空腔膨脹理論靶體阻力模型及其應用研究進展*

劉均偉，張先鋒，劉 闖，陳海華，熊 瑋，談夢婷

（南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京 210094）

隨著固體動力學、彈塑性動力學、計算力學、材料力學以及數學分析工具的發展，人們不再滿足于實驗研究這種只能給出彈靶作用最終結果的研究方法。彈體侵徹過程最基本的問題是確定靶體對彈體的作用，即阻力函數。目前，應用較多的研究方法有空腔膨脹模型[1-3]、局部相互作用理論[4]、微分面力法[5]、速度勢和速度場理論[6]、土盤模型[7-8]等。其中較為成熟且應用廣泛的確定靶體阻力函數方法為空腔膨脹模型，該模型綜合考慮了靶體強度（由屈服準則描述）、體積模量（由狀態方程描述）和密度等多種因素的影響，主要用于分析典型靶體材料在沖擊載荷下的破壞響應特性，進而確定靶體的抗侵徹阻力。學者們先后以柱形、球形空腔膨脹理論為基礎，針對塑性、（準）脆性材料，取得了豐富的研究成果。準靜態球形和柱形空腔膨脹模型的控制方程最早由Bishop 等[1]提出，并求解得到了錐形彈體低速侵徹金屬靶體的阻力。Bishop 等[1]和Hopkins[3]首次給出了動態空腔膨脹的控制方程，通過求解方程得到了不可壓縮理想彈塑性靶體對彈體的阻力。Hunter 等[9]首先假設材料的屈服應力和密度之間的比值為常數, 利用相似變換建立了可壓縮材料的動態球形空腔膨脹模型, 該研究開創了相似變換在空腔膨脹理論中應用的先河，對空腔膨脹模型的發展應用起到了重要的推動作用。空腔膨脹理論的發展與更新速度很快，其關鍵問題則集中于材料本構關系和破壞準則的修正，即將材料體積變形方程從不可壓縮向躍變壓縮、線性壓縮、非線性壓縮發展；強度模型則從理想彈塑性向線性硬化、冪次硬化、壓力相關強度準則、分階段強度準則過渡，并可考慮脆性斷裂效應，其發展路線圖如圖1 所示。

圖1 空腔膨脹模型發展路線圖[1-3,9-26]Fig. 1 The development circuit diagram of cavity expansion model[1-3,9-26]

Hopkins[3]全面總結了第二次世界大戰后關于空腔膨脹理論的相關研究工作。自此以后，學者們以空腔膨脹理論為基礎，發展了可用于描述多種類靶體材料的阻力模型計算方法，較好地應用于工程實際問題中，成為靶體阻力計算的重要手段。本文中主要介紹空腔膨脹模型的起源及理論體系、塑性及脆性材料的響應分區、空腔徑向應力的理論及數值求解方法、空腔膨脹模型在多個方向的應用等，結合彈靶侵徹效應發展特點給出空腔膨脹模型理論體系及應用的未來研究方向。

1 空腔膨脹模型理論體系

相關研究工作表明，當加載于材料上的載荷超過材料本身的屈服極限時，材料出現層次分明的不同響應區。Collombet 等[27]、Curran 等[28]、Wei 等[29]分別開展了典型塑性及脆性材料在高速沖擊下的響應特性研究，獲得了如圖2～3 所示的靶體破壞形式。這與彈體高速撞擊到裝甲上時，發散的球面波在裝甲內傳播的情形類似；而在彈體侵徹靶體中的穩定侵徹階段，靶體中的開孔與彈體侵徹形成的空腔類似。因此，靶體對彈體的抗侵徹阻力可以通過無限域介質內部空腔膨脹的壓力來模擬。

圖2 塑性材料破壞情況[29]Fig. 2 Failure of plastic material[29]

空腔膨脹模型的基本假設是：用空腔在無限大介質中膨脹時所產生的表面徑向應力，替代彈體侵徹過程中表面法向所受到的阻力。材料在空腔擴展下的響應分區與材料自身動態力學特性相關，塑性與脆性材料的空腔響應及分區特點區別明顯，圖4 為響應區示意圖，其中cc、cd、cp、ce分別為彈性區與開裂區、開裂區與粉碎區、彈性區與塑性區的界面傳播速度及彈性波波速。通常對金屬材料都假定空腔擴展會在靶體內產生彈性-塑性響應分區[30]。對脆性材料而言，當膨脹速度較低時，空腔擴展會在靶體內形成彈性-開裂-粉碎響應分區；當膨脹速度較高時，則為彈性-粉碎響應分區[31]。

圖3 脆性材料破壞情況[27]Fig. 3 Failure of brittle material[27]

圖4 響應區示意圖Fig. 4 Schematic diagram of response area

空腔膨脹模型的求解一般是從質量和動量守恒方程出發，并根據連續介質力學的基本原理以及材料的本構方程來推導空腔表面徑向應力的大小，所得結果一般可以表示為空腔膨脹速度的二次函數形式[32]。根據模型假定不同，空腔膨脹模型分為球形/柱形空腔膨脹，球形和柱形[32-33]空腔膨脹理論適用于不同的研究對象，兩種模型對不同彈體頭部形狀的計算精度不同。一般而言，在球、柱坐標系下，靶板介質的質量和動量守恒方程分別為：

式中：v為質點速度，r為徑向坐標， σr、 σθ分別為徑向、環向應力， ρ 為材料密度；當k=1 時，為柱坐標系；當k=2 時，為球坐標系。

空腔膨脹模型的基本方程包括守恒方程和材料的本構方程，可結合邊界條件、初始條件和波陣面間斷條件或彈塑性邊界的連續性條件等求解。邊界條件一般為位移邊界條件和應力邊界條件，空腔壁處質點位移等于空腔半徑ura=ra以及空腔外側邊界處徑向應力σre=σ(t) ，其中 σ (t)=0 時為自由邊界。各響應分區的交界面滿足Hugoniot 跳躍條件，質量守恒、動量守恒形式的Hugoniot 跳躍條件為：

