重視理解的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)逆向設(shè)計(jì)*——以“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)為例

王 琳

傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計(jì)一般是教師根據(jù)自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，利用教材來組織教學(xué)。教學(xué)經(jīng)驗(yàn)固然不可或缺，但其大多呈現(xiàn)出碎片化、零散性的特征，往往依賴于教師個(gè)人對教學(xué)的理解，導(dǎo)致課堂教學(xué)缺乏系統(tǒng)化和概括化的目標(biāo)來引領(lǐng)教學(xué)研究的方向。同時(shí)，教材本身不是課程標(biāo)準(zhǔn)，和教學(xué)目標(biāo)也互不隸屬，現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)更關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成與否。反思了傳統(tǒng)設(shè)計(jì)的不足之后，兩位美國學(xué)者Grant W iggins和Jay McTighe提出了“逆向設(shè)計(jì)”（Backward Design）這一理念，逆向設(shè)計(jì)是一種“理解性教學(xué)”（Understanding by Design），強(qiáng)調(diào)評價(jià)先于設(shè)計(jì)，重視知識的發(fā)生和形成過程，強(qiáng)調(diào)思維理解，重視推理論證。

一、逆向設(shè)計(jì)的課堂教學(xué)特征

逆向設(shè)計(jì)的課堂教學(xué)特征可概括為：教學(xué)目標(biāo)源于課程標(biāo)準(zhǔn)，教學(xué)評估先于教學(xué)設(shè)計(jì)。“為理解而教”是數(shù)學(xué)課堂逆向設(shè)計(jì)的重要特征，表現(xiàn)為三種教學(xué)形態(tài)。一是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與教學(xué)目標(biāo)深度融合。逆向設(shè)計(jì)是一種“理解性教學(xué)”，強(qiáng)調(diào)教學(xué)應(yīng)走出解釋教材的老路與誤區(qū)，關(guān)注所教學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)優(yōu)化教學(xué)目標(biāo)，把學(xué)情作為設(shè)計(jì)的基點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。二是強(qiáng)調(diào)“理解性教學(xué)”是逆向設(shè)計(jì)的根基。在保證學(xué)生掌握知識的基礎(chǔ)之上，建構(gòu)學(xué)生解釋、判斷、應(yīng)用、推理、想象和認(rèn)知等能力，讓學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)知識，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，并將數(shù)學(xué)知識及思維應(yīng)用于生活情境，提升其問題解決能力。三是突出目標(biāo)與“教、學(xué)、評”的統(tǒng)一性。以理解為特征的逆向教學(xué)設(shè)計(jì)，強(qiáng)調(diào)教學(xué)目標(biāo)、過程和評價(jià)的一致性，以核心素養(yǎng)、課程標(biāo)準(zhǔn)為導(dǎo)向，強(qiáng)化元認(rèn)知監(jiān)控，引導(dǎo)學(xué)生主動體驗(yàn)與探究，培育學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，使學(xué)習(xí)進(jìn)程中評價(jià)與理解相互滲透，突出學(xué)生是課堂教學(xué)中真正的主人的理念。

二、逆向設(shè)計(jì)的教學(xué)策略

教學(xué)逆向設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為依據(jù)，從預(yù)期教學(xué)結(jié)果思考、設(shè)計(jì)教學(xué)方案。為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)、達(dá)成學(xué)習(xí)實(shí)效，逆向教學(xué)設(shè)計(jì)從教學(xué)評價(jià)出發(fā)，指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，針對教學(xué)目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)對教材的二次開發(fā)，將教學(xué)評估進(jìn)行細(xì)化和量化，統(tǒng)整課堂教學(xué)活動；以學(xué)生為中心、以數(shù)學(xué)思維培育為手段科學(xué)論證教學(xué)；活動設(shè)計(jì)上強(qiáng)化合作探究，教學(xué)動態(tài)生成、學(xué)生主動反饋，以師生協(xié)作完善教學(xué)閉環(huán)，不斷調(diào)整和優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂。

