基于分圓陪集的量子BCH 碼的構造

邢莉娟，李卓

（西安電子科技大學綜合業務網國家重點實驗室，陜西 西安 710071）

1 引言

在實際環境中，量子計算機的量子態不是孤立的，它會與外部環境發生相互作用，破壞量子態間的相干性，從而導致量子消相干現象。環境中的噪聲將純糾纏態變成混合態，導致傳輸的量子信息出錯。因此，若要量子計算機或長距離量子通信成為現實，必須克服消相干現象帶來的影響。量子糾錯碼（QECC,quantum error correcting code）是解決量子消相干的主要方式之一。

量子糾錯碼可以由某些滿足特定性質的經典線性碼來構造。經典BCH（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem）碼由于具有良好的代數結構，是經典編碼理論中的一個重要子類。因此，用經典BCH 碼來構造量子BCH 碼也引起了人們極大的關注。通過大量研究，目前已提出了很多構造給定參數量子糾錯碼的方案[1-5]。但是，現有方案中的量子碼均具有一定約束性。例如，分圓陪集的選擇必須滿足一定前提[1]；有限域的階必須是奇素數的冪[3]或者滿足特定的表達式[5]。因此，需要對已有量子BCH 碼進行進一步擴展和補充[6-8]。

2 基礎與定義

令Fq表示q階有限域，其中q為素數的冪。碼字C=[n,k,d]q表示基于Fq上的線性碼，其中n為碼長，k為維數，d為最小漢明距離。在本文中，若n與q互素，則令qm≡1modn成立的最小正整數m為q模n的乘法階，用m=ordn(q)表示。

定義5對于任意整數i，有限域Fq上包含i的模n分圓陪集定義為C[i]={iqzmodn|z∈Z+}。

性質1[9]有限域Fq中的分圓陪集滿足以下性質。

1) 分圓陪集的元素個數一定是q模n的乘法階的因子，即，其中=ordn(q)。

2) 對于任意的分圓陪集，當且僅當i≠jqzmodn時，C[i]≠C[j]。

循環碼因為其嚴謹的代數結構和循環特性，被認為是一類重要的線性碼。

定義6有限域Fq上的碼長為n，設計距離為δ的q元BCH 碼C是一個循環碼，其生成多項式可表示為g(x)=lcm{M(b)(x),M(b+1)(x),…,M(b+δ-2)(x)}，其中，M(i)(x)表示索引為i的最小多項式。碼C的定義集合為

當n=qm-1時，BCH 碼是本原的；當b=1時，BCH 碼是狹義的。

量子穩定子碼可以通過經典線性碼來構造。目前，量子碼主要的構造方法有CSS（Calderbank-Shor-Steane）構造、Steane 構造和Hermitian 構造。

3)Hermitian 構造。當C⊥H?C時，存在參數為[[n,2k-n,D≥d]]q的量子穩定子碼。

根據上述定理，如果能找到滿足對偶包含關系的經典線性碼，就可以構造對應參數的量子碼。引理1 給出了循環碼滿足對偶包含的條件。

引 理1[10]若n與q互素，即滿足gcd(n,q)=1，存在以下結論。

1)對于Fq上碼長為n的循環碼C，如果C的定義集合為Z，那么C⊥E?C的充要條件是Z∩Z-1=?，其中Z-1={-zmodn|z∈Z}。

因此，構造量子穩定子碼的關鍵是尋找滿足上述條件的分圓陪集。這些特定的分圓陪集不僅保證經典循環碼是對偶包含的，還便于計算該碼的維數和最小距離。下面來尋找滿足上述條件的分圓陪集。

3 分圓陪集的選擇

Guardia 等[1]給出了有限域Fq上階為2、碼長為n=r(q-1)的量子BCH 碼的構造方法。在此基礎上，本文討論如何利用CSS 構造、Steane 構造和Hermitian 構造等方法研究其鏡像結果。Aly 等[12]的構造方法僅針對本原量子BCH 碼，而本文的研究對象是更一般的量子BCH 碼。首先討論分圓陪集中包含一個元素的充要條件。

引理2設m=ordn(q)=2，n=r(q+1)。

其次，來討論這些分圓陪集之間的關系。

引理 3分圓陪集C[0],C[1],…,C[2r-1],C[2r]互不相交。

證明由m=ordn(q)=2和n=r(q+1)可知，rq≡-rmodn和r|q-1成立。若只考慮非本原量子BCH 碼，則2r≤q-1和n≥ 3r成立。所以，分圓陪集C[0]和C[1],…,C[2r-1],C[2r]均不相交。

接下來，證明其他分圓陪集C[1]～C[2r]也互不相交。采用反證法，假設C[f]=C[r+h]，其中1 ≤f≤r，1 ≤h≤r。由1≤f≤r

4 有限域Fq 上的量子BCH 碼

定理 2若碼長n=r(q+1)，其中q≥ 3，m=ordn(q)=2。當0≤c≤r-1，0 ≤t≤r時，有以下結論。

證明首先由引理 3 可知，分圓陪集C[0],C[1],…,C[c],C[r],…,C[r+t]互不相交，其中0≤c≤r-1，0 ≤t≤r。

例如，若令q=13，m=2，根據定理2 可以構造不同參數的量子碼，結果如表1 所示。

表1 q=13,m=2 時CSS 構造的量子碼參數

圖1 對定理2 中分圓陪集的選擇做了總結：C[0],C[1],…,C[c]的并集代表碼C1的定義集合；C[r],C[r+1],…,C[r+t]的并集代表碼的定義集合；C[0],C[1],…,C[r-1]和C[a1],…,C[an]的并集代表碼C2的定義集合；C[a1],…,C[an]用來補全剩余的分圓陪集。

