BP神經網絡在彈丸落點預測中的應用

王 森，王良明，傅 健

(南京理工大學能源與動力工程學院，江蘇 南京 210094)

1 引言

現代戰爭中，對目標的精確打擊已成為影響戰爭結局的關鍵因素，越來越多的國家開始把精確打擊作為彈箭技術發展的重要方向。要準確地命中目標，就需要對彈丸的落點進行準確的預測，從而根據預測落點與目標點的偏差來調整彈上的執行機構，使彈道得到修正，從而減小彈丸的脫靶量[1]。

目前主要采用彈道積分外推法來預測彈丸的落點[2]，該方法首先需要根據不同彈丸的運動特性建立外彈道方程，然后把彈丸飛行過程中某一點的飛行狀態參數帶入外彈道方程作為方程的積分初值，接著采用龍格庫塔法對彈道方程進行積分解算，直到彈丸落地，從而獲得彈丸的落點位置。彈道積分外推法的解算精度由彈載計算機的性能和積分步長決定。要想獲得較高的精度就需要選擇較小的積分步長，這會使得解算時間過長、所需計算資源較多，同時積分過程中的累積誤差也會增大。在彈道積分外推法的基礎上，一些學者把卡爾曼濾波法引入到了彈丸落點的預測中[3-5]，在一定程度上降低了隨機噪聲和累計誤差對預測精度的影響。引入卡爾曼濾波雖然提高了積分外推法的容錯能力，但其需要建立較為準確的系統狀態模型和量測模型，由于彈道模型是非線性模型，因此在濾波的過程中會使計算量增大，從而使解算時間增長。還有學者提出了使用多項式擬合預測落點的方法[6-7]，通過擬合彈丸各狀態變量與飛行時間的關系來計算落點。該方法的解算時間較快，但在精度上還有待提升。

近年來，越來越多的智能算法被應用于系統控制、模式識別、性能預測等領域，其中，人工神經網絡是使用較為活躍的一種方法。人工神經網絡受到生物神經網絡運行機理的啟發，采用分布式并行運算的方法來對輸入的信息進行處理，并且在輸入信息的傳遞過程中使用了非線性激活函數，使其具有非線性映射能力和容錯性，非常適用于處理非線性系統的問題。因此，本文把人工神經網絡算法和彈丸落點預測問題相結合，提出了基于BP人工神經網絡的彈丸落點預測方法。

2 BP神經網絡

2.1 標準BP算法

BP神經網絡(Back Propagation Neural Network，BPNN)，即反向傳播神經網絡，屬于多層前饋型神經網絡，具有輸入層、隱含層和輸出層，各層之間的神經元采用全連接的方式，每一層中的神經元互不相連。BP神經網絡采用輸入信號正向傳遞和輸出誤差反向傳播的監督式學習規則，是目前各種人工神經網絡模型中運用最為廣泛的一種，具有較為成熟的理論體系[8]。輸入信號在網絡中的正向傳遞會產生網絡的實際輸出，通過比較實際輸出與輸入信號的期望輸出，得到網絡的誤差，將得到的誤差從輸出層傳入網絡，采用梯度下降法對網絡各層的權值和閾值進行修正，當樣本的輸出誤差收斂于設定誤差時，結束訓練過程，得到網絡模型。典型的三層BP神經網絡結構如圖1所示。

圖1 BP神經網絡結構圖

圖中，xj為輸入層第j個神經元的輸入，j=1，2，…n；wij為輸入層第j個神經元到隱含層第i個神經元之間的權值，i=1，2，…h；bi為隱含層第i個神經元的閾值；φ為隱含層的激活函數；wki為隱含層第i個神經元到輸出層第k個神經元之間的權值，k=1，2，…m；ak為輸出層第k個神經元的閾值；ψ為輸出層的激活函數；yk為輸出層第k個神經元的輸出。

1) 信號的正向傳遞過程。

隱含層第i個神經元的輸入neti和輸出oi為

(1)

(2)

輸出層第k個神經元的輸入netk和輸出yk為

(3)

(4)

2) 誤差的反向傳播過程。

對于每一個樣本p，設其輸出層第k個節點的期望輸出為Tk，則此樣本的二次型誤差目標函數Ep為

(5)

得出樣本的期望輸出和網絡正向輸出之間的誤差后，給定學習率η，就可根據梯度下降法按照誤差目標函數的負梯度方向對輸出層和隱含層的各參數進行調整。

輸出層權值的修正量和閾值的修正量為

(6)