式中：c為波陣面速度，下標+、-分別代表波前、波后介質狀態。

最理想化的模型為彈塑性不可壓縮材料的靜態空腔膨脹模型，模型假設在彈塑性材料的空腔邊界(r=r0) 處施加一個恒定載荷p0，并不考慮慣性作用和波動效應，當載荷逐漸增加至臨界值、材料達到穩定膨脹時，空腔邊界徑向應力 σr則為材料靜阻力Rt。Bishop 等[1]、Hill 等[34]、Chadwick[2]、Hopkins[3]、Huang[35]和Forrestal 等[10]分別給出了靜態空腔膨脹解的幾個等效推導，典型結果如下式：

式中：Y為材料的屈服強度，E為彈性模量。

靜態空腔膨脹模型未考慮材料的慣性效應，而當膨脹速度較高時，慣性效應對空腔徑向應力計算結果的影響不可忽略。Hill[34]第一個給出了不可壓縮延性材料的動態空腔膨脹模型的解析解。通過假設材料不可壓縮并結合小變形假設，得出彈塑性邊界c與空腔邊界a的關系為c(t)/a(t)=E/(1+ν)Y，空腔徑向應力為：

式中：第1 項為準靜態項，與靜態空腔膨脹模型結果相同；第2 項為與速度相關的慣性項。

材料的不可壓縮假設有利于空腔膨脹模型解析解的求解，但正如Chadwick[2]和Hunter 等[9]所指出的，不可壓縮假設導致了彈性波速是無窮大的，且由于空腔膨脹速度與塑性波速具有恒定的比例，空腔膨脹速度不可能超越塑性波速，與實際情況不符。

Hunter 等[9]指出，對于以恒定速度擴張空腔的情況，由于侵徹過程主要是由穩態侵徹部分控制，而穩態侵徹具有自相似性，因此與穩態侵徹相關的動態空腔膨脹也具有自相似性，可以采用相似變換求解，其中應力、速度和密度取決于單個相似性變量。Hunter 等[9]假設在整個空腔擴展過程中，屈服應力與密度之比是恒定的，研究結果表明，隨著空腔擴張速度的增加，彈塑性界面速度逐漸增加，并最終達到彈性波速度。

Forrestal 等[11]在Hunter 等[9]的基礎上，給出了以恒定速度擴展的可壓縮材料的動態空腔膨脹解決方案。通過使用Hugoniot 跳躍條件以及材料在彈塑性界面的任一側屈服的條件，Forrestal 等[11]計算得出粒子速度、徑向應力在彈塑性邊界上是連續的，并引入了以下無量綱參數：

式中：S2和U2通過彈塑性邊界兩側應力、位移連續得出，S2和U2由下式確定：

空腔膨脹模型理論體系是由基本假定、響應模式、守恒方程、本構模型（屈服準則和狀態方程）和求解條件（邊界、界面和應力波條件等）組成的完備體系。材料的穩定響應區劃分、屈服準則、狀態方程、求解條件等影響因素不是割裂的，共同影響模型計算的空腔邊界徑向壓力 σr；當采用不同假設條件時，相同材料參數計算出來的空腔徑向應力也會有所差別。

2 理想侵徹條件的空腔膨脹壓力計算模型

Poncelet 公式是最古老和最經典的計算平頭彈撞擊金屬靶侵徹阻力的公式：F=A0(a1+b1v2)，其中A0是彈體的橫截面積，v是撞擊速度，a1、b1為實驗確定的材料常數。理想侵徹條件指具有一般凸形頭部形狀的剛性彈垂直侵徹半無限靶目標[19]，在考慮了彈形幾何因素后，理想侵徹條件下的空腔膨脹壓力計算模型[11]得到了與Poncelet 公式幾乎完全相同的侵徹阻力計算式，即侵徹阻力由靶體材料的靜強度項和流動阻力組成，動態空腔膨脹理論進一步提供了Poncelet 公式的理論基礎。

自20 世紀80 年代以來，美國Sandia 國家實驗室Forrestal 團隊分別對球形和柱形動態空腔膨脹理論進行了詳細的研究，同時進行了大量侵徹實驗對其驗證。此后有關空腔膨脹的工作主要集中在：

（1）不同的靶體材料，如鋁合金[11-12]、混凝土[13,36-37]、土[10]、巖石[14-15]、沙子[38]和陶瓷[16]等；

（2）靶體塑性區屈服準則，Tresca 屈服準則[12-13]、Drucker-Prager 屈服準則[37]、Mohr-Coulomb 屈服準[14-15, 36, 38]等；

（3）塑性區狀態方程，線性靜水壓力-體應變狀態方程[30,36]、線性鎖應變模型[10,13]、三階段非線性狀態方程[37]以及p-α 狀態方程[38]等。

2.1 靶體材料

陳小偉等[19]和Forrestal 等[11-12]針對鋁合金材料，假定材料為冪應變硬化、速率無關的彈塑性材料，建立了空腔初始半徑從零開始的動態膨脹模型，計算結果如圖5 所示。Forrestal 等[11-12]分析了可壓縮性對材料的影響，發現材料的不可壓縮假設會高估空腔阻力。Forrestal 等[30]借鑒金屬材料空腔膨脹理論，考慮混凝土的拉伸斷裂，將混凝土的響應區分為塑性區-裂紋區-彈性區和塑性區-彈性區兩種模式，假設塑性區滿足Mohr-Coulomb 失效準則，裂紋區的環向應力為零，考慮不可壓縮和可壓縮線性壓力-應變關系兩種情況，計算結果如圖6 所示。研究表明，響應區劃分對塑性區應力影響較大，在混凝土材料響應區中加入裂紋區會降低空腔徑向應力值；而不同的響應區劃分下，彈性-裂紋區界面移動速度大于塑性-裂紋區界面移動速度。

圖5 不同速度下的空腔徑向應力分布[11-12]Fig. 5 Radial stress distribution of cavity atdifferentvelocity[11-12]

圖6 不同分區下界面移動速度[30]Fig. 6 Interface moving speed under different partitions[30]

