基于隔振器荷載特征的非線性隔振器設計方法研究

杜香剛

(1.中國鐵道科學研究院集團有限公司鐵道建筑研究所， 北京 100081；2.高速鐵路軌道技術國家重點實驗室，北京 100081)

傳統的隔振器往往由于自身的固有頻率無法降到足夠低而難以實現期望的隔振目標，主要體現在低頻隔振性能差，以及缺乏可調控性和自適應能力等方面[1-2]。高承載能力和低固有頻率之間的矛盾成為被動隔振技術發展的瓶頸，低頻隔振尤其是重型設備的低頻隔振也一直是被動隔振的難點問題[3-4]。

隨著我國城市化進程加快，地鐵引起的環境振動問題越來越受到人們的重視，因此，在地鐵軌道設計時采用了多型減振措施。在眾多軌道減振措施中，鋼彈簧浮置板軌道被認為是減振效果最好的減振軌道形式。經大量測試，鋼彈簧浮置板軌道能夠有效抑制高頻振動，但對低頻振動抑制效果并不明顯，特別是對于實驗室、博物館等建筑物內精密儀器和珍貴文物十分敏感的10 Hz左右振動成分難以達到理想的衰減效果。

隨著振動控制要求的不斷提高，基于非線性理論的隔振技術的研究和應用越發廣泛[9-11]，非線性系統可以通過自身阻尼非線性和剛度非線性來改善系統本身的隔振性能[12-14]。非線性隔振技術可以根據系統激勵及振動特點進行最優參數設計，因此，利用非線性被動隔振技術解決既有線性隔振系統存在的問題是城市軌道交通減振軌道設計的重要方向。一種名為SD振子的非線性系統于2006年被曹慶杰教授所提出，這類系統由一個被一對斜拉彈簧所約束的質量塊構成。研究表明，SD振子是一種典型的幾何非線性特征的非線性系統，大量學者對SD振子的豐富的動力學行為進行了詳細的研究，同時由于其幾何參數的可調性，可以廣泛應用于低頻、超低頻隔振等工程領域，朱光楠等對SD振子系統在變壓器抗震領域的應用進行了系統、詳細的理論以及試驗研究。

本文基于非線性隔振理論，在隔振器荷載特征分析的基礎上，提出了基于隔振器荷載特征的非線性隔振器設計方法，對隔振器的剛度和阻尼曲線進行非線性設計優化，使得隔振器同時具有良好的低頻隔振性能和振動位移控制能力。

1 基于隔振器荷載特征的非線性隔振器設計流程

傳統浮置板軌道的設計方法是以線性隔振理論為基礎的設計方法，即根據環評要求和地鐵設計相關規范，設計具有滿足規范要求和施工要求的浮置板軌道的固有頻率及隔振器剛度，以經驗為基礎確定浮置板軌道的基本結構尺寸及隔振器的初步布置方式；在此基礎上根據車輛軸重、軸距等信息對浮置板的結構及隔振器的剛度及布置方式進行校核。傳統設計方法往往只針對系統的減振性能進行設計而無法兼顧輪軌系統的動力學行為，更無法考慮輪軌動態激勵引起的隔振器荷載特征，因此導致了浮置板軌道在實際使用中存在對低頻隔振性能差和輪軌系統振動響應大等問題。

鑒于以上原因，本文提出了基于隔振器荷載特征的非線性浮置板減振軌道系統的設計方法(如圖1所示)，首先建立車輛-軌道-隧道系統動力學模型(模型經過實測數據修正)進行系統動力學分析計算，在對隔振器荷載特征識別的基礎上，運用非線性動力學優化模型進行浮置板非線性隔振器的剛度及阻尼曲線優化設計，最后將優化得到的非線性特征曲線帶入車輛-軌道-隧道動力學模型進行分析驗證。

