抑制性自突觸誘發耦合Morris-Lecar神經元電活動的超前同步*

丁學利 古華光 賈冰 李玉葉

1) (阜陽職業技術學院基礎教學部,阜陽 236031)

2) (同濟大學航空航天與力學學院,上海 200092)

3) (赤峰學院數學與計算機科學學院,赤峰 024000)

超前同步(anticipated synchronization,AS)是一種普遍存在的違反直覺的非線性行為:被驅動系統的響應會早于驅動出現,在神經系統的實驗中也被發現.本研究揭示了抑制性自突觸誘發Morris-Lecar 神經元模型產生AS,給出了產生AS 的條件.在單向興奮性驅動的雙神經元耦合系統,無論神經元是I 型興奮性還是II 型興奮性,都只會產生驅動行為在響應之前的滯后同步(delayed synchronization,DS).在被驅動神經元引入抑制性自突觸,II 型興奮性神經元構成的耦合系統會表現出驅動在響應之后的AS;隨著自突觸電導的增大,DS 會轉遷到AS;而I 型興奮性神經元構成的耦合系統則只會產生DS.進一步,提示了AS 產生與不產生分別與II 型和I 型興奮性神經元的放電響應特性有關:II 型神經元在抑制性脈沖刺激下放電提前而I 型興奮性神經元不易產生放電提前.研究結果給出了抑制性自反饋誘發AS 的神經元的興奮性類型,有助于理解違反直覺的動力學行為—AS,給出了調控AS 的可能手段,為進一步研究AS 提供了方向.

1 引言

同步現象[1,2]在物理和生物等系統中已經被廣泛地研究,如完全同步、相位同步、滯后同步(delayed synchronization,DS)和廣義同步,及同相同步和反相同步,乃至混沌同步和“超前同步”(anticipated synchronization,AS)[3]等.AS 是一種違反直覺的同步行為:對于單向耦合的驅動和被驅動系統(兩個系統相同),如果對被驅動系統施加含有時滯的自反饋,被驅動系統的響應就會發生在驅動系統的驅動之前.這與被驅動系統的響應應該出現在驅動系統的刺激之后的常規概念不同.近期,神經系統的眾多違反直覺的非線性現象及動力學機制被廣泛研究[4-8],拓展了非線性動力學的內涵.揭示AS 這一違反直覺的非線性行為的特征和機制,也是亟待解決的科學問題.

能產生AS 的單向耦合的兩個相同的動力系統[3,9-12]的數學模型如下:

方程(1)對應驅動系統,其中S為系統的變量,f(·)為系統的演化函數.方程(2)等號右側第1 項對應被驅動系統,其中R為系統的變量,f(·) 為系統的演化函數;方程(2)等號右側第2 項對應驅動系統對被驅動系統的單向耦合或激勵 (K是耦合矩陣).如果在耦合中引入被驅動系統的自反饋延遲調控KR(t-ts),ts代表時滯,則耦合系統變為

若耦合系統(3)和(4)出現R(t)=S(t+ts) 的解(ts＞0),就意味著出現了AS 現象.這是因為R(t)=S(t+ts)(ts＞0)說明行為R在被驅動系統的t時刻出現,而在驅動系統則是在t+ts時刻出現,意味著驅動系統的行為R提前傳遞到了被驅動系統.因此,AS 是一種違反直覺的非線性行為.AS現象在很多理論和實驗研究中得到了驗證[3,9-39].例如,在單向耦合的半導體激光器延遲光電反饋的實驗中,不同的傳輸時間和反饋延遲時間,激光器可以出現AS 或DS 現象[13].DS 就是被驅動系統的響應出現在激勵之后的同步行為.

