基于改進粒子群算法的倒立擺LQR優化控制

王鵬飛，杜忠華，牛 坤，馬 祥

(南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京 210094)

1 引言

倒立擺是典型的多變量、高階次、非線性的不穩定系統，倒立擺的原理與多旋翼無人機，人形機器人有著相似的特征，可將其推廣到更多的具有類似特征的智能控制領域，因此對其研究具有十分重要的理論和實踐意義。近年來，國內外學者也針對倒立擺進行了各種控制算法的研究。如智能控制[1]、模糊控制[2]、滑模控制[3]等，其中，已廣泛應用于多變量系統控制的線性二次型(LQR)最優控制方法[4]，可以實現倒立擺系統的穩定控制。隨著擺桿級數的增加，系統目標變量的數量增多，需要確定的變量數目增加使取值的困難程度增大，權矩陣Q的確定通常采用實驗試探的方法，具有一定的盲目性，缺乏理論指導[5]。由于粒子群有良好的全局搜索能力[6]，可以利用其優點獲得最優線性二次型調節器的Q和R，然而粒子群算法也存在易陷入局部最優解以及搜索能力不均衡的問題，需要對其進行優化改進。

文獻[7]對粒子群算法中的慣性因子進行階梯式調整，慣性權重根據迭代進行逐步調整，但優化效果不夠明顯。文獻[8]提出了一種多粒子協作的方法，將優化過程中的不同粒子進行交互協作，從而獲取各個粒子中有用的信息。文獻[9]提出了隨機選取一個粒子計算其適應度值，如果該值優于當前粒子，則該隨機粒子作為學習粒子。文獻[8，9]都有利于增加種群信息的多樣性但是過程過于繁瑣且易受外界環境的影響。

本文提出了一種引入交叉算子和非線性動態慣性權重的粒子群優化算法，通過引用類比于遺傳算法中的交叉算子可以增加群體的多樣性，提高了粒子群的全局搜索能力。為了平衡粒子群的全局搜索能力和局部搜索能力，對慣性權重進行調整，引入了非線性動態慣性權重，在迭代早期有利于跳出局部最優，進行全局尋優，在迭代后期有利于增強局部搜索能力，提高收斂速度。

應用改進粒子群算法對LQR控制器進行參數整定，建立二級倒立擺模型，結合仿真分析對比，可以得出該方法具有較好的控制效果。

2 二級倒立擺拉格朗日建模

如圖1所示的二級倒立擺系統主要由一個沿軌道移動的小車和兩個可以自由旋轉的擺桿組成，小車和擺桿通過轉軸相互連接，每個擺桿可以通過轉軸在XOY平面內自由轉動，直流電機通過帶傳動控制小車在軌道上的移動將擺桿穩定在垂直向上平衡點。

圖1 二級倒立擺系統的模型

為了方便進行推導需要忽略一些次要因素。比如相對滑動，傳遞的延時和各種摩擦。小車質量M0=1.02kg，下擺桿質量M1=0.45kg，上擺桿質量M2=0.05kg，下擺擺長L1=0.43m，上擺擺長L2=0.15m，下擺到其重心的距離l1=0.37m，上擺到其重心的距離l2=0.05m，下擺對質心的轉動慣量J1=0.0042kgm2，上擺對質心的轉動慣量J2=0.0001 kgm2，控制力與功放輸入電壓之比G0=2.48N/V，下擺和上擺與轉軸之間的摩擦系數F1=F2=0.003Ns/m。

通過對二級倒立擺的小車和擺桿進行受力和運動分析，運用拉格朗日方程推導運動學方程，作用在倒立擺系統上的力包括：非有勢力的廣義力、有勢力和耗散力，選擇小車位移x、下擺角位移θ1、上擺角位移θ2為廣義坐標。因此，二級倒立擺系統的拉格朗日方程為

(1)

其中qi為廣義坐標，q0為小車位移x，q1為下擺角位移θ1，q2為上擺角位移θ2，Fi為作用在系統上的廣義力，T，V，D分別是系統的總動能，總勢能和總耗散能。

取狀態向量

通過推導變換可得二級倒立擺狀態方程和輸出方程為

(2)

式中

其中：

化簡并代入參數，可得狀態空間模型各個矩陣參數。在Matlab中輸入階躍信號，通過觀察小車和擺角的響應曲線可知系統需要外加控制器才能達到穩定狀態。

3 LQR控制器設計

LQR控制算法就是以較小的輸入為代價實現各個目標的有效控制[10]。LQR控制算法用于確定最優控制量U(t)=-KX的反饋矩陣K，使閉環系統逐步穩定并控制性能指標

(3)