圖1 基于隔振器荷載特征的非線性隔振器設計流程

2 車輛-軌道-隧道耦合動力學模型

建立車輛-軌道-隧道耦合動力學模型獲取隔振器荷載，并對設計的非線性特征曲線進行分析驗證是本文設計方法的基礎。因此，該模型需包含列車模型、浮置板軌道模型、隧道模型及輪軌接觸模型，可以將鋼彈簧設計為非線性曲線來模擬非線性隔振器。以某地鐵線路的浮置板軌道為例(如圖2所示)，根據某B型地鐵車輛及軌道和隧道的動力學參數(如表1所示)建立如圖3所示的車輛-浮置板軌道-隧道系統一體化仿真分析模型，其中車輛系統主要由車體、轉向架、輪對和一系、二系懸掛組成。對車輛模擬時，將車輛的基本部件近似處理為剛體，各基本部件之間通過彈性或剛性約束來限制車輛結構中各部件間的相對運動。模型中浮置板軌道系統由鋼軌、扣件、軌道板及鋼彈簧組成，其中軌道板采用實體單元建模，鋼軌采用鐵木辛柯梁模擬，扣件采用彈簧阻尼單元進行模擬，鋼彈簧采用非線性彈簧力元。軌道設置為：普通整體道床+5段25 m長浮置板道床+普通整體道床，建立浮置板軌道時既考慮了板與板之間起連接作用的剪力鉸，又考慮浮置板間鋼彈簧的局部加密情況(如圖4所示)。為了能夠反映相鄰車輛轉向架對浮置板以及鋼軌動態下沉量和扣件力的影響，本文采用三車模型進行仿真模擬。輪軌接觸采用UM柔性軌道模塊中自帶的Kik-Piotrowski多點非赫茲接觸模型來計算輪軌蠕滑力，該模型可以考慮車輪和鋼軌的微小穿透，法向壓力分布沿前進方向呈橢圓形狀，切向接觸斑形狀為非橢圓。模型中地基和隧道結構采用實體單元模擬，由于有限元模型只能在有限范圍內求解振動的傳播問題，由于主體的實際情況是無邊界的形式，因此在模型截取的界面上會發生波的反射，導致模型結果失真，因此本模型采用低反射邊界，在模型邊界的節點上的法向和切向設置彈簧阻尼元件來模擬無限范圍對計算范圍的效果。模型的仿真結果經過與實測數據進行對比修正后[15]，取列車的運行速度為80 m/h的隔振器支反力作非線性系統的設計輸入。

(a) 縱向布置圖

(b) 斷面結構圖圖2 浮置板軌道結構圖Fig.2 Structure graphing of floating slab system

表1 建模基本參數Tab.1 Basic parameters of modeling

(a) 一體化仿真模型

(b) 隧道模型圖3 車輛-軌道-隧道一體化仿真模型Fig.3 The system dynamic model

(b) 正視圖圖4 車輛-浮置板軌道耦合動力學仿真分析模型Fig.4 Vehicle-floating slab track system couplingdynamic simulation model

3 浮置板軌道用隔振器荷載特征識別

根據第2章建立的模型，提取中間板端部、中部和尾部隔振器的垂向荷載時間歷程(如圖5所示)，由圖可知浮置板中部隔振器受力最大，端部和尾部隔振器受力相對較小，這是由于浮置板中部板的柔性較大，端部和尾部隔振器間距較小的原因。因此在后續分析中，以受力最大的中部隔振器作為研究對象。對板中部隔振器荷載曲線進行頻譜分析，如圖6所示，可以看到隔振器荷載分為準靜態沖擊荷載部分(4 Hz以下，移動質量引起的沖擊荷載，以下簡稱沖擊荷載)與動態荷載(4 Hz以上，以下簡稱動態荷載)，且沖擊荷載要遠大于動態荷載，沖擊荷載主要影響浮置板位移，而動態荷載主要影響環境振動。

