那一課，那一題，教會(huì)我如何去“教”

周雯婷

“螺旋式上升”的課程設(shè)計(jì)和教材編排起源于“螺旋式課程”。“螺旋式課程”理論是美國著名教育學(xué)家、心理學(xué)家布魯納在20世紀(jì)60年代提出的，它是指根據(jù)某一學(xué)科知識(shí)的“概念結(jié)構(gòu)”，實(shí)現(xiàn)促進(jìn)學(xué)生們認(rèn)知能力得到發(fā)展為目標(biāo)的一種在課程上面的設(shè)計(jì)。螺旋式上升的基本假設(shè)是，任何一種教材都能夠用一種相對合理的方式來教給某一發(fā)展階段的學(xué)生。

在上海二期課改中，初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)內(nèi)容按“螺旋式上升”的方式編排，六年級為幾何直觀認(rèn)識(shí)的階段；七年級為實(shí)驗(yàn)幾何階段；八年級面臨著由實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的轉(zhuǎn)折；九年級真正進(jìn)入幾何論證和幾何計(jì)算階段。教材的編排應(yīng)服務(wù)于教學(xué)目標(biāo)，而在我踏上教師崗位的最初幾年卻無從了解這兩者之間的緊密聯(lián)系，甚至懷疑教材有些內(nèi)容的編排是否過于碎片化，有些知識(shí)點(diǎn)在六、七年級淺嘗過，卻戛然而止，而到了八九年級又重拾這一部分的知識(shí)，這樣缺失連續(xù)性的教學(xué)模式，真的能提高學(xué)生的思維，鍛煉學(xué)生的能力嗎？

這個(gè)疑問雖然不至于影響我對教材的使用程度，但卻一直盤旋在我腦海中，直到我上了那一課，然后又遇見了那一題，我突然有種醍醐灌頂?shù)挠X悟，我感覺自己在那時(shí)才學(xué)會(huì)如何去“教”。

開端——那一課，結(jié)合特殊圖形與圖形的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，我培養(yǎng)了學(xué)生的化歸思想

在七年級第一學(xué)期學(xué)生已經(jīng)學(xué)過圖形的三種基本運(yùn)動(dòng)：平移、翻折與旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)下，滬教版七年級第二學(xué)期數(shù)學(xué)教材第114頁上有這樣一個(gè)例題：

如圖1，在等邊三角形ABC的邊BC上任取一點(diǎn)D，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，試說明BE=AD的理由。

我當(dāng)時(shí)是這樣設(shè)計(jì)并實(shí)施教學(xué)的：

（一）以題改題，激起學(xué)生思維火花

學(xué)生根據(jù)演繹推理的指導(dǎo)方法，獲得了“通過證明兩個(gè)三角形全等從而證明全等三角形對應(yīng)線段相等”的解題思路。

而后我提出問題：“剛才我們在三角形ABC的邊BC上任取一點(diǎn)D，這個(gè)點(diǎn)D還可能在三角形的什么位置？”

給予學(xué)生適當(dāng)思考時(shí)間后，學(xué)生找到了點(diǎn)D的另外兩個(gè)位置：1.點(diǎn)D可能在三角形ABC內(nèi)部；2.點(diǎn)D可能在三角形ABC的外部。

接著，學(xué)生小組合作，把書本上的原始題目改為兩個(gè)變式題，如下所示：

如圖2，在等邊三角形ABC的內(nèi)部任取一點(diǎn)D，以CD為邊作等邊三角形CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，試說明BE=AD的理由。

如圖3，D是等邊三角形ABC外部一點(diǎn)，以CD為邊作等邊三角形CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，試說明BE=AD的理由。

（二）以題比題，培養(yǎng)學(xué)生歸納能力

讓學(xué)生改題，是為了讓學(xué)生經(jīng)歷自己編寫條件、結(jié)論和作圖過程了解題目的條件與結(jié)論之間的聯(lián)系。接著我提問：“剛才三道題目，有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？”