達到最小。采用變分法求解可得反饋增益矩陣為

K=-R-1BTP

(4)

矩陣P可以由Riccati方程得出

ATP+PA-PBR-1BTP+Q=0

(5)

Q是狀態變量的加權矩陣。權矩陣Q=diag(q1，q2，q3，q4，(q5，q6)中的各項系數分別代表其對應指標誤差的相對重要程度；R是控制量的加權矩陣，表示能量損失的相對重要性，以防止控制器的輸出太大而超過可控范圍。LQR中權矩陣Q和R的設計非常關鍵，直接影響LQR的控制性能，Q為半正定矩陣，R為正定矩陣。LQR最優控制的目標是以性能泛函最小為約束，需求時變、系統狀態及輸入變化時所需的最優控制力U(t)，使系統始終趨于初始最優狀態。性能指標加權矩陣Q和控制量加權矩陣R相互制約，通常選擇為對角矩陣，控制輸入單一時刻直接取標量R=1；Q的選擇不唯一[11]。

4 粒子群算法優化

粒子群優化(Particle Swarm Optimization，PSO)算法是一種基于迭代的群體智能隨機搜索算法，因其概念簡單、易于實現而備受關注。但PSO算法存在易陷入局部最優的問題，不能完全保證全局收斂。針對PSO算法的不足，引入交叉算子和非線性動態慣性權重來改進傳統PSO算法。

4.1 交叉算子

交叉算子通過對群體中的個體信息進行交叉操作，并在演化的過程中逐漸延續和保留那些優秀的基因，從而使群體朝著更好的方向進化。

交叉算子通過對群體中的個體信息進行交叉操作，并在演化的過程中逐漸延續和保留那些優秀的基因，從而使群體朝著更好的方向進化。

(6)

式中randj(0，1)為[0，1]之間的隨機數;jrand為[1，D]上隨機均勻產生的整數;P為交叉概率。

最后，對粒子的個體歷史最優位置進行更新

(7)

式中f(*)為適應度函數。將交叉概率P通過通過自適應的方式編碼到每個粒子中，以實現自適應控制。擴展編碼后群體中粒子i可描述為

采用下面的規則對交叉概率進行更新操作。

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(8)

式中λ為參數pc的更新概率

4.2 非線性動態慣性權重

在傳統PSO算法中，采用固定或者線性遞減的慣性權重無法自適應調整慣性權重，粒子群的全局搜索能力和局部搜索能力無法得到平衡。因此，采用非線性動態慣性權重系數的計算公式，解決了該算法在全局最優解附近易早熟和產生振蕩的現象。表達式為

(9)

其中：minw和maxw分別為慣性權重的最小值和最大值；f為粒子的適應度值；favg為粒子的平均適應度值；fmin為粒子的最小適應度值。當各粒子局部最優或者目標值逐漸一致時，慣性權重值會逐漸增大。相反，慣性權重會逐漸減小。同時，對于目標適應度值低于平均目標值的粒子，其慣性權重因子保持增大，使粒子朝著更好的方向進化，反之則說明粒子當前的位置不需要進行較大的更新，保護粒子達到更優的性能。

學習因子(C1、C2)表示的是粒子的記憶和學習能力。在迭代的初始階段，粒子可以朝著不同的方向進行搜索，保證粒子具有多樣性，為了加快粒子的搜索速度進行粗尋優需要使C1較大C2較小；在迭代后期階段，粒子的搜索空間縮小，其重心在全局最優解，C1較小C2較大，保證了粒子群能夠精細的搜索。在傳統PSO參數中經常選取C1=C2=2，這樣既不利于在前期進化中快速找到最優解，又不利于在后期得到全局最優解。因此需要動態調整C1和C2的值，使其在迭代的前后期中分別發揮其最優作用。

(10)

其中C1f和C2f為C1和C2的初值，C1e和C2e為C1和C2的終值，S和Smax分別是當前迭代次數和最高迭代次數。

5 基于改進粒子群算法的LQR控制器參數整定

1)適應度函數定義

適應度函數是粒子群算法的一個重要概念。在粒子進化的過程中需要依靠適應度值來判斷當前位置的好壞，以選擇更好的個體。適應度函數的選擇直接影響最后的結果的是否具有代表性。直線二級倒立擺的目的是實現小車和擺桿到達指定位置，為了保證控制效果和控制代價之間的均衡，采用時間誤差積分準則(ITAE)用作適應度函數，以確保系統具有良好的動態性能。

(11)