圖5 隔振器垂向荷載Fig.5 Vertical loads of floating slab isolators

圖6 板中隔振器荷載功率譜密度圖Fig.6 PSD diagram of isolator loads in themiddle of floating slab

準確地提出非線性浮置板軌道系統的控制及優化目標是非線性浮置板軌道隔振器參數設計的關鍵，因此需要結合列車經過浮置板軌道的動態過程對隔振器荷載的特征進行分析。圖7為列車經過浮置板軌道的全過程，從圖中可以看出，在靜平衡位置處(分別對應列車開始駛入和剛駛出浮置板)的隔振器荷載的振蕩為隔振器未受到列車沖擊荷載時的自由振動；當列車進入浮置板軌道時，在沖擊荷載上疊加有動態的隨機振動荷載。非線性隔振器的設計需要同時考慮浮置板的位移控制與振動控制，因此，需將隔振器荷載按照沖擊荷載與動態荷載進行分解，如圖7所示。從圖中看到，隔振器沖擊荷載呈現4個峰(谷)值，P1為兩節車相鄰轉向架引起的荷載最小值；P2為頭尾轉向架引起的荷載最小值；P3為頭尾轉向架作用于隔振器上的最大荷載，P4為兩節車相鄰轉向架作用于隔振器上的最大荷載，如表2所示。表2中AW0為空載工況，AW2為正常荷載工況，AW3為滿載工況。從圖7(b)可以看出，動態荷載的振動能量主要集中在10 Hz附近。

(a)

(b)圖7 隔振器荷載特征分析圖Fig.7 Floating slab isolator loads characteristics analysis

表2 不同工況下隔振器沖擊荷載極值Tab.2 Extreme value of isolator shock loads under different working conditions kN

因此，基于以上隔振器荷載動態特征，定性判斷所構造的非線性剛度曲線應保證系統在靜平衡位置處(即車輛駛來浮置板前及車輛駛離浮置板后)和沖擊荷載的極值位置處具有較好的隔振效果，同時抑制車輛駛來和離開后浮置板的自由振蕩以及沖擊動荷載引起的振蕩。為保證系統具有足夠的儲能能力，令系統的大剛度區間盡可能發生在無明顯振蕩區域，且令系統最大剛度值在保證儲能能力的前提下盡可能小。

4 非線性隔振器剛度曲線優化設計

4.1 非線性動力學優化模型

本文基于SD振子幾何非線性隔振理論，根據實際設計需求和目標構造非線性動力學方程，進而獲得滿足實際情況的最優設計參數，并依據設計參數選擇滿足設計參數要求的最優結構形式。建立的單隔振器力學模型如圖8所示，圖中振子m在豎直方向振動，其通過承載彈簧和阻尼與基礎相連，垂直彈簧為系統提供正向承載力。水平彈簧-連桿機構為系統提供負剛度，連桿一端與質量為m的振子鉸接，另一端鉸接于水平放置的彈簧，彈簧末端與基礎相連。水平彈簧的剛度為k1，豎向彈簧剛度為k0，阻尼為C，非線性系統的初始平衡位移距離水平彈簧的高度為d，連桿長度為l，彈簧原長為L，水平彈簧原長末端到振子中心的水平距離為B。正常工作狀態下，豎向彈簧k0處于預壓縮狀態來承載浮置板和列車的重力荷載，水平彈簧k1處于預壓縮狀態保證彈簧-連桿機構為系統提供負剛度，使得正負剛度并聯在振動范圍內形成非線性剛度，從而達到低頻隔振的目的。

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圖8 浮置板-非線性隔振器示意圖Fig.8 Vibration isolator physical model

圖8所示的非線性動力學方程為式(1)，基于該動力學方程，根據優化目標進行非線性剛度曲線的設計。

(1)

