非相關源與相干源并存的信源數估計

余小玲，龔曉峰，雒瑞森

(四川大學電氣工程學院，四川 成都 610065)

1 引言

空間譜陣列信號處理在雷達、通訊、導航和電子對抗領域有著廣泛的應用前景。基于特征子空間的高分辨譜估計技術中大部分算法要求信源個數精確已知。當估計的信號源數目與真實的信號源數目不一致時，空間譜曲線中的峰值個數與實際源數不相同，會對真實信號的估計產生嚴重的影響。然而，在實際應用場合，信號源數往往是一個未知數。所以，信源數的準確估計是子空間類譜估計算法需要解決的關鍵問題。

針對信源數估計問題，相關學者提出了很多較為有效的方法，包括Akaike 信息論(AIC)準則[1]、最小描述長度(MDL)準則[2]、有效檢測(EDC)準則、蓋氏圓法(GDE)[3]以及正則相關技術(CCT)[4]。這些算法能準確估計信號源不相關或者獨立時的個數，但是在多徑傳播和復雜電磁干擾背景下，會產生大量的強相關或相干信號，信號子空間會向噪聲子空間擴散，造成秩虧，導致算法失效[5]。因此相干信源估計問題，首先應是對信號解相干。圍繞信號的解相干問題，很多有效算法被提出，大致分為兩類：一類是空間平滑類；另一類是矩陣重構類。空間平滑類算法的原理是將空間平滑算法與信息論的方法相結合來實現相干信源數目的估計。主要包括前向空間平滑算法[6]、前后向空間平滑算法[7]以及空間差分平滑算法[8]。該算法是是通過犧牲有效陣元數目、實現解相干，會造成陣列孔徑的損失。矩陣重構法的原理是直接利用陣列接收快拍數據或利用數據協方差矩陣進行矩陣重構方式解相干。主要包括矩陣分解法[9]和Toeplitz法[10-12]。該算法在低信噪比時性能良好，得到廣泛應用。

本文針對非相關源與相干源共存時的信源數目估計問題，利用陣元接收信號間的互相關信息，構造一個秩只與相干源信息有關的差分矩陣，從而將非相關源與相干信源的估計分辨開。該算法首先利用SORTE法估計相互獨立信源個數，結合非相關信源導向矢量、相干信源陣列導向矢量矩陣分布與噪聲子空間正交特性的差異，根據DOA估計結果得到非相關信源數估計。然后通過利用陣元接收信號間的相互關系，構造差分矩陣，最后利用SORTE法實現相干信源數估計。

相比常規信源數估計算法，本算法將非相關信源與相干信源分開分辨，重復利用陣列接收數據，具有更強的信源承載能力及陣元節省能力，且精確度較高。

2 信號接收模型

信號接收陣列模型如圖1所示。

圖1 信號接收陣列模型

假設有M個窄帶遠場信號源Si(t)以角度θi(i=1，2，…，M)入射到空間陣列上，其中陣列天線由2N+1個線性分布陣元組成，假設陣列中各陣元是各向同性的且不存在通道不一致、互耦等因素的影響，如圖1所示。假設噪聲為零均值、方差為δ2的高斯白噪聲，陣元間噪聲彼此獨立，且與信號不相關。以中間陣元為參考陣元，則其陣列接收信號寫成矢量表達式為

X(t)=A(θ)S(t)+V(t)

(1)

式中，X(t)為陣列接收的快拍數據的矢量表達式；A(θ)為對應的(2N+1)×M階陣列流形矩陣；V(t)為噪聲矢量，R為信號協方差矩陣。

X(t)=[x-N(t)，…，x-1(t)，x0(t)，x1(t)，…，xN(t)]T

(2)

A(θ)=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θM)]

(3)

(4)

S(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sM(t)]T

(5)

V(t)=[v-N(t)，…，v-1(t)，v0(t)，v1(t)，…，vN(t)]T

(6)

R=E[X(t)XH(t)]

(7)

3 算法原理

3.1 非相關信源數估計

(8)

SORTE信源估計法主要思想是利用特征值二階統計方差信息構造信源估計判決函數[13]。

若定義M1=Mu+D、?λi=λi-λi+1，其中i=1，…，2N，則有

?λM1+1=?λM1+2=…=?λ2N=0

(9)