與傳統混凝土相比，超高強度混凝土(ultra-high performance cement based composite，UHPCC)具有更加優異的抗侵徹性能[17-18,39-43]，對于高速彈體侵徹UHPCC 目標，彈體-目標界面周圍的壓力可以達到數吉帕，其中壓力-體積應變的關系表現出非線性特征，Kong 等[44]、Peng 等[45]引入了雙曲屈服準則和非線性狀態方程來描述彈體侵徹下UHPCC 材料的塑性行為，提出了一種改進的彈體侵徹UHPCC 的動態空腔膨脹模型。圖7～8 為有關屈服準則和狀態方程的實驗數據，從圖中可以看出，基于線性屈服準則和EOS 的經典空腔膨脹模型不適用于UHPCC，雙曲屈服準則和非線性EOS 分別在擬合抗剪強度-壓力數據和壓力-體積應變數據時更實用和靈活。

圖7 剪切強度-壓力數據和屈服準則[44]Fig. 7 Shear strength-pressure data and yield criteria[44]

圖8 壓力體積應變測試數據和狀態方程[44]Fig. 8 Pressure-volumetric strain tests data and EOS[44]

Satapathy[16]研究陶瓷材料以恒定速度打開球形空腔所需的壓力時發現，隨著空腔膨脹速度逐漸增加，粉碎區邊界速度cp逐漸逼近并超過破裂區邊界速度cc，即破碎區消失，如圖9 所示。在很高的空腔膨脹速度下，粉碎區域的傳播速度會以略低于縱向波速的水平達到飽和[46]。

圖9 粉碎和破碎區域的速度[10]Fig. 9 Speeds of the comminuted and cracked zones[10]

Hunter 等[9]首先將空腔膨脹模型應用于球形彈體對土介質的侵徹問題。其后Hanagud 等[47]將其推廣至可壓縮介質中，Norwood[48]則采用柱形空腔膨脹理論求解了土介質的侵徹問題。Forrestal等[10]將土壤的壓力-體積應變理想化為線性關系，采用Morh-Coulomb 和Tresca 屈服準則描述塑性區，推導了不同剪切強度模型的球形空腔膨脹問題的方程，計算結果如圖10 所示。Forrestal 等[10]的研究表明，不同屈服準則對空腔徑向應力有較大影響，隨著 λ 的增加，空腔表面徑向應力逐漸增大，實際應用中應合理選擇描述材料屈服行為的準則。

圖10 不同屈服準則下徑向應力與速度的關系[10]Fig. 10 The relationship between radial stress and velocity under different yield criteria[10]

Shi 等[38]采用p-α 狀態狀態方程和Mohr-Coulomb-Tresca 極限屈服準則來描述砂土的本構關系，建立了考慮砂土可壓縮性的球形空腔膨脹模型，圖11～12 為空腔速度與空腔徑向應力、彈塑性界面移動速度的關系，結果表明，對于含孔隙的砂土類材料，忽略可壓縮性將高估空腔徑向壓力。Satapathy[16]在Bless 等[49]工作的基礎上，將響應區劃分為空腔-粉碎-徑向裂紋-彈性-無擾動，假設粉碎區材料滿足Morh-Coulomb 屈服準則，模型預測的結果與實驗[50]吻合程度較好。

圖11 空腔徑向應力與空腔速度的關系[38]Fig. 11 The relation between cavity radial pressure and cavity velocity[38]

圖12 空腔速度與彈塑性界面移動速度的關系[38]Fig. 12 The relation between the velocity of the cavity and elastoplastic interface[38]

靶體材料對空腔膨脹模型的影響首先體現在響應區的劃分上，材料的力學特性決定了其響應區的復雜性；從簡單的塑性-彈性分區到復雜的塑性-密實-孔隙壓實-開裂-彈性分區，不同響應分區下計算結果有較大差異，正因為分區的復雜性，應謹慎根據材料破壞特性準確地劃分響應分區。

2.2 屈服準則及狀態方程

許多學者致力于采用更加準確的塑性區屈服準則描述空腔膨脹模型中塑性區的力學特性。常用的屈服準則有：Mohr-Coulomb 屈服準則、Griffith 屈服準則、Drucker-Prager 蓋帽模型、Hoek-Brown 準則、統一強度理論、應變梯度塑性流動理論、Voce 應變硬化準則等。此外，材料的狀態方程從簡單的線性壓力-體積應變逐漸向非線性多段式狀態方程演化，并考慮材料的可壓縮性、剪切飽和等。空腔膨脹模型之間主要區別在于對塑性區(粉碎區)本構的描述。總的來講，材料強度準則、狀態方程的不斷修正以及考慮響應過程中材料的可壓縮性，使得空腔膨脹模型能夠更加全面、準確地描述材料的動態響應，但也使得需要求解的參數增加，方程無法得到解析解，計算過程越來越繁瑣。常見的屈服準則與狀態方程如表1 所示。

表1 常見的幾種屈服準則與狀態方程Table 1 Several common yield criteria and equations of state

應變率、剪脹性、壓力-體積應變等對空腔膨脹模型計算結果的影響主要體現在本構方程上，進而影響模型計算的空腔邊界速度、彈塑性邊界速度、空腔邊界應力等。空腔膨脹模型的復雜性在于其本構模型的選取，眾多的本構方程使有關空腔膨脹模型方面的成果十分豐富。不同本構方程代入求解后計算所得空腔邊界應力差異較大，需要結合實際情況，合理分析、選取恰當的本構方程描述材料的力學特性。

2.3 空腔膨脹模型的適用性

數十年來，柱形空腔膨脹（cylindrical cavity expansion，CCE）和球形空腔膨脹（spherical cavityexpansion，SCE）模型的研究都在Goodier[51]工作的基礎上進行。CCE 和SCE 模型基于以下兩個基本假設：