4.2 隔振器非線性剛度曲線設計方法

圖9所示為非線性隔振器剛度曲線設計原理示意圖，圖中虛線表示傳統鋼彈簧隔振器剛度曲線示意圖，紅線表示非線性隔振器剛度曲線示意圖。根據實際工程設計需求，分別按照起始隔振頻率控制需求、振動位移控制需求和振動衰減速度控制需求三方面對非線性隔振曲線進行設計。

圖9 非線性隔振器剛度曲線設計原理圖Fig.9 Schematic diagram of nonlinear isolator stiffness curve

根據第1章的分析，隔振器的支反力響應可以被分解為沖擊響應和隨機響應兩部分。其中沖擊響應部分可視為由車輛駛入導致隔振系統荷載質量變化引起的具有振幅大、頻率低的響應；而隨機響應部分則可以視為由輪軌接觸引發的具有振幅小、頻率高的響應。

為保證車輛行駛的平穩性，以及對隔振系統的隔振性能的要求，需同時保證車輛加載至浮置板上后浮置板的振動位移不可過大，以及隔振器向地基所傳遞的能量相比線性系統有所衰減。利用4.1節介紹的力學模型，設置非線性剛度曲線的優化指標：浮置板振動位移峰峰值不超過3 mm；浮置板隔振系統通過隔振器傳遞至地基的振動能量，在低頻段(≤20 Hz)相比線性系統存在明顯衰減效果；在隔振器荷載強度大的位置處系統相比線性系統存在明顯的衰減效果。

考慮到車輛自重不變，可以視為車輛駛入時向隔振系統輸入一固定的準靜態力，進而應使隔振系統在受到車輛準靜態作用后，進入隔振區段。因此對于隔振器進入隔振區間的位置可根據P0、P1、P2、P3以及P4點的發生位置進行確定，上述各個荷載值所對應的位移分別被稱為X0、X1、X2、X3以及X4，從而提升系統對隨機振動部分的抑制能力。簡言之，基于系統沖擊響應部分特征決定荷載位移的控制能力，而基于對隨機響應部分特征決定隔振器的隔振能力。

因此通過結合荷載分析結果，考慮設計一種非線性隔振器，旨在保證在系統具有對浮置板足夠的承載能力；以及在空載至準靜態荷載之間具有足夠的等效剛度抑制響應位移；同時保證系統在隨機荷載集中的位置附近具有較高的隔振性能。因此，根據隔振器荷載特征，基于如圖8所示的模型所具有的結構參數，通過大量仿真計算優化設計見圖10線性隔振器恢復力-位移曲線和圖11非線性隔振器恢復力-位移曲線。

圖10 線性隔振器恢復力-位移曲線圖Fig.10 Linear force-displacement curve

圖11 非線性隔振器恢復力-位移曲線圖Fig.11 Nonlinear force-displacement curve

將非線性隔振器恢復力曲線代入圖3所示的車輛-軌道-隧道耦合動力學模型，得到圖12(a)浮置板振動位移響應曲線圖，從圖中可以看出，非線性隔振系統相比原有線性系統的浮置板動態位移具有明顯的抑制效果，最大動態位移減小約20%左右；圖12(b)為非線性隔振系統在車輛運行時引起的隔振器支反力響應曲線。從圖中可以看出，相比原有線性系統在荷載位置P0以及在和位置P3、P4處響應具有明顯的抑制效果；圖12(c)為隔振器支反力響應的功率譜密度曲線的對比圖，從圖中看出，非線性隔振系統同時在低頻和高頻上產生了明顯的振動隔離能力，進而相比線性系統在幾乎全頻段上均體現出振動的衰減效果。

5 非線性隔振器阻尼曲線優化設計

在工程中常會有一些不規則的沖擊和振動，因而適當增大鋼彈簧隔振器阻尼可以抑制系統在這種沖擊和振動作用下的振幅，并使自由振動很快消失，尤其當系統發生共振時，可以極大程度的抑制共振頻率處的響應。但對于傳統線性黏性阻尼來說，增大阻尼雖然可以減小共振頻率下的響應，但會降低隔振區的隔振效率。因此，本章基于隔振器荷載特征，設計隔振器非線性阻尼曲線，使得阻尼在減小共振峰值的同時不放大高頻荷載的振動傳遞。

