數學思想方法在初中數學教學中的滲透

王運寶

百年大計，教育為本。為提高學生的數學素養和教學質量，在初中數學教學中，學習和掌握數學思想方法顯得尤其重要，主要在于：一、能培養學生的數學學習興趣，激發學生自主學習的能動性，勇于探究事物變化發展的激情;二、能培養學生發現問題、探究問題、分析問題、解決問題的能力;三、能培養學生思維的靈活性、敏捷性、深刻性、獨創性、逆向性和發散性;四、能培養學生的空間想象力、觀察力、思維能力和創新能力。在初中教學中，常用的主要有以下幾種數學思想方法。

一、化歸（或轉化）

化歸就是把一個事物轉化為另一個事物或與之接近的、相關的事物，即變"正面強攻"為"側翼進擊"的思維形式，體現在數學解題中，就是將原問題進行變形，使之轉化為我們所熟悉的、已解決的或易于解決的問題。在初中數學教學中，代數、幾何都是從研究簡單數式、簡單圖形開始的，而復雜數式、復雜圖形都是通過轉化、歸結為簡單數式、簡單圖形來獲得解決的。例如，折扣問題可轉化為百分率問題;“雞兔同籠”問題可轉化為方程問題;在解一元二次方程時，一元二次方程通過“降次”轉化為一元一次方程，并化成ax=b（a≠0）這種類型來求解。教學時，應加強化歸思想的總結和提煉，注重化歸思想的滲透和點撥，有利于提高學生的能力，發展學生的思維，簡化解題的過程。

二、數形結合

數學家華羅庚先生說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”。數形結合是把數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，實現數與形的結合。它將“靜態”為“動態”，變“無形”為“有形”。例如，在學習不等式和不等式組的解集的概念時利用數軸;在直角坐標平面內由幾何圖形求點的坐標，由一些點的坐標來描繪幾何圖形求面積或線段長度;已知三角形三邊的代數關系或三角函數關系判斷三角形的幾何形狀等。從幾何起始階段，就注意數形結合，使學生逐步學會運用數形結合的思想去分析問題、解決問題，養成良好的思維習慣，就能逐步培養學生的數學運用能力，拓寬思維的領域。

三、分類討論

分類討論的思想方法就是對問題進行分類，逐一討論滿足條件的各類情況，達到問題的全面解決。例如，在解一元一次方程時，a（x+2）=2a，得到ax=◆。這時就要分類討論：當a≠0時，x=0;當a=0時，x為一切實數。又如，在學習等腰三角形時，在平面內有一條直線a，在直線的外部有一條線段AB（注：線段AB與直線a無交點、不垂直），請在該直線上找一個點C，使三角形ABC為等腰三角形。這時，也要分類討論：分兩種情況即當線段AB為腰時構成的等腰三角形，還有當線段AB為底邊時構成的等腰三角形。

這種思想方法能使學生學會多角度、多方面去分析、解決問題，培養學生全面觀察事物、靈活處理問題的能力。

四、方程函數

方程函數思想就是把方程和函數有機地結合起來，綜合解題的思想方法。例如，二元一次方程2x-y=5與一次函數y=2x-5的表達式形式相同，它們的圖象都是直線，當函數的變量x=3時可代入表達式解一元一次方程求得變量y=1。又如，二元二次方程x2-x-2-y=0與二次函數y=x2-x-2，當求二次函數與x軸的交點坐標時，可化為求二元二次方程x2-x-2-y=0當y=0時二元二次方程的解。在解決圖形運動的問題中，也常用到方程函數思想，這種思想貫穿于整個數學體系。它能培養學生的抽象與形象思維能力，分析問題、解決問題的能力，以及綜合運用能力。

五、對應

對應關系是指兩者或兩者以上的事物之間的屬性關系。例如，在學習實數時，把實數在數軸上表示出來，每一個實數與數軸上的點是一一對應的關系。又如，在學習二次函數時，二次函數y=x2，當函數值y=4時，就有x=2和x=-2兩個數和它對應。還有，在學習全等三角形和相似三角形時，也存在對應頂點、對應角、對應邊的對應關系。因此在教學過程設計中，滲透對應的思想，有助于培養學生用變化的觀點看問題，有助于今后培養學生的函數觀念。

六、運動

運動是指物體在空間中的位置發生了變化。數學運動的方法有很多，例如，圖形的平移、翻折、旋轉、剪接等。這些思想在軸對稱和中心對稱、動態幾何中求解、證明等知識的教學中都得到應用。例如，在等邊三角形的有關證明中常用到通過旋轉解決問題。在動態幾何題的探究中，三角形的某個頂點運動，探究什么條件下構成等腰三角形或等邊三角形或直角三角形。教學中滲透運動的數學思想方法，能激發學生的學習熱情，培養學生的觀察能力和操作能力。

七、整體與換元

整體與換元的思想是指處理某一類數學問題時，把問題中的某些元素或某一部分作為一個整體，通過換元來處理，使問題得到簡化，解題的途徑變得清晰。在教學中，合并某些“特殊”的同類項，分解因式，解方程，求代數式的值等，就常用到這種思想方法。如（1）解方程：（x2+5x-3）（x2+5x+1）-21=0，如果把前一項展開就成為一元四次方程，非常復雜。但如果把x2+5x-3（或x2+5x+1或x2+5x）作為一個整體用一個字母t代換，化為一元二次方程，再用因式分解法，立即得到方程的四個解。（2）已知x+1/x=3，求x4+1/x4的值，只要在解題過程中把x+1/x，x2+1/x2作為整體，解題的途徑變得明朗。這樣簡便、易懂、快捷。

八、不完全歸納

不完全歸納是指從一個或幾個（但不是全部）特殊情況作為一般性的結論歸納推理。盡管它有不完備的一面，有時得出的結論也不一定正確，但在初中階段還是有一定的實際意義。例如，用火柴棒拼正方形拼1個正方形用4根火柴，拼2個正方形用7根火柴，拼3個正方形用10根火柴，……，那么拼n個正方形用4+3×（n-1）根火柴。

這些都是利用了不完全歸納的思想方法，初步學到了由特殊到一般，再由一般到特殊的辨證唯物主義思想。

九、逐次逼近

在教學中經常采用試算的方法，即在解決某一問題時，經過一連串的試驗，使后者不斷地中止或修正前者實驗中所產生的誤差，不斷縮小含有正確答案的范圍，最后得出正確的結論，使問題得到解決，這就是數學中逐次逼近的思想。例如，求6的算術平方根的值。

22<6<32

2.12<6<2.52

2.42<6<2.52

2.442<6<2.452

2.4492<6<2.452

2.44942<6<2.44952

所以，6的算術平方根的近似值約為2.4494。

除上述介紹的幾種數學思想方法外，還有聯想和猜想、對比、逆向思維、方程、變元置換、完全歸納等數學思想方法，只要我們結合平時的教學內容，通過挖掘、整理、分析、滲透所涉及的數學思想方法，讓學生真正理解所學的知識，真正掌握方法，而不是生搬硬套，就會受到事半功倍的良好效果，為學習更深的知識，為數學的發展、探索、創新、研究奠定堅實的基礎。