（1）施加在彈體表面上的接觸壓力p可以近似為在CCE 或SCE 模型中擴張空腔所需的壓力p0；

（2）空腔膨脹速度a˙ 可由彈體形狀以及當前的軸向侵徹速度vz確定。

近年來，一些學者重新討論了該假設的適用性。Rubin[52]通過使用OR（ovoid of rankine）模型[24,53]作為基準，與空腔膨脹模型計算結果對比，分析空腔膨脹模型中由于不真實的流場導致的計算侵徹阻力誤差。OR 模型中的彈體頭部形狀及穩態流場如圖13～14 所示，OR 模型用于分析剛性彈體侵徹不可壓縮的理想彈塑性材料的運動過程，其彈體形狀與穩態真實流場一致。Rubin[52]認為CCE 和SCE 模型均低估了靜態阻力值Rt，慣性項的存在彌補了部分侵徹阻力預測偏差值。總的來說，空腔膨脹模型對于較低的沖擊速度值會低估侵徹阻力，而對于較高的沖擊速度值會高估侵徹阻力，如圖15 所示。

圖13 剛體侵徹不可壓縮理想彈塑性目標的頭部區域示意圖[52]Fig. 13 Sketch of the nose region of a rigid projectile penetrating an incompressible elastic-perfectly plastic target[52]

圖14 Rankine 形彈體的穩態流場[53]Fig. 14 Steady-state flow field for an ovoid of Rankine shaped projectile[53]

圖15 OR、CCE 和SCE 模型預測的侵徹速度平均軸向阻力應力[52]Fig. 15 Average axial resistance stress as a function of the penetration velocity predicted by the OR, CCE and SCE models[52]

Rosenberg 等[22-23]、Kawata[54]、Kong 等[55]、Yankelevsky 等[25-26]、Feldgun 等[56]研究表明，在臨界速度范圍內（空化速度），撞擊金屬目標的剛性彈體上的侵徹阻力實際上是恒定的，而不是速度依賴性的，當速度超過了臨界速度，則必須將慣性項加入到侵徹阻力中。恒定的侵徹阻力Rt取決于材料的特性（屈服強度和楊氏模量）以及彈頭的頭部形狀。即只要侵徹隧道區直徑與彈體直徑相同，可以認為施加在彈體軸向方向的侵徹阻力是恒定的，侵徹深度可以由下式得出：

式中： ρp是彈體密度，Leff為彈體有效長度，v0為侵徹初始速度。

動態空腔膨脹模型普遍采用相似變換求解[57-59]，理論求解一般不考慮材料的瞬態響應行為，以獲得穩定的自相似響應。近年來，Rodríguez等[60]、Masri 等[61]研究了自相似穩態場的時間尺度，利用數值模擬方法分析了空腔膨脹初始階段材料的瞬態響應問題。圖16 為不同時間下空腔邊界應力的數值模擬與理論計算值對比，從圖中可以看出，隨著時間的增加，數值模擬結果逐漸靠近理論解。Rodríguez 等[60]研究表明，相似變換所假設的自相似穩態場存在，達到自相似穩態場的時間在2.5～40 μs （與材料有關）。因此當采用空腔膨脹模型求解薄板侵徹問題時，由于自相似穩態場的形成需要時間，應慎重考慮采用空腔膨脹模型求解的合理性。

圖16 不同壓力時數值模擬與理論值對比[60]Fig. 16 Comparison between numerical simulation and theoretical values at different pressures[60]

侵徹模型（如Poncelet 模型、Recht-Ipson 模型、A-T 模型、空腔膨脹模型、Ravid-Bodner 模型和Walker-Anderson 模型等）各有其假設與適用條件[62]。盡管空腔膨脹模型存在著諸如無法預測空化現象、模型流場與實際有誤差等問題，但其仍然是侵徹問題研究中重要的分析手段。

3 靶體空腔膨脹阻力的數值模擬方法

空腔膨脹模型的中心思想是為了求得空腔表面徑向應力與膨脹速度的關系，傳統的空腔膨脹理論研究方法均是基于理論分析和推導，然后進行大量的理論計算，但面對復雜的本構條件、屈服準則以及狀態方程時則遇到了瓶頸。利用數值模擬研究空腔膨脹過程是十分有效的, 數值模擬可以代替模型中某些復雜的理論推導部分, 根據模擬結果可以擬合得到空腔表面徑向應力與膨脹速度的關系。

3.1 空腔表面恒定速度數值模擬

Warren 等[63]在研究混凝土的侵徹問題時采用了數值模擬的方法來確定球形空腔表面應力，有限元模型與計算結果如圖17～18 所示。模擬假設空腔表面以恒定速度向外擴展，當材料響應趨于穩定時，空腔表面的應力也將趨于一個恒定值。通過改變空腔的膨脹速度，經過一系列的模擬，可以得到徑向應力與空腔膨脹速度的擬合關系式。

圖17 球形空腔膨脹計算的有限元模型Fig. 17 Finite element model for spherical cavity expansion calculation

何濤等[5]分別采用軸對稱單元和平面應變單元來模擬典型靶體球形空腔膨脹和柱形空腔膨脹作用過程，如圖19～20。模型中靶板材料采用雙線性本構，模擬結果與可壓縮的理想彈塑性解接近，表明采用有限元數值模擬方法可以較為準確地計算出空腔膨脹響應力結果。

圖18 不同膨脹速度下靶體應變分布[63]Fig. 18 Target strain distribution at different expansion velocities[63]

圖19 球形空腔分別以400 m/s 和600 m/s 的速度膨脹時得到的空腔表面徑向應力隨時間變化曲線[5]Fig. 19 Radial stress at the spherical cavity surface versus time for cavity expansion velocities of 400 m/s and 600 m/s[5]

圖20 空腔表面徑向應力隨空腔膨脹速度的變化曲線[5]Fig. 20 Radius stress at cavity surface versus cavity expansion velocity[5]

Rosenberg 等[59,64]對半無限理想彈塑性金屬材料進行了一系列的研究，通過材料參數的單因素影響模擬研究，結合理論分析，得到了球形空腔徑向應力系數與彈塑性材料基本參數的表達式。對于任意的彈塑性材料，均可由表達式計算出徑向應力，誤差不超過5%，說明數值模擬可以直接反映出簡單本構中各參數的聯系，增強了數值模擬的適用性。