1.明確預(yù)期結(jié)果。

在此階段，教師實(shí)施“三研讀”的教學(xué)策略，即“研讀課標(biāo)、研讀教材、研讀學(xué)情”，深度研習(xí)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，全面理解數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，精準(zhǔn)把握學(xué)生的學(xué)習(xí)領(lǐng)悟能力與知識理解水平。根據(jù)數(shù)學(xué)課標(biāo)要求，列出教學(xué)驅(qū)動性問題，例如讓學(xué)生認(rèn)識什么、體會什么、掌握什么，教學(xué)中的大概念如何把握，是否需要設(shè)計(jì)思維進(jìn)階性問題，如何推進(jìn)層次學(xué)習(xí)，等等。目標(biāo)引領(lǐng)、任務(wù)驅(qū)動，站在學(xué)生立場，以學(xué)習(xí)為中心，讓逆向設(shè)計(jì)目標(biāo)進(jìn)一步層次化和精準(zhǔn)化，讓學(xué)生的學(xué)與教師的教進(jìn)行有效連接。

2.確定評估方式。

評估方式前置是逆向教學(xué)設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)最顯著的差別。課堂教學(xué)中，如何確認(rèn)學(xué)生的學(xué)習(xí)是否真正達(dá)到教學(xué)設(shè)計(jì)的預(yù)期？教師需以“評價(jià)”和“證據(jù)鏈”為工具，關(guān)注學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過程。教學(xué)中，教師應(yīng)注意多維互動，恰當(dāng)使用多種評價(jià)，采用問題鏈的形式讓學(xué)生主動思考，使學(xué)生在目標(biāo)引領(lǐng)下掌握數(shù)學(xué)知識的遷移和應(yīng)用。同時(shí)，以學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測標(biāo)準(zhǔn)與評價(jià)效能為指導(dǎo)，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”，評估與匯總“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)與學(xué)習(xí)目標(biāo)相關(guān)的因素，盡可能多地使用表現(xiàn)性評價(jià)。教師觀察課堂中學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)與預(yù)期成果之間的差距，學(xué)生主動運(yùn)用元認(rèn)知監(jiān)控，師生之間適時(shí)進(jìn)行動態(tài)評估與調(diào)整，確保學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成。

3.設(shè)計(jì)核心任務(wù)。

在此階段，教師應(yīng)思考設(shè)計(jì)怎樣的學(xué)習(xí)活動序列能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)？應(yīng)堅(jiān)持三原則：一是活動設(shè)計(jì)以學(xué)生學(xué)習(xí)為中心，讓學(xué)生站在課堂中央，將學(xué)習(xí)與生活實(shí)踐相聯(lián)系，使學(xué)生在真實(shí)情境中學(xué)習(xí)；二是用問題鏈串聯(lián)課堂教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念與規(guī)律的探究過程，引導(dǎo)學(xué)生“知情意行”合一；三是規(guī)劃“目標(biāo)與教、學(xué)、評實(shí)施路徑”的一致性，引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考，促進(jìn)學(xué)生的質(zhì)疑能力與判斷能力的形成，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)化與遷移、思維能力的遞進(jìn)、思維品質(zhì)的層級提升，從而為教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成提供強(qiáng)有力的保障。

三、逆向設(shè)計(jì)的教學(xué)案例

1.明確預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果。

首先，從課標(biāo)分析。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對本節(jié)內(nèi)容提出明確要求：從代數(shù)運(yùn)算和函數(shù)圖象兩方面揭示函數(shù)單調(diào)性；能用符號語言描述函數(shù)單調(diào)性的定義，并理解其作用和實(shí)際意義。其次，從教材分析。“函數(shù)的單調(diào)性”是學(xué)生接觸的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì)，蘇教版教材的編排是從氣溫圖象出發(fā)，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象和思維概括，通過枚舉事例來鞏固新知。再次，從學(xué)情分析。學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)基本性質(zhì)之前，已經(jīng)初步具備使用圖象判斷函數(shù)的能力，如正比例函數(shù)和一次函數(shù)等簡單函數(shù)的變化趨勢，但對如何用符號語言描述函數(shù)單調(diào)性的定義仍有困難。一般來說，在基礎(chǔ)知識方面，是讓學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)的單調(diào)性概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性的定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法，了解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的概念；在思維發(fā)展層面，讓學(xué)生參與探究函數(shù)單調(diào)性定義的過程，滲透“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、抽象等思維能力。