圖1 分圓陪集的選擇

根據定理1，如果能找到滿足Euclidean 自正交關系的經典線性碼，采用Steane 構造方法，也可以構造出相應碼參數的量子碼。引理4 給出了滿足Steane 構造的充分條件。

引理4當時，Z∩Z-1=?。

證明由n=r(q+1)和q≥ 3可知，n≥ 4r。假設Z∩Z-1=?，分2 種情況討論。

1)若(r+f) ≡-(r+h)modn成立，其中1 ≤f，h≤r-1，則2r+f+h≡0 modn，與不等關系2r+2 ≤2r+f+h≤4r-2

2)若(r+f)q≡-(r+h)modn成立，其中1 ≤f，h≤r-1，因 為rq≡-rmodn，則fq+h≡0 modn，與不等關系q+1≤fq+h≤(r-1)(q+1)

根據引理4，本文用Steane 構造來設計Fq上碼長為n=r(q+1)的量子BCH 碼。

定理 3若碼長n=r(q+1)，q≥ 3，m=ordn(q)=2。當2≤t≤r-1，1≤c≤t-1時，有以下結論。

Li 等[13]利用Hermitian 構造方法，構造出一類基于上碼參數為[[n,n-4,3]]q的量子最大距離可分碼（QMDSC，quantum maximum distance separable code）。在文獻[13]的基礎上，如果選擇合適的分圓陪集，使用Steane 構造方法可以得到任意有限域上參數為[[n,n-4,3]]q的量子MDS 碼。

推論1若碼長n=r(q+1)，m=ordn(q)=2。當q≥ 5，r>3時，存在參數為[[n,n-4,3]]q的量子MDS 碼。

引理5若碼長n=r(q2+1)，m=ordn(q2)=2。

引理 6q2元分圓陪集C[r],C[r+1],…,C[r+t]互不相交。

引理5 和引理6 的證明過程請參考引理2 和引理3。

根據定理1，如果能找到滿足Hermitian 自正交關系的經典線性碼，采用Hermitian 構造方法，可以構造出基于有限域上的相應碼參數的量子碼。引理7 給出了滿足Hermitian 構造的充分條件。

引理7當時，Z∩Z-q=?。

證明采用反證法，假設qZ∩Z-≠?。下面，分2 種情況討論。

1) 若r+f≡-q(r+h)modn成 立，其 中0 ≤f，h≤r，可推出r(q+1)+f+qh≡0modn。這與r(q+1)≤r(q+1)+f+qh≤2r(q+1)

2) 若(r+f)q2≡-q(r+h)modn成立，其中0 ≤f，h≤r，由gcd (n,q)=1可 知，(r+f)q≡-(r+h)modn。同 樣，(r+f)q2≡-q(r+h)modn也不成立。

定理 4若碼長n=r(q2+1)，q≥ 3，m=ordn(q2)=2。當0 ≤t≤r時，有以下結論。

證明由引理 6 可知，分圓陪集C[r],C[r+1],…,C[r+t]互不相交，其中0 ≤t≤r。設C1=∏iM(i)(x)，r≤i≤r+t，由引理7 可知，C1滿足Hermitian 對偶包含。

最后，將本文通過CSS 構造、Steane 構造和Hermitian 構造得到的量子碼與已有的結果進行比較。首先，比較基于有限域Fq上的構造結果。

1) CSS 構造結果分析

文獻 [10] 構造參數為[[n=r(q+1),2(δ2-δ1),d≥δ1]]q的量子碼，其中最小距離下界滿足2≤δ1<δ2≤δmax≤r。采用本文方法，當其他參數相同時，量子碼的最小距離滿足1d≥r+。與文獻[10]相比，本文方法構造的量子碼具有更高的最小距離下界。

2) Steane 構造結果分析

文獻[10-11]中構造的量子碼的最小距離下界滿足d≥δ，2≤δ≤r。采用本文方法，在得到與文獻[10-11]相同的最小距離下界的同時，碼參數中的維數結果均好于文獻[10-11]。具體比較結果如表2 所示。更重要的是，通過選擇合適的分圓陪集，本文方法還得到了任意有限域上最小距離為3 的量子MDS 碼。

表2 Steane 構造方法得到的量子BCH 碼參數比較

3) Hermitian 構造結果分析

對于非本原量子BCH 碼，文獻[1]構造了一類碼參數為[[n=r′(q2-1),n-4r+6,d≥r′]]q的量子碼。本文方法構造的量子碼參數至少與文獻[1]相當，在某些碼參數中，本文構造的量子碼的最小距離下界高于文獻[1]中的最小距離下界。具體結果如表3 所示。

表3 Hermitian 構造方法得到的非本原量子BCH 碼參數比較

表4 Hermitian 構造方法得到的量子BCH 碼參數比較

6 結束語

本文方法構造出的量子BCH 碼與現有的構造方法相比，具有更好的碼參數和更高的最小距離下界；更重要的是，本文方法構造出了大量新的量子BCH 碼，進一步豐富了量子BCH 碼的種類。此外，作者還找到了一類任意域上的量子MDS碼。這是非常有趣的現象，值得未來進行進一步的研究。