經(jīng)過小組充分的討論，學(xué)生得到了初步的結(jié)論，整理如下：

相同點(diǎn)：

1.三個(gè)題目都是在兩個(gè)等邊三角形的背景下；

2.都是證明線段相等；

3.都能利用全等三角形證明，而且都是證明△ACD≌△DCE；

4.都用了S.A.S的判定定理；

5.證明全等時(shí)三個(gè)條件完全一樣：AC=BC、∠ACD=∠BCE、DC

=EC。

不同點(diǎn)：

1.三道題目中D的位置不同，從而圖形不一樣；

2.雖然書寫過程都是∠ACD=∠BCE，但是三道題目中這個(gè)條件的證明方法有所不同。

經(jīng)過討論，學(xué)生更深層次的觀察到三道題目的表象，當(dāng)然數(shù)學(xué)問題的研究要從表象深入到本質(zhì)，所以我又提問：“這些相同點(diǎn)或不同點(diǎn)產(chǎn)生的原因是什么？”經(jīng)過引導(dǎo)和啟發(fā)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以把這三個(gè)題目的變化看做：將△DCE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，兩組對應(yīng)邊的長度沒有發(fā)生改變，但是對應(yīng)的夾角發(fā)生了如下改變：

1.當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，∠ACD=∠BCE=60°；

2.當(dāng)點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部時(shí)，∠ACD=∠BCE=60°-∠BCD；

3.當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外部時(shí)，∠ACD=∠BCE=60°+∠BCD。

我繼續(xù)提問到：“通過這三個(gè)題目，同學(xué)們有沒有獲得什么經(jīng)驗(yàn)？”這是一個(gè)開放度很大的問題，給予學(xué)生自由發(fā)言的空間，我從中截取幾個(gè)精彩的、典型的經(jīng)驗(yàn)作為小結(jié)：

1.當(dāng)題目以等邊三角形為背景時(shí)，我們要善于抓住等邊三角形邊相等和角等于60°的共性，為證明全等提供條件；

2.在圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，邊長沒有改變，角度發(fā)生了規(guī)律性的變化。

在三道題目的對比過程中，通過這樣一連串的問題鏈，我引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn)的扒去題目的粉飾，深入到問題的根源，再抽絲剝繭地讓題目展露“真顏”，學(xué)生獲得了較好的學(xué)習(xí)感受，并把一道看似極為簡單的證明題活化為解決這類題目的方法和思路，培養(yǎng)了學(xué)生邊學(xué)習(xí)邊歸納的良好習(xí)慣。

（三）以題生題，促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維

為了檢驗(yàn)學(xué)生經(jīng)歷了前兩個(gè)環(huán)節(jié)后獲得了哪些經(jīng)驗(yàn)，我又發(fā)問：“如果按照剛才小結(jié)的結(jié)論，我們能不能把等邊三角形換成其他圖形？”一問既出，課堂氛圍再次熱烈不已。最后，在各小組的激烈討論和教師的引導(dǎo)中，又拓展出了許多典型題目，整理如下：

題組一：

如圖4，在等腰Rt△ABC的邊BC上任取一點(diǎn)D，以CD為邊作等腰Rt△CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，試說明BE=AD的理由。

如圖5，在等腰RT△ABC的內(nèi)部任取一點(diǎn)D，以CD為邊作等腰 Rt△CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，試說明BE與AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

如圖6，D是等腰RT△ABC外部一點(diǎn)，以CD為邊作等腰Rt△CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，試說明BE與AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。

題組二：

如圖7，在正方形ABCD的邊BC上任取一點(diǎn)E，以CE為邊作正方形CEFG，聯(lián)結(jié)AE、BG，試說明BE=BG的理由。

如圖8，在正方形ABCD的內(nèi)部任取一點(diǎn)E，以CE為邊作正方形CEFG，聯(lián)結(jié)AE、BG，試說明AE、BG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。

如圖9，E是正方形ABCD的外部一點(diǎn)，以CE為邊作正方形CEFG，聯(lián)結(jié)AE、BG，試說明AE、BG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。