那么，如何針對函數(shù)的單調(diào)性設(shè)計(jì)教學(xué)中的“引導(dǎo)性問題”呢？可以直接選取生活情境，讓學(xué)生在真實(shí)的教學(xué)情境中理解函數(shù)的單調(diào)性。教學(xué)任務(wù)如下：如圖1所示，氣溫θ是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，記為θ=f（t），請同學(xué)們觀察這個(gè)氣溫變化圖，隨著時(shí)間的推移，氣溫有怎樣的升降變化規(guī)律？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作討論：如何使用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)概念來描述這一現(xiàn)象。讓學(xué)生自然地聯(lián)想到“函數(shù)的單調(diào)性”這一教學(xué)主題。

（圖1）

2.確定對學(xué)習(xí)目標(biāo)的評估方式。

在此階段，如何選擇可靠的、適當(dāng)?shù)脑u價(jià)證據(jù)來說明學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成與否呢？教師可以運(yùn)用“基于‘理解’的教學(xué)六維度”對學(xué)生進(jìn)行考查，即從解釋、判斷、推理、應(yīng)用、想象和認(rèn)知這六個(gè)方面來觀察學(xué)生是否真正領(lǐng)悟“函數(shù)單調(diào)性”。將探究任務(wù)進(jìn)行如下分解：

一是引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩方面觀察和研究一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，描述函數(shù)的變化趨勢，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“直觀想象”素養(yǎng)。這屬于“解釋”與“想象”的維度，可以針對本課題中“函數(shù)單調(diào)性”這一本原性問題，向?qū)W生提問：觀察教材中的函數(shù)圖象，請你思考，該函數(shù)為什么會出現(xiàn)這種變化趨勢？你能用數(shù)學(xué)符號語言準(zhǔn)確敘述出這一變化趨勢嗎？

二是讓學(xué)生借助這一具體函數(shù)的圖象，經(jīng)歷由文字語言到數(shù)學(xué)符號語言的探究過程，這屬于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“數(shù)學(xué)抽象”。對具體事例中函數(shù)的單調(diào)性能抽象概括出其概念，是“理解”中“判斷”與“推理"維度的體現(xiàn)。教師讓學(xué)生主動建構(gòu)函數(shù)及其圖象特點(diǎn)，同時(shí)鼓勵學(xué)生相互傾聽、多元表達(dá)，嘗試用自己的語言描述圖象的變化趨勢，概括函數(shù)單調(diào)性的定義。

三是觀察學(xué)生能否利用函數(shù)圖象直接寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；能否利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性。提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的邏輯推理能力，這屬于“認(rèn)知”與“應(yīng)用”的維度。在教學(xué)中，學(xué)生通過主動學(xué)習(xí)，知道如何用符號語言表達(dá)數(shù)學(xué)概念的意義，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的一般思路和方法。觀察學(xué)生能否使用代數(shù)運(yùn)算來證明函數(shù)的單調(diào)性，從而上升到研究數(shù)學(xué)概念的一般方法，進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)概括與思維內(nèi)化，為遷移至新的情境中解決問題奠定方法論基礎(chǔ)。深化學(xué)生對概念本質(zhì)的理解，感悟知識的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和外部聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

3.設(shè)計(jì)教學(xué)活動，整合教學(xué)核心任務(wù)。

確定學(xué)習(xí)目標(biāo)與評價(jià)方法之后，實(shí)施教學(xué)策略的思路如下：直觀感知、文字描述、定性描述（抽象定義）、定量描述（代數(shù)運(yùn)算）、實(shí)踐遷移（策略運(yùn)用）。教學(xué)任務(wù)以“問題串”的形式展開，圍繞學(xué)習(xí)目標(biāo)，以“學(xué)習(xí)評價(jià)”和“證據(jù)鏈”為工具，關(guān)注學(xué)生的探究過程與學(xué)習(xí)效能，具體如下：

探究任務(wù)1：觀察圖2中函數(shù)的圖象，指出其“升”“降”趨勢。

拿著“僑民捐的錢用來干什么了”的問題去問本地普通居民，他們都會說“發(fā)展項(xiàng)目”，有的人也能舉出一兩個(gè)橋梁、道路工程的名字。但他們對節(jié)慶所募集的資金、接受的捐款去向確實(shí)不甚明了。同樣地，海外僑民也無法保障自己捐贈的款額能夠真正造福家鄉(xiāng)人民。因此，有些僑民組織并不信任地方政府，會以參與項(xiàng)目實(shí)施為捐贈條件，并親自管理賬目，不愿全權(quán)交給地方政府打理。僑民可以將無形的權(quán)力轉(zhuǎn)化為實(shí)質(zhì)的權(quán)力，對當(dāng)?shù)鼗A(chǔ)設(shè)施建設(shè)產(chǎn)生一定的影響，這樣的權(quán)力運(yùn)作需要僑民更加主動地投入，反之則缺乏保障。

