帶電粒子在電場中運動的“三線”問題

陳偉平

靜電場中帶電粒子運動的“三線”（電場線、等勢線和運動軌跡）問題，是每年高考的熱點內容，主要以比較帶電粒子在電場中運動的加速度、速度、動能、電勢能、電勢、機械能變化的題目呈現，此類問題涉及電場、牛頓運動定律、動能定理、功能關系和能量守恒等知識的綜合應用。

一、方法與思路

1. 判斷運動方向：可以根據物體運動軌跡上某一點的切線方向確定物體在該點的運動方向。要注意的是，在力相同時，所有運動都是可逆的。

2. 判斷電場力方向：僅受電場力作用下的帶電粒子，所受的電場力指向帶電粒子運動軌跡的凹側。

3. 判斷場強方向：正電荷所受電場力方向與場強方向相同;負電荷所受電場力方向與場強方向相反。

4. 判斷電場力做功的正負及電勢能的增減：在初始位置畫出速度方向與電場力方向，根據它們的夾角分析。若運動方向與電場力方向成銳角，則電場力做正功，電勢能減小;若電場力與速度方向成鈍角，則電場力做負功，電勢能增加。

5. 判斷電勢高低：沿電場線方向電勢逐漸降低，電勢降低最快的方向為場強方向。

6. 判斷電勢能大小：根據公式Ep=qφ（代入正負號）判斷電勢能大小。

7. 判斷加速度大小：根據電場線或等差等勢面疏密判斷加速度大小，電場線越密集，場強越大，加速度越大。

8. 在勻強電場中，可定性地列出軌跡方程分析有關物理量。

9. 帶電粒子的運動軌跡與電場線（等勢面）關系圖：

二、試題精練

【例1】（2021 · 廣東高考題）如圖1 是某種靜電推進裝置的原理圖，發射極與吸極接在高壓電源兩端，兩極間產生強電場，虛線為等勢面，在強電場作用下，一帶電液滴從發射極加速飛向吸極，a、b 是其路徑上的兩點，不計液滴重力，下列說法正確的是（ ）

A. a 點的電勢比b 點的低

B. a 點的電場強度比b 點的小

C. 液滴在a 點的加速度比在b 點的小

D. 液滴在a 點的電勢能比在b 點的大

【解題思路】

根據高壓電源與兩極的連接情況，可知電場線由a 指向b，而沿著電場線電勢逐漸降低，可知a 點的電勢比b 點的高，即φa>φb，故選項A 錯誤;由圖1 中等勢面的分布得電場線的分布情況如圖2 所示，可知a 點電場線密集，場強大，即Ea>Eb，故選項B 錯誤;液滴的重力不計，根據牛頓第二定律可知，液滴的加速度為a= ，因Ea>Eb，可得加速度aa>ab，故選項C 錯誤;電場力向右對液滴做正功，液滴電勢能減小，故液滴在a點的電勢能比在b點的電勢能大，即Epa>Epb，故選項D 正確。

【答案】D

【點評】正常情況下，在電場中畫出的等勢面一般為等差等勢面，因此本題所給三個等勢面可默認為是等差等勢面。等差等勢面的疏密反映場強的大小，由圖1 可知a 處的等勢面較密，因此a 處的電場強度較強。

【例2】（2021 · 天津高考題）兩個位于紙面內的點電荷產生電場的等勢面如圖3 中實線所示，相鄰等勢面間的電勢差相等。虛線MPN 是一個電子在該電場中的運動軌跡，軌跡與某等勢面相切于P 點。下列說法正確的是（ ）

A. 兩點電荷可能是異種點電荷

B. A 點的電場強度比B 點的大

C. A 點的電勢高于B 點的電勢

D. 電子運動到P 點時動能最小

【解題思路】

根據電荷間等勢面的分布情況可知兩點電荷帶同種電荷，又根據電子在該電場中的運動軌跡可判斷電子一直受到排斥的力，故可知兩點電荷為同種負電荷，故選項A 錯誤;根據等差等勢面的疏密程度可以判斷A 點的電場強度比B 點的小，故選項B 錯誤;因為兩點電荷是同種負電荷，電場線指向負電荷，可知A 點的電勢高于B 點的電勢，故選項C 正確;根據電子的運動軌跡和電場線的方向可知由M到P 電場力做負功，由P 到N 電場力做正功，由M 到P 動能減小，由P 到N 動能增加，故電子運動到P 點時動能最小，故選項D 正確。

【答案】CD

【點評】電場線與軌跡問題的判斷需要注意“三不知”，一不知電荷帶電性，二不知電場方向，三不知運動方向。若已知其中一個，便可以分析判斷各待求量;若三個量都不知，則需要在題目中使用假設法。

【例3】（2018 · 天津高考題）如圖4 所示，實線表示某電場的電場線（方向未標出），虛線是一帶負電的粒子只在電場力作用下的運動軌跡，設M 點和N 點的電勢分別為φM、φN，粒子在M 和N 時加速度大小分別為aM、aN，速度大小分別為vM、vN，電勢能分別為EpM、EpN.下列判斷正確的是（ ）

【解題思路】

電場線越密，電場強度越大，同一個粒子受到的電場力越大，根據牛頓第二定律可知其加速度越大，故有aM

若粒子從M 運動到N，則速度方向如圖v1 所示，電場力做負功，電勢能增大，動能減小，即vM>vN，EpMφN;若粒子從N運動到M，則速度方向如圖v2 所示，電場力做正功，電勢能減小，動能增大，即vM>vN，EpMφN。故選項D 正確。

【答案】D

【點評】本題考查帶電粒子在非勻強電場中的運動，解題的突破口是根據粒子做曲線運動時受到的合力指向軌跡的內側，從而判斷出電場力方向與速度方向的夾角關系，進而判斷出電場力做功情況。

【例4】（2021 · 全國高考乙卷）四個帶電粒子的電荷量和質量分別（+q，m）、（+q，2m）、（+3q，3m）、（-q，m），它們先后以相同的速度從坐標原點沿x 軸正方向射入一勻強電場中，電場方向與y 軸平行，不計重力。如圖6 所示，下列描繪這四個粒子運動軌跡的圖像中，可能正確的是（ ）

【解題思路】

因為（+q，m） 粒子與（+3q，3m） 粒子的比荷相同，所以偏轉角相同，軌跡相同，四個帶電粒子只能顯示出三個軌跡，故選項C 錯誤;由于（+q，2m） 粒子的比荷比（+q，m）、（+3q，3m） 兩個粒子的比荷小，因此（+q，2m） 粒子比（+q，m）、（+3q，3m） 粒子的偏轉角小，“彎曲程度”更小，但都帶正電，偏轉方向相同，故選項B 錯誤;由于（+q，m）、（+3q，3m）、（-q，m） 三個粒子比荷均相同，偏轉角相同，但（-q，m） 粒子與前兩個粒子的偏轉方向相反，故其軌跡關于x 軸對稱。故選項AD 均有可能。

【答案】AD

【點評】本題主要考查帶電粒子垂直進入勻強電場中的類平拋運動的規律，需要考生利用類平拋運動規律推導帶電粒子運動軌跡方程，再由題給條件逐一判斷。本題主要考查模型建構能力，體現了科學思維的核心素養，突出了基礎性的考查要求。

對于帶電粒子在勻強電場中的類平拋問題，要注意帶電粒子的偏轉方向，本題只強調勻強電場方向與y 軸平行，故電場方向可能沿y 軸正方向，也可能沿y 軸負方向。