定義特征值的方差為δk。

(10)

其中，k=1，…，2N。

定義SORTE函數為

(11)

由式(11)得，SORTE函數滿足如下關系：

(12)

則獨立信號(非相關信號與相干信號組之和)源估計的判決函數為

1

(13)

結合，非相關信源導向矢量、相干信源陣列導向矢量矩陣分布與噪聲子空間正交特性的差異，根據DOA估計結果得到非相關信源數估計。

3.2 相干信源數估計

假設M個信號中前L個相干，其余各信號間不相關，則第n個陣元上的接收信號為

(14)

式中，n=-N，…，-1，0，1，…，N;βi=ρiejΔφi，ρi>0，i=1，2，…，L;Φ=-2πd/λ。定義第n個和第k(k≥0)個陣元上接收信號的互相關為

(15)

同理，對應的第-k(-k≤0) 個與第-n個陣元上的接收信號的互相關為

(16)

用第k個陣元與所有陣元的接收信號的互相關構造如下(N+1)×(N+1)維Toeplitz矩陣

(17)

同理用對應第-k個陣元與所有陣元的接收信號的互相關，構造如下(N+1)×(N+1)維Toeplitz矩陣

(18)

構造差分矩陣

(19)

為了提高協方差矩陣特征空間對噪聲擾動的魯棒性，所有陣列的互相關性和自相關性都被采用，按如下處理所有的差分矩陣

(20)

文獻[14]已證明，通過構造差分矩陣達到了相干信源去相干的目的。

對于入射信源中有多個相干信源組的混合情況，由單組相干信源同理可推導。

3.3 算法的基本步驟

綜上所述，本文算法基本步驟如下：

1)利用SORTE得到非相關信源數和相關信源組數。

2)結合常規分辨方法中非相關信源陣列導向矢量與噪聲子空間正交關系特性，得到非相關信源數目的估計。

3)構造差分矩陣。

4)對差分矩陣分解得到的特征值，利用SORTE算法估計得到相干信源數。

4 數值仿真與分析

為驗證本文算法的性能，將本文算法與基于FSS、FBSS、SDS和Toeplitz矩陣重構的解相干算法進行比較。同時，為了驗證算法的有效性，進行了4組仿真。

實驗一：單組相干源時驗證算法解相干能力對信噪比和快拍數的敏感程度，考慮均勻線陣的陣元數為13，陣元間距為半波長。其中2個非相關信號和一組4個相干窄帶信號同時入射到陣列上，非相關信號DOA分別為[20°，30°]，一組相干信號DOA分別為[-20°，10°，-50°，0°]。假設噪聲為零均值、方差為δ2的高斯白噪聲，陣元間噪聲彼此獨立，且與信號不相關。Monte Carlo實驗次數為100。圖2是采樣快拍數為200時成功檢測概率與SNR關系曲線，圖3是SNR為15dB時成功檢測概率與快拍數的關系曲線。

圖2 單組相干源時算法對信噪比的敏感程度

圖3 單組相干源時算法對快拍數的敏感程度

如圖2所示，本文算法在低信噪比下性能明顯高于另外4種算法，并且在信噪比為-10dB～30dB，步進為3dB下，信噪比為2dB時，成功檢測概率達到98%以上，由此可見本文算法對信噪比的敏感度較低。

如圖3所示，即使在快拍數很小的情況下，本文算法依舊可以保證99%以上的正確率，即快拍數對最后的估計結果幾乎不會造成影響，取信噪比為15dB快拍數為20到200，步進為20。SDS 算法在快拍數為200時正確率才能達到 96%，另外3種算法，即使在快拍數達到200的情況下正確率也沒有達到80%。

實驗二：多組相干源時驗證算法解相干能力對信噪比和快拍數的敏感程度。其中2個非相關信號和兩組4個相干信號同時入射到陣列上，非相關信號DOA分別為[20°，30°]，第一組相干信號DOA分別為[-20°，10°]第二組相干信號DOA分別為[-40°，0°]。其它仿真參數同實驗一。圖4是采樣快拍數為200時成功檢測概率與SNR關系曲線。圖5是SNR為15dB時檢測概率與快拍數的關系曲線。

