基于反席卷法的高超聲速飛行器最優制導律

林 靈，郭曉林

(1. 中國民用航空飛行學院，四川 廣漢 618307；2. 中國民用航空西南地區空中交通管理局重慶分局，重慶 401120；)

1 引言

再入飛行器的制導律設計通常可分為標稱軌跡制導[1-4]和預測校正制導[5-10]。預測校正制導是根據實際軌道的預報落點與預定落點之間的偏差值對控制量進行校正。標稱軌跡制導是設計反饋控制律消除擾動，使再入飛行器始終沿著基準軌跡飛行。兩種設計方法各有利弊，自適應方法可以適應飛行過程中由于故障或任務改變而進行的軌跡調整，但由于在每一個制導周期內都對飛行軌跡進行重新規劃，計算量較大，因而對再入飛行器的在線計算能力和信息存儲容量要求較高[11]。標稱軌跡制導主要包括離線標稱軌跡規劃與在線軌跡跟蹤兩部分，在最優軌跡確定以后，通過設計反饋控制律消除跟蹤偏差可以實現高精度制導，且計算量小，工程上易于實現。

本文所設計的制導律基于標稱制導體制，傳統的標稱制導律通常是使實際狀態量盡快的接近標稱狀態量，而沒有考慮為了消除擾動所形成的實際修正軌跡的最優性。本文在設計反饋控制律時，考慮到擾動所形成的偏差偏離原最優標稱軌跡的范圍并不大，因而引入了鄰域最優控制理論，從而保證修正軌跡的最優性。在計算反饋控制量時，基于標稱軌跡的數據，采用反席卷法[12]建立終端席卷變量的微分方程，逆向進行積分計算，因此求解最優反饋修正量的過程中并沒有進行迭代計算，提高了計算效率，保證了算法的在線實施。

2 再入制導標稱軌跡

2.1 再入運動數學模型

不考慮地球自轉帶來的影響，無動力高超聲速再入飛行器的運動模型如下。狀態量為x=(r，φ，θ，v，γ，χ)，r表示飛行器與地心的距離；φ，θ分別表示經度與緯度；v表示速度、γ與χ分別表示航跡傾角、航跡偏角；控制量為u=[a，β]，a，β分別表示攻角和傾側角。

(1)

式中，m表示飛行器質量，g表示重力加速度，L，D分別表示升力和阻力

(2)

式中，ρ為大氣密度，S為參考面積，CL，CD分別表示升力系數與阻力系數，其表達式如下，具體參數參考文獻[13]

(3)

2.2 軌跡優化模型

軌跡優化即求解控制量u=[a，β]使目標函數最小(或最大)，并且滿足狀態微分方程及一系列終端及過程約束條件。為了再入飛行器的橫向機動最大，通常區精度最大為性能指標

J=Φ(x(tf)，tf)=-θf

(4)

再入飛行過程中需要嚴格滿足動壓、過載及熱流密度及控制量約束

q=0.5ρv2≤qmax

(5)

(6)

(7)

umin≤u≤umax

(8)

在終端時刻需要滿足位置、速度和角度等約束條件

(9)

針對以上的再入軌跡優化模型，先采用偽譜法將其轉化為非線性規劃問題，再采用非線性規劃求解器SNOPT[14]等進行求解。具體參數設置參考文獻[13]，仿真結果如圖1至圖3所示。

圖1 標稱軌跡

圖2 標稱控制量

圖3 過程約束

3 基于反席卷法的制導律設計

由于建模誤差及外界隨機干擾，通常會造成飛行器的實際軌跡偏離標稱軌跡，為了解決此問題，可以在線重新規劃軌跡，但這種方法計算量大，工程上難以實現。本節考慮采用最優控制中的相關理論與反席卷法，通過最優控制理論得到協態量與終端偏差的微分方程后，引入席卷變量，推導席卷變量的微分方程及終端條件，進行逆向席卷，然后借助標稱軌跡數據求得席卷變量，進而根據最優控制中的相關推導，求解跟蹤控制律，得到最優修正軌跡。

(10)

根據極小值原理，可得正則方程與耦合方程如下

(11)

(12)