(a) 浮置板位移動態響應曲線圖

(b) 隔振器支反力動態響應曲線圖

(c) 隔振器支反力響應功率譜密度曲線對比圖圖12 非線性隔振系統效果對比圖Fig.12 Response diagrams of nonlinear isolator andtraditional isolator system

由2.2節分析結果可知，優化出的非線性剛度隔振器在P1、P2位置處存在振動放大現象。因此在本節在最優剛度曲線的基礎上，設計隔振器最優阻尼曲線，進一步提高非線性隔振器性能。在第3節荷載分析的基礎上，分別設計4種非線性阻尼曲線(阻尼系數隨位移非線性變化)，分別是漸小非線性阻尼曲線、漸大分線性阻尼曲線、先大后小非線性阻尼曲線和先小后大非線性阻尼曲線(如圖13所示)，通過系統動力學仿真方法，確定最優阻尼曲線。

分別將4種非線性阻尼曲線代入圖3所示的車輛-軌道-隧道耦合動力學分析模型中進行優化計算，優化目標為隔振器支反力，其結果如圖14所示。從圖14(a)、(b)隔振器支反力時域曲線可以看出，在動態荷載較大的位置P1、P2處施加大阻尼可以極大程度抑制動態荷載峰值。從14(c)、(d)、(e)可以看出，線性大阻尼、先大后小非線性阻尼和漸大阻尼在低頻(≤20 Hz)及中高頻(>20 Hz)有較好的振動抑制效果。

(a) 漸小阻尼

(a) 隔振器支反力

(d) 支反力低頻部分功率譜密度放大圖

6 非線性減振軌道系統仿真驗證

將優化后得到的非線性剛度和非線性阻尼曲線帶入圖3所示的車輛-軌道-隧道系統動力學模型中，模擬列車運行工況下非線性軌道系統的隔振效果和軌道動態響應，仿真得到浮置板振動加速度及隧道壁分頻振級圖見圖15(a)、(b)所示。從圖15(a)中可以看出，非線性隔振器可以顯著降低浮置板軌道的振動加速度響應，振動加速度有效值從1.04 m/s2降低到了0.39 m/s2，降低約62%。從圖(b)中可以看出，相比既有線性系統，非線性系統在全頻段都具有較好的衰減效果，Z振級插入損失約為3 dB；在低頻段(≤20 Hz)，非線性系統的隔振效果遠優于線性系統，分頻最大振級插入損失約為12 dB。

(a) 浮置板加速度

7 結 論

本文基于非線性隔振理論，在隔振器荷載特征分析的基礎上，對浮置板減振軌道用隔振器的剛度和阻尼曲線進行非線性設計優化，使得非線性浮置板減振軌道同時具有良好的低頻隔振性能和動態位移控制能力。利用車輛-軌道-隧道耦合動力學評估模型進行仿真研究，得出以下結論：

(1) 相比既有線性系統，采用非線性隔振器的非線性浮置板減振軌道系統可有效控制軌道板動態位移，軌道板動態位移可降低約20%。

(2) 相比既有線性系統，非線性浮置板減振軌道系統可顯著降低軌道板的振動加速度響應，振動加速度有效值可降低約62%。

(3) 相比既有線性系統，非線性浮置板減振軌道系統在全頻段都具有較好的衰減效果，Z振級插入損失約3 dB，在低頻段(≤20 Hz)非線性系統的隔振效果優于線性系統，分頻最大振級插入損失約12 dB。

上述理論研究結論在實際應用中能否達到理想效果，應在非線性隔振器結構設計、制造公差控制和非線性減振軌道系統整體施工上開展系統研究。