在神經元理論模型的研究中也發現了AS 現象.單向耦合的兩個FitzHugh-Nagumo 神經元模型,在1 個共同的非周期激勵下實現了AS,即使受到了白噪聲激勵,AS 仍然存在[14].在由興奮性突觸耦合的Hodgkin-Huxley 神經元模型中,也發現了AS 的存在,膜電位的去極化水平決定了激勵和響應間的相位差[15].在兩個Hodgkin-Huxley 神經元模型經由單向化學突觸耦合構成的驅動-被驅動結構中,引入1 個中間神經元、且該中間神經元介導的延遲負反饋會作用到被驅動系統,當被驅動系統的頻率大于驅動系統的頻率時,該三神經元模型可以表現出AS.進一步,揭示了抑制性突觸電導對從DS 到AS 的轉遷過程中起到重要作用[16].研究還表明,AS 對噪聲[17]和spike-timing 依賴的突觸可塑性[18]具有魯棒性.在具有突觸時滯和記憶效應的兩個Rulkov 映射神經元模型也發現了AS[19].兩個單向耦合的Hindmarsh-Rose 神經元模型,當被驅動神經元的平均放電頻率略大于驅動神經元的平均放電頻率時,也存在AS[20].最近,在兩個完全相同的Izhikevich 神經元模型單向興奮性驅動構成的系統中,當被驅動神經元引入抑制性自突觸后,會誘發AS,就是被驅動神經元的動作電位會出現在驅動神經元的之前,并且時間間隔是穩定的[21].當抑制性自突觸電導增大時,通常會發生從DS (被驅動神經元的動作電位會出現在驅動神經元的之后)到AS 的轉遷.當模型參數在生理范圍內變化時,這種現象是魯棒的.當興奮性耦合較小且抑制性自突觸電導較大時,系統會出現相位漂移(phase-drift,PD)現象,就是驅動神經元和被驅動神經元的動作電位的先后順序和時間間隔不穩定的現象.除了理論研究,AS 在視覺認知實驗的腦電中被發現.猴的認知實驗和人的視覺刺激-運動或意識反應的認知任務實驗中,發現了腦電存在AS[22-25].腦區間的信息流是從后頂葉皮質(驅動)到初級運動皮層和初級體感皮層(被驅動),但是后頂葉皮質腦電卻發生在初級運動皮層和初級體感皮層的腦電之前(腦電主頻出現負相位差).該研究用電極同步記錄腦的不同部位的腦電、對任意兩個電極之間的腦電進行Granger 因果分析和頻譜分析獲得結果.

在神經元的理論研究中,AS 與抑制性作用包括抑制性自突觸建立了聯系[21].在單向興奮性耦合的雙神經元系統,被驅動神經元引入抑制性自突觸,被驅動神經元的放電提前到驅動神經元的放電之前,引起的響應早于刺激的AS[21]現象.但是,對于抑制性作用比如抑制性自突觸誘發的AS 的動力學機制,尚缺乏全面和深入理解解釋,比如,什么動力學性質的神經元可以產生AS? 實際上,AS是放電的相位變化的問題,抑制性自突觸誘發AS就是抑制性自突觸電流的作用會引起放電提前.而最近的研究[5]發現抑制性刺激下II 型興奮性/Hopf分岔的神經元放電能夠提前.因此,假若抑制性刺激不能誘發I 型興奮性/不變圓上的鞍結分岔的神經元放電提前,則神經元的II 型興奮性可能是抑制性自突觸誘發AS 的動力學機制.本文立足于回答這一問題.

基于上述分析和認識,本文選取具有I,II 型興奮性的Morris-Lecar (ML)模型,研究抑制性自突觸誘發ML 模型的AS 的特征以及AS 產生的神經元的興奮性類型.結果發現,對II 型興奮性神經元,抑制性作用能夠引起放電提前,而抑制性自突觸確實能誘發AS,并獲得AS 存在的參數區間;而對I 型興奮性神經元,抑制性作用不易誘發單神經元放電提前,抑制性自突觸也不能誘發耦合神經元的AS.該結果揭示了抑制性作用誘發的違反直覺的動力學行為—AS 的動力學特征,給出了AS產生的神經元的興奮性條件,為進一步研究神經系統的AS 指明了方向,為認識和調控神經系統的AS 現象奠定了基礎.

