期限最長為兩個(gè)月，如果第3個(gè)月月初開始租借，租借期最長為1個(gè)月，故x23=x32=x33=0

利用lingo軟件求解模型，可得出x11=5,x31=15,x13=10，x21=x12=x22=0。因此，最優(yōu)的合同簽訂方案為:1月初簽訂1份租期為1個(gè)月、租用面積為500平方米的合同，再簽訂1份租期為3個(gè)月、租用面積為1000平方米的合同；3月初簽訂1份租期為1個(gè)月、租用面積為1500平方米的合同，最小的租用費(fèi)用為120000元。

四、數(shù)學(xué)建模在銷售人員任務(wù)分派中的應(yīng)用

案例4:某企業(yè)銷售部門擬派4名銷售業(yè)務(wù)員制作4種不同產(chǎn)品的營銷方案，每名業(yè)務(wù)員負(fù)責(zé)一種產(chǎn)品的營銷方案制作。按照4名業(yè)務(wù)員上報(bào)的營銷方案，完成銷售工作預(yù)計(jì)為企業(yè)帶來的利潤（單位:百萬元）見表1，請(qǐng)為4名業(yè)務(wù)員分配工作任務(wù)，使企業(yè)利潤最大。

表1 預(yù)計(jì)利潤

分析:這屬于典型的指派問題[5]。設(shè)cij表示業(yè)務(wù)員i負(fù)責(zé)產(chǎn)品j的營銷方案為企業(yè)帶來的利潤。設(shè)0-1決策變量為xij，xij=1時(shí)，表示業(yè)務(wù)員i負(fù)責(zé)產(chǎn)品j的營銷方案，xij=0時(shí)，表示業(yè)務(wù)員i不負(fù)責(zé)產(chǎn)品j的營銷方案。

建立數(shù)學(xué)模型:

約束條件中第一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式的其含義為一個(gè)業(yè)務(wù)員只能負(fù)責(zé)一種產(chǎn)品的營銷方案制作；約束條件中第二個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式的含義為一種產(chǎn)品的營銷方案只能一個(gè)業(yè)務(wù)員負(fù)責(zé)制作。

針對(duì)指派問題求解，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)建模教材中介紹的是匈牙利法求解，步驟繁瑣。此處利用LINGO軟件求解，方法同案例1所述，可得出最優(yōu)的任務(wù)分派方案為:業(yè)務(wù)員1負(fù)責(zé)產(chǎn)品2的營銷方案；業(yè)務(wù)員2負(fù)責(zé)產(chǎn)品4的營銷方案；業(yè)務(wù)員3負(fù)責(zé)產(chǎn)品3的營銷方案；業(yè)務(wù)員4負(fù)責(zé)產(chǎn)品1的營銷方案，最大利潤為27000萬元。

隨著數(shù)學(xué)軟件的開發(fā)和使用，數(shù)學(xué)建模如虎添翼，廣泛應(yīng)用到現(xiàn)代物流活動(dòng)的各個(gè)環(huán)節(jié)。圍繞物流管理專業(yè)的人才培養(yǎng)目標(biāo)，充分利用經(jīng)典數(shù)學(xué)模型與物流實(shí)際問題的緊密聯(lián)系，結(jié)合物流活動(dòng)中的相關(guān)案例進(jìn)行數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)，并選擇簡單、易學(xué)、快捷的lingo數(shù)學(xué)軟件求解，不但能激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決問題的能力，更有助于學(xué)生職業(yè)能力和職業(yè)素養(yǎng)的提升。