圖21 是長桿彈以2 km/s 的速度撞擊材料和空腔以2 km/s 的速度壓縮材料時材料的速度分布圖。兩幅圖中的顏色代表材料的流動速度，且具有相同的標尺，即顏色相同代表流動速度相同。從圖中可以看出，彈坑和空腔的形狀以及他們周圍的材料速度分布非常相似，證明了模擬方法的有效性。

圖21 長桿彈侵徹坑附近和1/2 面積受內壓的膨脹空腔附近的速度場[59]Fig. 21 Velocity field near long rod projectile penetrating crater and 1/2 area expansion cavity under internal pressure[59]

前人大部分工作集中在膨脹速度恒定的條件下得出各區域的大小，而實際情況中空腔膨脹速度是不斷變化的。牛振坤等[65]采用剛性彈侵徹混凝土，研究靶體材料各響應區域的大小，并討論侵徹速度(空腔膨脹速度)對混凝土各響應區域的影響。圖22～23 表明，隨著彈體侵徹速度的增高，混凝土粉碎區和破裂區邊界速度也隨之增高。

圖22 混凝土響應分區形成過程[65]Fig. 22 Formation process of concrete target response regions[65]

圖23 不同侵徹速度下的混凝土等效應變云圖[65]Fig. 23 The equivalent strain diagrams of concrete under different penetration velocities[65]

3.2 空腔表面恒定壓力數值模擬

王一楠等[66]、晉小超等[67]等通過改變數值模擬中材料的失效判據，對侵徹過程中金屬、混凝土靶空腔膨脹響應區域進行了識別劃分，得到了侵徹過程中混凝土各響應區的區域大小。

圖24～25 為模型計算結果，該結果表明，在達到一定膨脹壓力后，空腔邊界將以對應于膨脹壓力的恒定速度膨脹，證明存在理論所示的函數關系；進一步分析表明，空腔邊界以恒定速度膨脹所需要的膨脹壓力閾值與混凝土的抗壓強度基本呈線性關系。

圖24 3 種強度混凝土在不同膨脹壓力下的空腔邊界速度時間歷程數值模擬結果[66]Fig. 24 Simulation results of cavity wall velocities for three strengths concrete with different expansion pressures[66]

圖25 抗壓強度分別為20、30、40、48、60、80 MPa 混凝土的膨脹壓力閾值[66]Fig. 25 Threshold values of expansion pressures for concrete strength of 20, 30, 40, 48, 60, and 80 MPa[66]

采用數值模擬方法可以比較容易地確定出空腔膨脹時徑向應力的大小，從而避免繁瑣的理論推導過程，同時充分考慮了材料在空腔膨脹過程中的實際響應情況。另一方面，數值模擬手段可以應用到各種復雜的本構材料中，為解決具有復雜力學響應特點的靶體材料的空腔膨脹作用過程提供了一個有效的模擬方法。

目前空腔膨脹的數值模擬工作集中在空腔表面單元法線方向施加恒定的速度以研究單元膨脹過程壓力，或在單元法線方向施加恒定壓力載荷以研究單元膨脹速度，主要針對理想侵徹條件的穩定侵徹階段，即均勻擴孔速度對應于恒定空腔膨脹壓力；尚未見到有限空腔膨脹的數值模擬，其原因是由于徑向的彈性位移受到限制，有限空腔膨脹的均勻擴孔速度不對應于恒定空腔膨脹壓力[68]。

4 非理想侵徹條件的空腔膨脹壓力計算模型

空腔膨脹模型將彈靶理想化，一般假設為柱形、球形彈體侵徹均質無限厚靶體。隨著戰斗部搭載平臺的演變、彈體結構設計和防護工程等技術的不斷發展，彈靶條件變得復雜，經典空腔膨脹模型適用性降低，需要針對經典空腔膨脹模型進行改進。空腔膨脹阻力模型在多層復合靶板、間隔靶板、約束靶體、彈體刻槽和異形截面形狀彈體等彈靶條件下的應用問題成為了一個重要的研究方向。

4.1 簡單多層復合靶體的空腔膨脹模型

一維半無限柱形/球形空腔膨脹模型中，空腔徑向壓力完全取決于材料自身的屬性，而實際應用中會涉及到具有有限幾何尺寸的防護結構。研究表明[69]，有限邊界的存在會嚴重影響防護結構的抗侵徹能力，將空腔膨脹模型推廣到復雜靶體結構，特別是多層復合靶體是侵徹力學研究者近期關注的熱點之一[70]。

Satapathy[71]分析了陶瓷材料鋪覆在半無限金屬材料上的抗侵徹阻力特性，假定橫向尺寸是無限的，可以忽略有限的橫向邊界的影響。針對不同的邊界條件，提出了如圖26 的4 種不同的響應分區。

4 種響應求解過程類似，在此列舉圖26(a)所示響應區的求解過程，此時陶瓷材料具有4 個區域：空腔、粉碎、破裂和彈性，金屬基底是彈性的。不同區域的解可以通過空腔膨脹模型求得（ σr即為空腔表面徑向應力）：

圖26 4 種可能的情況下的腔輪廓原理圖[71]Fig. 26 Schematic of cavity profiles for four-different possible scenarios, in ceramic targets backed by semi-infinite metal[71]

式中：ha、hb、hc、hd、h為分區常數， σf為屈服極限， μ 為拉梅常數， μm為金屬的剪切模量。

Satapathy[71]的研究表明，對于侵徹體尖端至邊界距離大于15 倍空腔直徑的情況，可以忽略有限邊界的影響；當該比值小于10 時，必須考慮邊界效應。

4.2 給定載荷下任意截面輪廓空腔邊界應力分析

在一維空腔膨脹理論方面已有大量的研究成果，但在任意截面輪廓空腔膨脹理論的研究方面卻鮮有報道。任意截面輪廓空腔膨脹理論面臨的主要問題是確定將塑性區與彈性區域分開的輪廓（彈塑性邊界），以使應力和位移在整個邊界兩側都是連續的函數，一旦彈塑性邊界確定，模型就可以簡化為純彈性區與純塑性區。