本文提出的改進粒子群算法的具體實現步驟如下：

①初始化粒子種群規模，設定粒子交叉概率初始值，并計算初始粒子的適應值和全局最優適應值。

②利用非線性動態慣性權重系數計算公式更新慣性權重的值，動態調整學習因子C1和C2，進行粒子的速度和位置的更新。

③根據適應度公式計算粒子i的當前位置xi(t)的適應值，與上一次個體歷史最優位置pi(t-1)進行離散交叉，然后根據公式更新粒子的個體最優位置，對于粒子i，將pi(t)的適應值與全局最好位置G(t-1)的適應值比較，若優于，則置G(t)=pi(t)；否則，全局最好位置保持不變。

④確定結果是否符合適用值和最大的迭代次數要求，如果達到了終止條件，輸出所需函數；若不滿足整個循環回歸到步驟Step2。

①初始化粒子種群規模，設定粒子交叉概率初始值，并計算初始粒子的適應值和全局最優適應值。

②利用非線性動態慣性權重系數計算公式更新慣性權重的值，動態調整學習因子C1和C2，進行粒子的速度和位置的更新。

③根據適應度公式計算粒子i的當前位置xi(t)的適應值，與上一次個體歷史最優位置pi(t-1)進行離散交叉，然后根據公式更新粒子的個體最優位置，對于粒子i，將pi(t)的適應值與全局最好位置G(t-1)的適應值比較，若優于，則置G(t)=pi(t)；否則，全局最好位置保持不變。

④確定結果是否符合適用值和最大的迭代次數要求，如果達到了終止條件，輸出所需函數；若不滿足整個循環回歸到步驟Step2。

控制示意圖如圖2所示。

圖2 控制示意圖

6 仿真分析

6.1 仿真模型及參數設置

本部分以式(2)所示的直線二級倒立擺系統為研究對象，在MATLAB/SIMULINK環境下建立了如圖3所示的直線二級倒立擺控制仿真模型。

圖3 直線二級倒立擺控制仿真模型

分別采用傳統粒子群算法與改進粒子群算法對LQR控制器的參數進行整定。實驗中改進算法的參數設置如下： 群體規模N=50;最大迭代次數為100;每個粒子的初始交叉概率均為0.9; 交叉概率的更新概率τ=0.2。C1和C2的動態調整范圍分別為[1.75，2.55]，[1.05，2.75]，w為[1.05，2.75].為了比較改進的PSO算法和傳統PSO算法的收斂效果，應盡量保證參數的一致性。對于傳統PSO算法設置為：群體規模N=50;最大迭代次數為100;c1=c2=2;w=1。

控制器參數調整過程中適應度值的優化過程如圖(4)(5)所示。從圖中可以看出改進的PSO算法的收斂速度優于傳統PSO算法。

圖4 傳統PSO算法優化算法

圖5 改進PSO算法優化過程

6.2 仿真結果

本節以直線二級倒立擺平衡控制實驗為例說明本文所提出的控制方法的有效性。在實驗中，采用傳統的PSO算法和改進的PSO算法調整線性二次型調節器(LQR)的加權矩陣參數，實現直線二級倒立擺的平衡控制。

實驗1：無擾動平衡控制

采用兩種不同控制算法的二級倒立擺系統中兩擺的角度響應曲線分別如圖6(a)、6(b)所示。圖6(a)、6(b)中實線為傳統PSO算法優化結果，點劃線為本文所設計的控制算法控制結果。從圖6(a)～(b)可以看出，在無擾動的情況下上述兩種控制方法都有效的實現了倒立擺的平衡控制，但本文算法超調量更小，響應時間更快。

實驗2：有擾動時平衡控制

為了進一步驗證所設計的控制算法的抗擾能力，在系統穩定后加入一個脈沖干擾，上述三種控制器作用下的擺桿1和擺桿2的響應曲線如圖7所示。從圖7可以看出本文所設計的控制器反應速度快、超調量小且抗干擾能力較強。同時，它還表明本文提出的調整方法可以有效地確定一組控制器參數值，避免了繁瑣的手動調整過程。

圖7 有擾動時直線二級倒立擺平衡控制結果

7 結論

本文針對直線二級倒立擺建立了拉格朗日數學模型，設計了線性二次型調節器(LQR)，并利用改進粒子群算法較強的局部和全局搜索能力對線性二次型調節器(LQR)中的慣性矩陣參數進行了整定。無擾動和存在擾動兩種情況下的倒立擺平衡控制仿真結果表明采用改進粒子群算法能夠有效地確定出一組慣性矩陣參數，提高了參數整定效率。同時從仿真結果也可看出通過改進粒子群算法優化的線性二次型調節器(LQR)縮短了系統到達平衡狀態的時間，使系統在整個動態響應過程中都具有較強的魯棒性。