式中，哈密頓函數為

H(x，u，λ，t)=λTf(x，u，t)

(13)

考慮到終端狀態受約束，則邊界約束條件為

x(t0)=x0

(14)

ψ[x(tf)，tf]=0

(15)

(16)

考慮飛行器實際飛行軌跡與標稱軌跡的初始偏差δx(t)，初始偏差會產生狀態量、協態量及控制量與最優參考軌跡的偏差，分別為δx、δλ和δu，對式(11)-(15)進行二階變分，可得

(17)

(18)

當矩陣Huu為非奇異矩陣時，可得

(19)

式中

(20)

結合式(15)-(16)，引入席卷變量S，R和Q將δλ和δψ表示成關于拉格朗日乘子偏差dv和狀態量偏差δx的線性關系

δλ(t)=S(t)δx(t)+R(t)dv

(21)

δψ=RT(t)δx(t)+Q(t)dv

(22)

對式(21)-(22)等號兩邊進行求導，考慮常量矩陣δψ和dv一階導為零，可得

(23)

(24)

聯立式(17)與式(22)-(23)，可以得到關于S，R和Q微分方程

(25)

(26)

(27)

式(25)-(27)的終端約束條件應與式(18)相一致，所以可以得到如下的表達式

(28)

R(tf)=[ψx]tf

(29)

Q(tf)=0

(30)

根據微分方程(25)-(27)及其終端條件逆向進行積分，再聯立式(22)，可以得到

dv=Q-1(t0)(δψ-RT(t0)δx(t0))

(31)

將式(31)代入式(21)中，可以得到協態量偏差的初始值

δλ(t0)=[(S-RQ-1RT)δX+RQ-1δψ]t0

(32)

由式(32)可以求出初始協態量偏差，結合初始狀態量偏差，將兩者代入式(19)中，即可得到任意時刻相應的最優狀態修正量及最優控制修正量，進而實現了閉環的標稱制導。本文所設計制導律的流程框圖如圖4所示。

圖4 最優制導律

4 仿真驗證

為了驗證本文所設計的制導算法的有效性，將表1中的初始擾動分別作為正值和負值加入制導回路中：

表1 初始擾動

為了便于比較，令Case 1和Case 2分別表示正值擾動和負值擾動，仿真所用的計算機配置為聯想CPU 2.5GHz Intel Core i5處理器，仿真軟件為MATLAB? R2014a。飛行器狀態量偏差變化曲線如圖5所示。過程約束的變化曲線如圖6所示，圖中Max表示約束上限。

由圖5可知，在初始擾動存在的條件下，采用本文設計的反饋控制律所形成的閉環制導律，跟蹤誤差沿整條軌跡都不大，且最終收斂，驗證了制導算法的有效性。由圖6可知，采用本文方法得到的修正軌跡仍然滿足熱流、動壓和過載等過程約束，因此保證了制導律的可實現性。

圖5 狀態量偏差

圖6 過程約束

圖7 軌跡對比

本文在設計反饋控制律時，考慮了消除擾動所形成的實際修正軌跡的最優性，為了驗證這一優勢，將采用本文制導算法所得到的修正軌跡與偽譜法重新優化所得到的軌跡進行了對比，由圖7可知，兩條軌跡基本重合，驗證了本文所設計的制導算法的最優性。表2給出了本文方法與基于偽譜法重新優化的制導策略的消耗時間對比，由表2可知，本文方法的計算效率遠遠高于重新優化的策略，滿足實時性的要求。本文方法計算效率大幅提升的原因為其利用原有標稱軌跡數據，進行矩陣運算及積分求解最優反饋修正量，避免了迭代尋優計算，大幅降低了運算量。

表2 消耗時間對比

5 結論

本文基于最優控制相關理論與反席卷法，設計了一種實時的標稱最優制導律。所設計的制導律考慮了消除擾動所形成的實際修正軌跡的最優性，在狀態量具有較大初始擾動的情況下具有良好的魯棒性，且修正軌跡滿足多種過程約束，保證了其可實現性。由于本文方法通過矩陣運算及積分求解最優反饋修正量，避免了迭代尋優計算，計算效率大幅提高，約為重新優化策略的120倍，且滿足實時性的要求。