Woo[72]依據彈塑性動力學理論推導了任意截面形狀的柱形空腔膨脹模型，靶體材料分為空腔區、彈性區和塑性區。通過應力狀態判斷靶體介質的屈服狀態及介質所處的空腔膨脹模型分區位置。利用最小二乘法擬合與迭代法最終可得到橢圓形空腔膨脹過程中邊界徑向應力與速度的關系：

式中：A1的值取為1.422，K和 ρt分別為靶體材料體積模量和密度，A2是與橢圓截面彈體橫截面尺寸有關的參數。

任意截面輪廓空腔膨脹模型與傳統空腔膨脹模型所求得的彈靶接觸面阻力函數形式類似，都表示為靜阻力項和慣性項之和，且慣性項都表示為速度的二次方函數。但不同的是，傳統空腔模型中靜阻力項與材料的無圍抗壓強度有關，而任意截面輪廓空腔模型中靜阻力項與材料的體積模量相關。

Woo[72]結合阻力函數建立了侵徹動力學模型，進一步分析了橢圓長短軸比對侵徹阻力、深度的影響規律，計算結果如圖27 所示。研究表明，侵徹阻力與長短軸比呈正相關，長短軸比越大，侵徹阻力越大、侵徹深度越小。

圖27 橢圓長短軸比對侵徹阻力、深度的影響規律[72]Fig. 27 Influence of ellipse axial ratio on penetration resistance and depth[72]

4.3 橢圓空腔膨脹過程中空腔邊界應力分析

隨著彈靶侵徹問題研究的不斷深入，優化后的彈體形狀并不都是傳統的圓截面，侵徹過程中靶內所形成的空腔也并不都是傳統的球形和柱形。

為了描述橢圓截面彈體侵徹過程中橢圓孔洞的擴張過程，王文杰等[73]采用靜態柱形空腔膨脹理論，通過假設靶體材料為理想線彈性材料，計算了橢圓孔口周圍的受力狀態，模型示意圖如圖28 所示。

圖28 橢圓孔受力狀態示意圖[73]Fig. 28 Diagram of stress state of elliptical hole[73]

忽略分布在物體體積內的力，例如重力和慣性力等，彈性力學平面問題歸結于求解雙調和方程：

通過引入復變數，利用保角變換，加上應力邊界條件，最終求得復勢函數φ(ξ)和ψ(ξ)。將求得的φ(ξ)和ψ(ξ)代入應力函數便可求得橢圓空腔擴張過程中孔周應力分布情況：

當橢圓空腔受均勻壓力向外擴張時，圖29為計算所得橢圓空腔內壁在 0 ～π/2 上的受力曲線。由圖29可知，橢圓空腔內壁受均勻壓力向外膨脹時，空腔長軸端點處受力最大，而在短軸端點處受力最小。

圖29 橢圓空腔邊界受力狀態[73]Fig. 29 The state of force at the boundary of an elliptic cavity[73]

4.4 考慮軸向壓縮-切向剪切聯合作用下的空腔膨脹模型

基于混凝土材料抗壓不抗剪的特點，鄧佳杰等[4]提出一種通過頭部刻槽實現非對稱結構形式的彈體。該類型彈體在侵徹過程中可改變傳統結構彈體侵徹單一壓縮破壞混凝土的模式，實現較優的彈體侵徹毀傷能力。

假設在頭部非對稱刻槽彈體侵徹作用下，混凝土材料中出現柱形空腔，空腔分區示意圖如圖30 所示。此時，柱形空腔面以速度vc及旋轉角速度 ω 由初始零半徑向外徑向膨脹，混凝土材料在受徑向應力的同時在各響應區間產生周向旋轉作用，材料受力表現為軸向壓縮及切向剪切聯合作用力，此時柱坐標下的空腔膨脹過程為二維受力狀態。

圖30 壓剪聯合作用下的空腔分區[4]Fig. 30 Cavity partition under combined action of compression and shear[4]

假設切向位移uθ與徑向位移ur滿足線性比例關系，uθ=kur，且旋轉角速度 ω 與徑向速度vc同時滿足ω=kvc。在考慮切向位移的情況下，屈服面半徑為Cs，常數C1、C2的表達式為：

結合塑性區的屈服條件，得到考慮剪切效應的靶體空腔膨脹徑向應力隨空腔膨脹過程中空腔半徑間的關系式：

式中：fc為材料的抗壓強度。

如圖31 所示，考慮剪切效應的二維空腔膨脹理論及局部相互作用模型的理論計算結果與實驗結果吻合較好。

圖31 彈體侵徹深度理論與實驗對比[4]Fig. 31 Comparison of predicted and experimental DOP data[4]

4.5 有限/約束靶體的空腔膨脹理論

對于斜侵徹和有限尺寸金屬靶侵徹問題，自由邊界的影響不可忽略。Littlefield 等[74]運用實驗、近似解析解和數值模擬相結合的方法對有限直徑金屬厚靶側面自由邊界的影響進行了探討，結果表明：自由邊界和靶體直徑對侵徹模式和侵徹深度有顯著影響，當靶體與彈體直徑的比值小于20 時，靶體的侵徹阻力急劇降低。

Zhen 等[75-76]考慮材料可壓縮性和自由邊界徑向位移，改進了現有不可壓縮理想彈塑性材料有限空腔膨脹理論，得到了更精確的空腔邊界壓力理論解。圖32 為彈塑性階段空腔壓力與空腔膨脹速度的關系。其中，r0=∞和rp/r0=1 分別代表無線球形空腔膨脹和有限球形空腔膨脹的彈塑性階段。結果表明，無限球形空腔膨脹模型比球形空腔膨脹模型的空腔壓力高9.3%～17.2%。圖33 為有限球形空腔膨脹模型塑性階段半徑大小對空腔壓力的影響，rc為給定空腔半徑，r0為球體半徑。結果表明，隨著rc/r0的增加，空腔壓力減小；rc/r0=0.5 情況下的空腔壓力比rc/r0=0.3 時低39.6%～37.5%，對于給定的空腔半徑rc，球體的初始半徑越小，空腔壓力越小。