(7)

隱含層權值的修正量Δwij和閾值的修正量Δbi為

(8)

(9)

2.2 標準BP算法的改進

標準BP算法使用的是非線性規劃方法中的最速下降法，其要解決的問題是讓設定的誤差目標函數達到最小值，即讓網絡的實際輸出與期望輸出最為接近，從而獲得網絡各層權值和閾值的最優值。因為其按照誤差目標函數的負梯度方向來計算網絡各參數的調整量，所以存在陷入局部極小值的問題，并且標準BP算法也需要較長的時間來訓練網絡以使誤差收斂[9]。為解決標準BP算法的不足，已提出了一些改進的方法，如變學習率算法、附加動量算法、高斯-牛頓算法、共軛梯度算法、Levenberg-Marquardt(LM)算法等數值優化算法。在這些改進算法中，LM算法是高斯-牛頓算法的變形，常用于最小化作為其它非線性函數平方和的函數，所以非常適合于神經網絡誤差目標函數的優化[10-11]。本文采用LM算法對標準BP算法進行改進。

設x為網絡各層權值和閾值構成的向量，其修正量為Δx，有

xk+1=xk+Δx

(10)

式中，k為迭代次數。

誤差目標函數為

(11)

式中，e(x)為實際輸出與期望輸出的誤差。

由牛頓法則有

Δx=-[?2E(x)]-1?E(x)

(12)

式中，?2E(x)為E(x)的Hessian矩陣，?E(x)表示梯度，兩者的計算式為：

?E(x)=JT(x)e(x)

(13)

?2E(x)=JT(x)J(x)+S(x)

(14)

式中，S(x)為誤差函數，J為雅克比矩陣，兩者的計算式為

(15)

(16)

對于高斯-牛頓法則，有

(17)

LM算法改進了上式，Δx的計算式為

(18)

式中，μ為比例系數，μ>0；I為單位矩陣。

可以看出，LM算法是梯度下降算法和高斯-牛頓算法的結合。當μ的取值較大時，LM算法近似于前者；當μ的取值較小時，LM算法又接近于后者。因此，LM算法綜合了二者的優點，使訓練網絡所需的時間短、網絡誤差的收斂過程穩定，并且更容易得到全局最優值。

3 BP神經網絡的落點預測方法

3.1 網絡結構的確定

根據外彈道理論[2]，彈丸當前狀態參數與彈丸落點之間存在著非線性關系，形式為

O=F(I)

(19)

式中，O為落點信息，I為彈丸當前狀態參數。

由于BP神經網絡對非線性映射有著很好的逼近關系，所以可以通過BP神經網絡得到彈丸當前狀態參數與落點之間的一種映射關系F′(I)，使得F′(I)→F(I)，即可通過F′(I)得到彈丸的落點信息。

考慮到彈丸在飛行過程中參數的易獲得性，選擇彈丸當前位置在地面坐標系中的分量x、y、z和速度在地面坐標系中的分量vx、vy、vz作為神經網絡輸入層的輸入，彈丸落點信息(射程X和橫偏Z)作為神經網絡輸出層的輸出。

由Kolmogorov定理知，對于給定的任一連續函數，可通過一個三層的神經網絡來實現其映射關系[12]。當隱含層層數過多時，會使誤差的反向傳播變得復雜，可能導致誤差函數收斂時間過長甚至出現無法收斂的情況。因此，本文選擇的隱含層數為1層。對于隱含層神經元節點數目的選取，目前并無確定的選擇方法，較多的是使用經驗公式來確定其數目[13]

(20)

式中，n1為輸入層神經元個數，n2為隱含層神經元個數，n3為輸出層神經元個數，a為常數(取值0～10)。通過對隱含層神經元節點數目不同取值的仿真，本文最后選取隱含層節點數為13。

綜上所述，本文選取的用于彈丸落點預測的神經網絡結構為6-13-2，如圖2所示。

圖2 落點預測的BP神經網絡結構

3.2 網絡的訓練

本文用于BP神經網絡訓練的彈道數據通過在不同的初始射角條件下使用四階龍格庫塔法解算六自由度外彈道方程得到。射角范圍設置為從6°開始，每隔2°計算一條彈道，直到射角為70°時停止；四階龍格庫塔法的積分步長設置為0.005s；彈丸狀態參數的采集時間為發射后5s至落地前5s，采集間隔為0.5s。將采集到的狀態參數與落點信息一一對應，共得到4646組數據集。為了避免在訓練過程中出現過擬合現象，提高網絡的推廣能力，將數據集的80%設置為訓練數據集，20%設置為驗證數據集[14-15]。在開始網絡的訓練之前，還需要對數據進行歸一化處理，使輸入數據的值在0到1之間，以消除數據間數量級的差別對網絡訓練的影響，歸一化公式為