（圖2）

探究任務(wù)2：填寫下列表格（見表1），你能從變量x與f（x）數(shù)值的變化情況得出函數(shù)f（x）=x2圖象的“上升”與“下降”情況嗎？（學(xué)生活動、討論）

表1 函數(shù)f（x）數(shù)值的變化

探究任務(wù)3：如何利用符號化的數(shù)學(xué)語言描述“在區(qū)間（0，+∞）上，隨著自變量x的增大，相應(yīng)的f（x）的值也增大”呢？（學(xué)生活動、討論）

探究任務(wù)4：（1）對于函數(shù)y=f（x），在x∈（0，+∞）上，滿足：x1=1時(shí)，f（x1）=1；x2=3時(shí)，f（x2）=9。是否能說明在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)值隨x的增大而增大？（師生共研）

（2）對于函數(shù)y=f（x），在x∈（0，+∞）上有10000個(gè)數(shù)，當(dāng)x1＜x2＜x3＜…＜x10000時(shí)，滿足f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜…＜f（x10000），是否能說明在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)值隨x的增大而增大？（師生共研）

（3）對于函數(shù)y=f（x），在x∈（0，+∞）上任取兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，滿足f（x1）＜f（x2），是否能說明在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)值隨x的增大而增大嗎？（師生共研，教師板書增函數(shù)的定義）

探究任務(wù)5：在函數(shù)f（x）=x2的圖象上還可以觀察到，在y軸的左側(cè)函數(shù)圖象自左而右是下降的。類比增函數(shù)的定義，你能概括出減函數(shù)的定義嗎？（教師板書減函數(shù)的定義）

探究任務(wù)6：判斷下列命題的正誤。

探究任務(wù)7：如圖3是定義在閉區(qū)間［-5，5］上的函數(shù)y=f（x）的圖象，根據(jù)圖象分別說出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間及單調(diào)減區(qū)間。

（圖3）

以上“問題串”的設(shè)計(jì)遵循概念教學(xué)的一般過程，任務(wù)1和任務(wù)2根據(jù)任務(wù)情境，依據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，設(shè)置“引導(dǎo)性問題”。任務(wù)3、任務(wù)4和任務(wù)5是概念探究的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，即在特定的背景下探究概念的外延與內(nèi)涵，在問題探究的基礎(chǔ)上呈現(xiàn)出“函數(shù)單調(diào)性”的定義。為了使“問題串”的設(shè)計(jì)更加完整，任務(wù)6辨析概念，即通過設(shè)計(jì)非概念情境中的“反例變式”，對概念進(jìn)行多角度的辨析與理解。任務(wù)7和任務(wù)8幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，讓學(xué)生深入理解函數(shù)單調(diào)性概念的表征體系。以上設(shè)計(jì)，更重要的是讓學(xué)生在具體的探究任務(wù)的學(xué)習(xí)過程中，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)化了學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性概念及其數(shù)學(xué)符號語言的認(rèn)知，激發(fā)了學(xué)生的主觀能動性和學(xué)習(xí)效能感。

重視理解的逆向教學(xué)設(shè)計(jì)，以教學(xué)評價(jià)為基點(diǎn)，從教學(xué)目標(biāo)出發(fā)，重新規(guī)劃了學(xué)生的學(xué)習(xí)方向，重視課標(biāo)、學(xué)情與文本內(nèi)容的統(tǒng)一，對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行階梯式設(shè)計(jì)，變革了教師的教學(xué)理念與教學(xué)方式。它不僅關(guān)注教師的教學(xué)設(shè)計(jì)理念，更以評價(jià)任務(wù)為抓手，合理搭建教學(xué)腳手架，注重對學(xué)生思維的提升，強(qiáng)化學(xué)生對學(xué)習(xí)的理解，充分體現(xiàn)出學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、方法、思想的深入理解，使其自主思考和獨(dú)立精神得到體現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育。