圖32 球形空腔壓力-空腔膨脹速度[76]Fig. 32 Spherical cavity pressure-cavity expansion velocity diagram[76]

圖33 有限球形空腔壓力-空腔膨脹速度[75-76]Fig. 33 Pressure-cavity expansion velocity diagram of a finite spherical cavity[75-76]

混凝土三向受壓狀態下的極限強度和極限應變比單軸抗壓高很多。采用結構措施改善應力狀態是提高普通混凝土抗侵徹性能的重要方法，對混凝土施加約束是提高混凝土抗侵徹性能的新途徑[68,77-79]。

曹揚悅也[80]基于粉碎區的Hoek-Brown 準則，建立了約束混凝土準靜態柱形和球形空腔膨脹模型，得到了各響應模式的空腔邊界壓力及模式轉化條件。研究表明，約束混凝土的準靜態擴孔過程可分為4 個階段，即無限介質空腔膨脹階段、彈性-裂紋-粉碎響應階段、裂紋-粉碎響應階段和完全粉碎階段。各階段粉碎區混凝土均處于三向受壓狀態，擴孔壓力隨空腔半徑增大而增大，進入完全粉碎階段后增長迅速，且柱腔模型增幅更顯著。圖34 為柱形/球形空腔膨脹模型下約束強度對空腔邊界壓力的影響規律。

圖34 柱形/球形空腔膨脹模型下約束強度對空腔邊界壓力的影響規律[80]Fig. 34 Effect of confinement strength on boundary pressure of cylindrical/spherical cavity expansion model[80]

Meng 等[68]研究了鋼管約束的混凝土（STC）目標，基于改進的Griffith 強度準則，提出了具有徑向彈性限制的約束空腔膨脹模型，計算結果如圖35 所示。研究結果表明，約束混凝土中的空腔膨脹模型與半無限材料中的空腔膨脹模型不同，由于徑向的彈性位移受到限制，因此在給定膨脹速度下其空腔邊界應力值不是恒定的。

圖35 不同約束程度下徑向應力與空腔速度的關系[68]Fig. 35 The transmutation discipline of radial stress at cavity wall[68]

綜上所述，通過合理簡化問題，針對任意空腔截面、壓剪耦合、有限/約束邊界等復雜彈靶條件，通過空腔膨脹模型可以得出問題的近似解。但模型不能反映侵徹問題的全部物理過程，也只適用于解決一定范圍內的侵徹問題，且求解過程繁瑣，因此在適用性和可靠性方面受到限制。

5 空腔膨脹阻力模型在典型侵徹問題中的應用

有關空腔膨脹模型的應用，一方面是通過求解空腔膨脹模型，給出彈體侵徹阻力的解析表達式，然后根據運動學原理建立彈體運動方程，根據邊界條件和初始條件求解運動方程，得出侵徹過程中力、速度、位移隨時間變化的函數；另一方面利用空腔膨脹模型結果替代彈頭受到的法向壓力，并與有限元法相結合進行數值模擬，可以大幅減少有限元法的計算時間。

5.1 基于空腔膨脹模型阻力函數的高速侵徹流體動力學模型

在高速侵徹過程中，由于彈、靶界面的壓力遠大于其材料的屈服強度，彈體頭部進入流體侵徹狀態，其侵徹過程可以用流體動力學方法近似描述。Tate[81-82]提出考慮彈、靶強度的修正伯努利方程來描述侵蝕彈體侵徹過程，其彈、靶界面平衡方程為：

式中：v為彈體尾部速度，u為彈體侵徹速度，Yp為彈體強度表征項，Rt為靶體強度表征項，ρp為彈體密度，ρt為靶體密度。

Rt值接近于靶體內空腔擴展速度穩定時的空腔邊界上的徑向應力值，即Rt=-σr，部分學者基于空腔膨脹模型給出了Rt值的確定方法。圖36為流體侵徹示意圖。

圖36 流體侵徹示意圖Fig. 36 Schematic diagram of fluid penetration

Forrestal 等[83]確定了從零初始半徑打開球形空腔所需的準靜態壓力，在Forrestal 的基礎上，Anderson 等[84]根據無限介質中圓柱空腔膨脹的方法給出了Rt的計算方法； Godwin 等[85]基于任意假定的二維流動模式的分析模型定性地給出了Rt的值；Galanov 等[86-87]采用動態強度代替Satapathy[71]提出的模型中的靜態強度，給出了脆性材料的兩段式Rt計算公式；Lan 等[88]對界面粒子速度和壓力分布以及目標中的響應區域進行了假設，給出的Rt取決于彈體侵徹速度以及目標材料在高溫下的力學性能。Rubin 等[89]通過空腔膨脹理論研究靶板中彈塑性邊界位置的極限值，并引入一個經驗常數來表征這些極限值之間的過渡，給出了Rt的顯示表達式；表2 列舉了幾種典型的Rt表達式。

表2 不同 Rt 的表達式Table 2 Different values of Rt

5.2 高速動能彈體侵徹動力學模型

針對剛體侵徹問題已開展了較多的研究工作[65-66,91-100]，已獲得了較為豐富的理論成果。其主要思想是結合已知的靶體阻力，將彈體頭部表面離散化，計算每個微元上的受力，通過曲面積分的方法，最終獲得彈體軸向方向的阻力，聯立彈體運動方程建立侵徹理論模型。

圖37 彈體結構示意圖Fig. 37 Schematic diagram of missile body structure

通過空腔膨脹求解的徑向應力等效為彈體頭部受力，彈體軸向受力可以簡化為如下所示的與速度相關的函數：

式中： αs為 靶板阻力中靜阻力項， βs為慣性項。

表3 中列舉了其他幾種常見的采用空腔膨脹模型推導的侵徹深度P的預測公式。

表3 侵徹深度理論預測公式Table 3 Theory prediction formula of penetration depth

5.3 基于空腔膨脹模型阻力函數的彈靶分離法

彈靶分離方法的基本思想是將侵徹過程中靶體的響應簡化為與瞬時速度相關的函數，即靶體響應力函數。在數值模擬過程中，用靶體響應力函數代替靶體對彈體的作用，從而省略靶體網格劃分及其變形過程中產生的網格畸變，同時無需考慮復雜的彈靶接觸問題，從而縮短運算時間[90-91]，其作用原理圖如圖38 所示。