由以上兩個(gè)題組可知，學(xué)生知道了這類題目的形成過程是將特殊圖形和圖形的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)結(jié)合在一起，并抓住了此類題的解題策略：兩條對應(yīng)邊和一個(gè)對應(yīng)夾角相等。把握好這一點(diǎn)，學(xué)生自然會(huì)用等腰直角三角形和正方形這樣的特殊圖形去取代例題中的等邊三角形，因?yàn)榈妊苯侨切魏驼叫闻c等邊三角形一樣，具有邊相等，角都相等的共性。回顧這節(jié)課，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)這些看似不盡相同的圖片，原來他們的條件有著特殊之處，解題方法也遵循著一定的規(guī)律，在變化無窮的題目中，找到了其中不變的規(guī)律，自然就能以不變應(yīng)萬變。同時(shí)，學(xué)生在以題改題、以題比題和以題生題的過程中，體會(huì)到自己是如何將題目歸納小結(jié)，建構(gòu)自己的知識(shí)體系，令自己的知識(shí)體系有機(jī)健康的發(fā)展壯大。

一節(jié)課上完，師生的收獲都頗豐，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，我覺得這節(jié)課的完整度很高，最大限度地概括了這類題目的特征，基本完成了從特殊到一般的抽象過程，不會(huì)再有什么引申題組了。我，信心滿滿。

發(fā)展——那一題，我結(jié)合相似圖形與圖形的旋轉(zhuǎn)、縮放運(yùn)動(dòng)，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力

時(shí)光荏苒，學(xué)生在九年級又學(xué)習(xí)了圖形的第四種基本運(yùn)動(dòng)：放縮運(yùn)動(dòng)，以及相似形。在上“相似形三角形”這一章內(nèi)容時(shí)，在課本第32頁的課后練習(xí)中出現(xiàn)了這樣一題：

這是我從教以來第二次擔(dān)任九年級教學(xué)任務(wù)。我清楚的記得上一輪教到相似三角形這一節(jié)課時(shí)，學(xué)生在攻克這一題上出現(xiàn)了很大的問題，具體表現(xiàn)在：第一次做時(shí)，大部分學(xué)生不會(huì)把已知的相似三角形的兩組對應(yīng)邊的比轉(zhuǎn)化為目標(biāo)的相似三角形的對應(yīng)邊的比，但是我只要稍加提示，學(xué)生又能很快反應(yīng)過來，快速的完成這道題的證明，怪就怪在，隔一段時(shí)間如果再次做到這一題，原本那些學(xué)會(huì)的學(xué)生又會(huì)回到最初的迷茫狀態(tài)，完全看不出圖形中的邊是如何轉(zhuǎn)化的。上一次我并沒有找到改進(jìn)的措施，所以這一次這個(gè)問題亟待解決。

我一講學(xué)生就會(huì)，說明這個(gè)題目并不是什么難題，可為什么過一段時(shí)間學(xué)生會(huì)遺忘呢？問題到底出在哪里？這種感覺似曾相識(shí)，仿佛曾經(jīng)也遇到過類似的題目，一講就會(huì)，可一過就忘。突然，我想起了七年級的那一節(jié)變式訓(xùn)練課，之所以有那節(jié)課的生成，就是因?yàn)橐渤霈F(xiàn)了我一講學(xué)生就會(huì)，可過一段時(shí)間學(xué)生就忘記的情況，于是才誘導(dǎo)我引導(dǎo)學(xué)生展開了那次深入的探究活動(dòng)。而學(xué)生之所以一講就會(huì)，一過就忘，是因?yàn)樗麄儽活}目的表象蒙蔽，看不見題目的本質(zhì)啊。我幡然醒悟，再一次審閱這道題目，突然，一道靈光乍現(xiàn)，這道題目，不就是七年級那道例題的又一組變式題嗎？只不過把具有鄰邊相等的特殊的多邊形拓展到邊沒有特殊關(guān)系的多邊形，再在單一的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中加入了新學(xué)的放縮運(yùn)動(dòng)，然而刨去這些花哨的變化，它固有的規(guī)律卻沒有變：從旋轉(zhuǎn)中心出發(fā)，各取兩個(gè)初始圖形的一條邊，組成兩個(gè)新的圖形。我知道該怎么教這道題了！

