M-矩陣最小特征值下界的估計

李艷艷

（文山學院 人工智能學院，云南 文山 663099）

具有特殊結構的M-矩陣在高階稀疏線性方程組迭代解法的收斂性、一般均衡的穩定性等領域廣泛應用。關于M-矩陣最小特征值的下界問題，陳付彬，鐘琴，趙建興，孫德淑等學者[1-4]進行了不同角度的研究，并得到了各具特點的結果。現繼續研究該問題，在利用兩個帶有參數的圓盤定理的基礎上，結合不等式的適當放縮，給出M-矩陣最小特征值的下界。

1 預備知識

設Rn×n（Cn×n）為n×n階實（復）矩陣的集合，令N={1,2,…,n}。

矩陣A（aij）∈Cn×n的n個特征值λ1,λ2,…,λn組成的集合，稱為矩陣A的譜，記為σ（A）。

用ρ（A）表示矩陣A的特征模的最大值（A的譜半徑）。

用τ（A）=min{Re（λ）:λ∈σ（A）}表示A的最小特征值。

則稱矩陣A為非奇異M-矩陣。用Mn表示非奇異M-矩陣的集合。

設A是非負不可約矩陣，則存在正向量x使得Ax=ρ（A）x，稱x為矩陣A的右Perron特征向量。

矩陣A°B=（aijbij）稱為矩陣A和B的Hadamard積。

2 主要結果

證明：因為B∈Mn，所以假設B是嚴格對角占優矩陣，則

令z=（zi），且zi=ui，i∈N，設C=A°B-1，則有

定理2設

證明：因為B∈Mn，所以假設B是嚴格對角占優矩陣。

證明：首先設A,B都是不可約矩陣。

3 數值算例

由文獻[1-4]得τ（B）≥0.8915，τ（B）≥0.8500，τ（B）≥0.8778，τ（B）≥0.8234，應用本文定理2，4，6分別得τ（B）≥0.8920，τ（B）≥0.8957，τ（B）≥0.8993。

本研究給出的三個M矩陣最小特征值的估計式，是對該類問題研究的有效擴展，數值算例表明，這些估計式一定程度上是優于已有結果。