圖38 彈體表面單元受力定義Fig. 38 Definition of force on surface element of projectile body

Warren[91]將基于動態球形空腔膨脹理論得到的阻力函數嵌入到有限元程序PRONTO3D中，并且加入自由面效應函數進行修正，模擬彈體斜侵徹靶體，其計算結果如圖39 所示。研究表明，通過計算得到彈體侵徹過程中的變形和實驗結果較為符合，驗證了彈靶分離方法的可靠性。

圖39 尖卵形彈體以459 m/s 的速度侵徹石灰石的實驗結果與數值模擬結果對比[91]Fig. 39 Comparison between the experimental and numerical simulation results of projectile penetrating limestone at the speed of 459 m/s[91]

何濤等[5]基于Warren 的處理方法系統地給出了預測動能彈侵徹和貫穿不同靶板的方法。王松川[102]基于彈靶分離的思想，考慮自由面效應和彈靶分離再接觸效應的影響，采用Fortran 語言編寫斜侵徹彈道計算程序，對剛性彈斜侵徹半無限石灰石靶和6061-T6511 鋁靶等問題進行了計算研究，圖40 為彈體以45°入射角侵徹鋁靶實驗與仿真結果對比圖。研究結果表明，采用靶體響應力函數的方法只適用于彈體以小碰撞角侵徹的情況，彈體速度較低時的計算結果與實際情況相差很大。

圖40 彈體以45°碰撞角斜侵徹金屬鋁靶的仿真與試驗結果對比圖[102]Fig. 40 Comparison of simulation and test results of oblique penetration of projectile into metal aluminum target at 45° impact angle[102]

康海峰等[103]基于彈靶分離的思想，根據空腔膨脹理論計算彈體侵徹阻力，考慮自由面效應，進而對彈體進行受力分析，再根據剛體運動學理論，推導彈體侵徹運動微分方程，建立動能侵徹彈非正侵徹混凝土介質的動力學分析模型，可以快速計算彈體侵徹軌跡。閃雨等[104]基于空腔膨脹理論、改進的自由面效應模型及彈靶分離再接觸效應建立了剛性/侵蝕彈體非正侵徹貫穿混凝土彈道軌跡預測方法，研究了彈靶結構參數及彈體著靶姿態對侵徹彈道的影響規律，計算結果如圖41 所示。研究表明，計算非正侵徹彈道時，需考慮自由面效應及彈靶分離再接觸效應；對于混凝土靶，采用改進的自由面模型可有效預估彈體的侵徹彈道。

圖41 自由面模型、彈靶分離模型對侵徹彈道的影響[104]Fig. 41 Influence of free surface model and projectile separation model on penetration trajectory[104]

綜上所述，在高速/超高速侵徹方面，通過與空腔膨脹理論相結合，A-T 模型及改進的A-T 模型發展迅速，但仍然存在諸如采用靜態空腔膨脹得到的常數Rt與實驗數據反向擬合和數值模擬計算所得結論相悖，大部分改進模型或不具備預測能力或存在大量經驗性參數或太過復雜不便工程應用等缺點；在剛性侵徹方面，利用靶體響應力函數，可以通過侵徹動力學模型或彈靶分離的方法，快速獲得彈體終點參數，但計算精度取決于靶體響應力函數，且在較高速度下，計算誤差逐漸增大。

6 總結與展望

近年來，空腔膨脹理論研究一方面集中在對材料本構方程、初始邊界條件的修正，在側向約束、有限邊界、含鋼筋或骨料混凝土等方面取得較大進展；另一方面，研究者們通過數值模擬的方法避開繁瑣的理論求解，加深了對模型中各參數間的理解。空腔膨脹模型作為侵徹問題理論分析的主要基礎理論之一，其考慮因素全面、適用情況廣泛、便于工程應用等特點，為厘清高速侵徹問題提供了有力支撐。通過對相關文獻查閱、整理與分析，得到的主要結論與建議如下。

（1）空腔膨脹理論準確性依賴于模型假設與材料特性，但真實、全面反映材料的屈服準則與狀態方程復雜度增加了模型的求解難度。目前的研究對材料特性進行了大量簡化，針對復雜材料(多孔、復合材料等)、復雜本構(應變梯度、各向異性等)的空腔膨脹理論研究亟待開展。

（2）理想彈靶條件下空腔膨脹模型預測結果與實驗結果吻合較好，但在實際應用中，彈靶條件更加惡劣，彈體著靶存在著角、攻角，靶體存在自由面效應、側向約束、隨機骨料等，解決多層復合靶板、間隔靶板、彈體旋轉、彈體頭部刻槽等復雜情況下的空腔膨脹模型仍是一個巨大挑戰；結合彈靶邊界條件，發展可描述復雜化作用條件空腔膨脹阻力模型和彈體侵徹動力學計算方法，是下一步工作的重點。

（3）絕大多數空腔膨脹理論研究工作將模型簡化為球/柱對稱。而隨著高超聲速武器、星載高速動能武器的發展，適應于上述武器平臺的異構型彈體的侵徹行為將成為熱點問題之一[73,105]。對于任意截面空腔膨脹問題，使用保角變換[106-107]、傅里葉變換[72]、最小二乘擬合等數學方法可以簡化橢圓積分、降低微分方程組的求解難度。如何結合異構型彈體結構特點及新的數學方法，發展可描述任意截面形狀的空腔膨脹模型，將是未來發展的重要方向之一。

（4）空腔膨脹理論早期應用在剛體侵徹階段，后來擴展到高速和超高速階段。正如Rubin[24,52]、Rosenberg 等[22-23]指出，空腔膨脹理論的基礎假設具有局限性，存在穩態流場與假設不一致、高速情況下無法預測“空化”現象等。研究者需要重新審視空腔膨脹理論假設，著眼于求解思路、方法上的進步，不局限在對材料本構上的小修小補，擴大與增加模型的適用性與準確度。