在講這道課后題目前，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生回顧了七年級的那一堂課，沒想到學(xué)生也和我一樣，對那堂課的幾組變式記憶猶新，果然不是機(jī)械記憶，而是理解型記憶。等學(xué)生的已有知識(shí)儲(chǔ)備的差不多時(shí)，我知道支架已搭成。于是再讓學(xué)生解決這道課后習(xí)題。一部分學(xué)生能輕松完成，有小部分學(xué)生有困難。于是我發(fā)動(dòng)學(xué)生組內(nèi)結(jié)對子，但是我要求學(xué)生在教同學(xué)時(shí)先教會(huì)他怎么將這道題目與前面的題目進(jìn)行類比，說清楚異同點(diǎn)。最后，我請同學(xué)們談?wù)劯惺堋W(xué)生總結(jié)出了兩條結(jié)論：

1.將任意一個(gè)三角形繞著它的一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)α（0°<α< 360°），并放縮一定比例，將得到兩個(gè)新的相似三角形；

2.將任意一個(gè)三角形繞著它的一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)α（0°<α< 360°），將得到兩個(gè)新的相似的等腰三角形；

那一堂課小結(jié)中的“特殊圖形”最終被這一道題小結(jié)中的“任意三角形”取代，從特殊到任意，學(xué)生完成了“從特殊到一般”的思維飛躍，這不就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成記嗎？值得一提的是，這兩條結(jié)論對于中考題的18題也具有一定的價(jià)值。原來數(shù)學(xué)題還可以這么“玩”改變！

小結(jié)——那一課、那一題，我刷新了自己的教學(xué)策略

我曾經(jīng)懷疑過教材編排的科學(xué)性，而經(jīng)歷了那一課與那一題，我才明白我起初的懷疑恰恰是教材的合理之處。試想，如果放縮運(yùn)動(dòng)與另外三種運(yùn)動(dòng)同時(shí)間呈現(xiàn)給學(xué)生，那么學(xué)生在作圖時(shí)不僅要搞清每種運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)過程，還要兼顧邊長的變化，對于七年級剛剛接觸幾何的學(xué)生而言，這個(gè)難度已經(jīng)違背了學(xué)生對事物認(rèn)知水平的發(fā)展規(guī)律，根本不利于學(xué)生自身知識(shí)體系的建構(gòu)，而如果按照教材的編排，先學(xué)三種基本運(yùn)動(dòng)，再由三種運(yùn)動(dòng)的組合得到全等三角形，使得學(xué)生能明晰每組全等三角形通過怎么樣的運(yùn)動(dòng)可以重合，再加以辨別對應(yīng)角和對應(yīng)邊就是水到渠成的事情。而后，利用前期的學(xué)習(xí)成果為后期內(nèi)容搭建支架，在學(xué)生已有水平的基礎(chǔ)上，再去學(xué)習(xí)放縮運(yùn)動(dòng)的相似形，為學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)體系提供了助力，這不就是從特殊到一般的數(shù)學(xué)抽象能力嗎？時(shí)間的跨度可能略長，思維的深度卻在潛移默化中拓寬加深，教書育人焉能拔苗助長，給學(xué)生成長的時(shí)空，才是教育的精髓所在。

猶記得數(shù)學(xué)家丘成桐將數(shù)學(xué)史的目的歸納為三點(diǎn)：求因、明變、評論。其中，求因和明變是指尋求事物變化的原因，找到事物變化的規(guī)律，幾何學(xué)習(xí)正當(dāng)如此。螺旋式上升，不急于求成，對于知識(shí)這片沃土，我們不必挖得多快，但是我們盡量挖得夠深。

那一課，那一題，教會(huì)了我如何去教。