(21)

式中，xi為歸一化后的數據，xk為待歸一化的數據，xmin為數據序列的最小值，xmax為數據序列的最大值。

按上述方法訓練建立的BP神經網絡，待網絡的誤差收斂后就可得到用于預測彈丸落點的神經網絡模型，過程為：

1) 將仿真得到的數據集劃分為訓練數據集和驗證數據集，并歸一化數據集；

2) 初始化神經網絡各層的權值和閾值；

3) 利用訓練數據集對網絡進行訓練，根據網絡的實際輸出和期望輸出之間的誤差以LM算法來修正網絡各層的權值和閾值；

4) 利用驗證數據集的網絡輸出對訓練過程進行過擬合情況的監控；

5) 當網絡的輸出誤差達到最優時，停止網絡的訓練過程，得到落點預測的神經網絡模型；

6) 輸入新的彈丸飛行狀態參數到訓練好的模型中，網絡輸出預測的落點信息。

4 仿真結果及分析

4.1 網絡訓練結果

按照上文所述的方法訓練BP神經網絡，訓練結果如圖3所示。

圖3 網絡訓練誤差收斂曲線

從圖中可以看出，網絡的輸出誤差以指數形式下降，并逐漸接近于所設定的誤差值。訓練集與驗證集的輸出誤差下降趨勢一致，網絡的訓練過程穩定。當訓練次數達到1612次時，輸出誤差為6.7012×10-7，雖然還未降到設定誤差值10-7，但此時驗證集的輸出誤差已達最小，因此訓練過程提前停止，避免訓練結果出現過擬合的情況。

4.2 落點預測仿真結果及分析

選擇訓練數據集外的三組彈道數據(射角分別為35°、45°和55°)，并從每組彈道數據中隨機挑選30個彈道狀態點，以這30個狀態點的狀態參數(x、y、z、vx、vy、vz)作為測試數據，輸入已訓練好的BP神經網絡模型中，來預測彈丸的落點。三組數據對彈丸射程和橫偏的預測誤差分別如圖4和圖5所示，每組數據預測誤差絕對值的最大值、最小值和平均值如表1所示。

圖4 射程預測誤差

圖5 橫偏預測誤差

表1 預測誤差結果統計

由仿真結果可知，三組數據的射程預測誤差均不超過10m，橫偏預測誤差均不超過2m，經過訓練的BP神經網絡以較高的精度實現了彈丸當前狀態參數(x、y、z、vx、vy、vz到落點信息(X、Z)的映射。在實際應用中，可以擴大神經網絡訓練數據集中的數據量，以得到更高精度的預測結果。

同時，從三組彈道數據共90個彈道狀態點中隨機選擇10個狀態點，分別統計數值積分法和BP神經網絡法的落點解算時間，結果如表2所示。

表2 落點解算時間

從解算時間的統計結果看，數值積分法的平均耗時為246.15ms，BP神經網絡法的平均耗時為24.99ms，BP神經網絡法在彈丸落點預測的解算時間上也有一定的優勢。在實際應用中，訓練過程可離線完成，只需要把訓練好的神經網絡模型裝入彈載計算機中用于彈丸落點的實時預測，因此可以節省大量的訓練時間，滿足彈丸落點預測的快速性要求。

5 結論

為實現彈丸落點預測的快速性和準確性，本文引入了BP神經網絡算法，并對標準BP算法進行了改進。以改進的BP神經網絡算法為基礎，建立了彈丸落點預測的神經網絡模型，然后利用大量的彈丸狀態參數(x、y、z、vx、vy、vz)和落點信息(X、Z)對建立的模型進行訓練，最后對訓練得到的神經網絡模型進行了落點預測的仿真測試。仿真結果表明，射程預測誤差的最大值和最小值分別為9.332m和0.009m，橫偏預測誤差的最大值和最小值分別為1.933m和0.024m；同時該方法的彈丸落點平均解算時間比數值積分法少了221.16ms。因此，本文提出的方法能以較高的精度預測彈丸落點，并且解算時間優于數值積分算法，可以為彈丸落點預測的實際應用提供參考。