一道廈門市質(zhì)量檢測(cè)試題的探究

福建省寧德市高級(jí)中學(xué)(352000) 連其秀

題目(廈門市2021 屆第一次質(zhì)量檢測(cè)第21 題) 已知橢圓C:= 1(a ＞b ＞0) 的左, 右焦點(diǎn)分別為F1,F2,|F1F2|=4,且a=

(1)求橢圓C的方程;

(2)若A,B為C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)F2且垂直于x軸的直線平分∠AF2B,證明直線AB過(guò)定點(diǎn).

本題的答案是: (1)橢圓C的方程為= 1; (2)直線AB過(guò)定點(diǎn)(4,0). 本題(2)的內(nèi)涵豐富,具有探究?jī)r(jià)值,可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶骄?

1 由特殊到一般的探究

本題(2)的結(jié)論表明: 直線AB過(guò)右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),即定點(diǎn)(4,0). 容易證明其逆命題也成立. 那么,對(duì)于一般的橢圓C:=1(a ＞b ＞0)這一結(jié)論成立嗎?

經(jīng)探究,這一結(jié)論以及其逆命題對(duì)于一般的橢圓仍然成立,即有

性質(zhì)1設(shè)A,B為橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線l過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F2(c,0)且垂直于x軸, 則直線AB過(guò)定點(diǎn)的充要條件是直線l平分∠AF2B.

證明設(shè)直線AB的方程為y=kx+n,與橢圓C的方程聯(lián)立消去y并整理,得(a2k2+b2)x2+2a2knx+a2n2-a2b2=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-x1x2=由條件知直線F2A,F2B的斜率kF2A,kF2B均存在, 且kF2A+kF2B=又

則

于是,直線l平分∠AF2B ?直線F2A,F2B的傾斜角互補(bǔ)?kF2A+kF2B=0?2b2(a2k+cn)=0?直線AB的方程為y=kx-直線AB過(guò)定點(diǎn),0). 證畢.

注若在上述證明中以”t”替換“c”,容易將性質(zhì)1 由右焦點(diǎn)F2(c,0)和定點(diǎn)(推廣到類焦點(diǎn)F(t,0)(0＜|t|＜a)和定點(diǎn)的情形.本文從略.

2 由準(zhǔn)線上的特殊點(diǎn)到準(zhǔn)線上的任意點(diǎn)的探究

性質(zhì)1 的直線AB過(guò)定點(diǎn)是右準(zhǔn)線上的一個(gè)特殊點(diǎn)(右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)),如果直線AB過(guò)右準(zhǔn)線上的任一定點(diǎn)P,那么會(huì)有什么相應(yīng)的結(jié)論? 經(jīng)探究,可得

性質(zhì)Ⅰ設(shè)A,B為橢圓=1(a ＞b ＞0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),P是右準(zhǔn)線上的定點(diǎn),直線l過(guò)右焦點(diǎn)F2且垂直于直線PF2,則直線AB過(guò)定點(diǎn)P的充要條件是直線l平分∠AF2B.

證明設(shè),r),r= 0 的情形即為性質(zhì)1. 當(dāng)r /= 0時(shí),設(shè)直線l與直線AB的交點(diǎn)為Q,于是,

設(shè)直線AB的方程為y=kx+n,A(x1,y1),B(x2,y2),則

則

又直線F2P的斜率kF2P=則kl=1-k2l=1-由此及性質(zhì)1 證明中的①式,可得

于是,

直線AB:y=kx+n過(guò)定點(diǎn)

從而有直線AB:y=kx+n過(guò)定點(diǎn)(1-k2l)(kF2A+kF2B)=2kl(1-kF2AkF2B)?直線l平分∠AF2B. 證畢.

顯然,上述性質(zhì)1 可作為性質(zhì)Ⅰ的推論.

3 由橢圓到雙曲線、拋物線的探究

經(jīng)探究,對(duì)于雙曲線和拋物線,也有類似性質(zhì).

性質(zhì)Ⅱ設(shè)A,B為雙曲線C:=1(a ＞0,b ＞0)右支上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),P是右準(zhǔn)線上的定點(diǎn),直線l過(guò)右焦點(diǎn)F2且垂直于直線PF2,則直線AB過(guò)定點(diǎn)P的充要條件是直線l平分∠AF2B.

推論設(shè)A,B為雙曲線C:=1(a ＞0,b ＞0)右支上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線l過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F2(c,0)且垂直于x軸,則直線AB過(guò)定點(diǎn)的充要條件是直線l平分∠AF2B.

性質(zhì)III設(shè)A,B為拋物線C:y2=2px(p ＞0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),P是準(zhǔn)線上的定點(diǎn),直線l過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于直線PF,則直線AB過(guò)定點(diǎn)P的充要條件是直線l平分∠AFB.

推論設(shè)A,B為拋物線C:y2= 2px(p ＞0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)且垂直于x軸,則直線AB過(guò)定點(diǎn)的充要條件是直線l平分∠AFB.

下面只證明性質(zhì)III.

證明設(shè)直線AB的方程為y=kx+n(k /= 0), 與拋物線C的方程聯(lián)立消去y并整理, 得k2x2-(2p -2kn)x+n2= 0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 據(jù)韋達(dá)定理, 得x1+x2=由條件知直線FA,FB的斜率kF A,kF B均存在,且

則

(1)當(dāng)r=0 時(shí),直線l平分∠AFB ?直線FA,FB的傾斜角互補(bǔ)?kF A+kF B= 0?4p(2n-pk) = 0?n=?直線AB的方程為y=kx+?直線AB過(guò)定點(diǎn)

(2) 當(dāng)r /= 0 時(shí), 類似性質(zhì)1 的證明可得, 直線l平分∠AFB ?(1-k2l)(kF A+kF B)=2kl(1-kF AkF B). 由于

則

又直線FP的斜率則kl=由此及②式,可得

于是,

直線AB:y=kx+n過(guò)點(diǎn)

而上式右邊== (1-k2l)(kF2A+kF2B), 從而有直線AB:y=kx+n過(guò)定點(diǎn)kF2AkF2B)?直線l平分∠AF2B. 綜上,性質(zhì)III 得證. 證畢.

至此,我們完成了對(duì)上述檢測(cè)試題的探究.