圖4 兩組相干源時算法對信噪比的敏感程度

圖5 兩組相干源時算法對快拍數的敏感程度

如圖4所示當信噪比大于26dB時5種算法的正確率均可以達到100%，但是在信噪比的敏感程度上，本文算法最優，在5dB時的正確率就可以達到100 %。

如圖5所示，在快拍數為40的情況下本文的正確率就可以達到100%，其它4種算法，即使在快拍數達到200時，正確率也均低于90%。

實驗三：單組相干源角度接近時驗證算法解相干能力對信噪比和快拍數的敏感程度。其中2個非相關信號和一組4個相干信號同時入射到陣列上，非相關信號DOA分別為[7°，-21°]，相干信號DOA分別為[-20°，5°，-30°，0°]，其它仿真參數同實驗一。圖6是采樣快拍數為200時成功檢測概率與SNR關系曲線。圖7是SNR為15dB時成功檢測概率與快拍數的關系曲線。

圖6 相干源角度接近時算法對信噪比的敏感程度

圖7 相干源角度接近時算法對快拍數的敏感程度

如圖6、圖7所示，當非相關信源與相干信源角度接近時傳統的FSS、FBSS和Teop算法通過空間平滑或矩陣重構之后仍可能是秩虧的狀態，因此正確率較低，但是本文算法和SDS是通過差分構造差分矩陣將非相關源和相干源區分開，因此分辨率不受角度間隔的影響。

實驗四：信源數等于陣元數時驗證算法解相干能力對信噪比和快拍數的敏感程度。其中9個非相關信號和一組4個相干信號同時入射到陣列上，非相關信號DOA分別為[20°，30°，-10°， -45°，40°，-60°，60°，15°，-25°]，一組相干信號DOA分別為[-20°，10°，-50°，0°]。其它仿真參數同實驗一。圖8是采樣快拍數為200時成功檢測概率與SNR關系曲線。圖9是SNR為15dB時成功檢測概率與快拍數的關系曲線。

圖8 信源數等于陣元數時算法對信噪比的敏感程度

圖9 信源數等于陣元數時算法對快拍數的敏感程度

如圖8、圖9所示，當入射信源數等于陣列元數時，FSS、FBSS、Toep算法均失效，只有本文算法和SDS能夠檢測13個信號，顯然本文算法的精確度較SDS高，且在信噪比為11dB時，正確率達到99%，對快拍數的敏感程度顯然也優于SDS。在信源數等于陣元數時仍有較好的估計結果，可見本文的算法的信源承載能力較強。

5 結束語

針對相干源與非相關源并存時的信源數目估計問題，提出了一種基于差分算法的信源數估計方法。利用陣元間的互相關信息構造差分矩陣，使其秩只與相干源的信息有關，達到相干源解相干。該算法首先利用SORTE法估計獨立信源的個數，結合常規分辨方法中非相關信源陣列導向矢量與噪聲子空間正交關系特性，實現非相關信源數目的估計，再構造僅包含相干源信息的差分矩陣，實現相干源數目的估計。該算法通過構造差分矩陣，消除了噪聲的影響，將相干源與非相關源的估計分隔開。

實驗結果表明：1)相比傳統的空間平滑類算法、矩陣重構類算法以及SDS算法，本文算法在快拍數小和信噪比低的情況下依然能夠準確的估計信源數目。單組相干源時，當快拍數為200的情況下，信噪比為2dB時，成功檢測概率達到98%以上。當信噪比為15dB的情況下，快拍數為20時成功檢測概率達到99%以上；2)當信源角度接近時算法依舊有很好的性能。在快拍數為200的情況下，常規信源數估計算法在信源角度接近時，信噪比達到30dB時，成功檢測率也只能達到60%，本文算法，當信噪比為5dB時，成功檢測率能達到98%以上；3)將非相關信源與相干信源分開檢測，算法的信源承載能力較強。常規信源數估計算法都會損失陣列孔徑，本文算法將非相關信源與相干信源分開分辨，重復利用陣列接收數據，具有更強的信源承載能力及陣元節省能力，當陣元數為13時，可估計的信源數與陣元數相同。