2 神經元模型

2.1 Morris-Lecar 模型

ML 模型是研究神經元I,II 型興奮性的常用模型.本文研究的神經元耦合系統是由兩個相同的ML 神經元模型組成,其ML 單神經模型[5,40,41]為

其中,V和w分別為膜電壓和激活變量;C為膜電容;(5)式等號右邊第1—4 項分別為鈣電流、鉀電流、漏電流和外激勵電流Iapp;鈣電流的最大電導和反轉電位分別為gCa和VCa;鉀電流的最大電導和反轉電位分別為gK和VK;漏電流的最大電導和反轉電位分別為gL和VL;ML 模型中與電壓相關的速率常數為

V1—V4為擬合參數;φ為時間尺度比率.由于在不同參數下,ML 模型會表現出不同的放電行為.本文選取能表現I,II 型興奮性特點的參數,如表1所列.

表1 ML 模型的參數值Table 1.Parameter values of ML model.

2.2 突觸動力學

由兩個相同的ML 神經元模型和化學突觸組成的耦合系統,其驅動(S)神經元的脈沖活動由下面的方程描述:

被驅動(R)神經元與驅動神經元有類似的方程,但還有兩個突觸電流,分別是來源于驅動神經元的興奮性突觸電流(IE)和自身的抑制性自突觸電流(II),具體方程如下:

其中,來源于S神經元興奮性突觸電流為

而來源于自身的抑制性自突觸電流為

這里,gE和gI分別是興奮性突觸電導和抑制性自突觸電導,EE和EI分別是興奮性突觸和抑制性自突觸的反轉電位.變量ri(i=E,I)為突觸受體,其一階動力學模型如下[21]:

式中,αi和βi(i=E,I)是速率常數,[T] 是突觸間隙內的神經遞質濃度,其為依賴于突觸前電位Vpre的函數,

其中,Tmax是 [T]的最大值,Kp表示sigmoid 函數的陡度,Vp為函數處于半激活時的值.αE,βE,αI和βI是速率常數.突觸電流的參數設置如表2 所列,其中第1 組參數與ML 模型的II 型興奮性參數(表1 的第1 組參數)匹配使用;第2 組參數與ML 模型的I 型興奮性參數(表1 的第2 組參數)匹配使用.

表2 突觸的參數值Table 2.Parameter values of synapse.

3 結果

3.1 II 型興奮性神經元

3.1.1 抑制性刺激可以誘發對應II 型興奮性的放電提前

單神經元的ML 模型在表1 的第1 組參數下,存在極限環的鞍結分岔(Iapp≈44.65 μA/cm2)和亞臨界Hopf 分岔(Iapp≈45.2335 μA/cm2),對應著神經元的II 型興奮性.本文選取Iapp=46 μA/cm2的穩定放電,此時放電周期T0≈52.87 ms.

相位響應曲線[5,41-43](phase response curve,PRC),可用來描述興奮性和抑制性脈沖如何調控神經元的放電相位,其定義如下:

其中,T0為沒受外激勵時穩定的放電周期;td為外激勵從峰值時刻到開始作用時刻的時間;T1為受外激勵后峰值出現的時刻(圖1(a)).例如,在ML模型的II 型興奮性參數下,無外激勵刺激的放電(圖1(a)黑線)周期T0≈52.87 ms.在td=20 ms處,施加負向方波脈沖刺激(幅值A=—7 μA/cm2,寬度d=4 ms),擾動后的T1≈51.69 ms (圖1(a)紅線).由(16)式計算得Δ(20)≈0.0223 ＞ 0,說明擾動后的放電提前.按此方法計算不同td的Δ,則可得PRC (圖1(b)紅色點線).從圖1(b)可知,在相同的抑制性方波脈沖寬度(d=4 ms)下,不同的幅值(A=—3,—5,—6,—7 μA/cm2)下對應的PRC具有相同的性質.當27.36 ms ＜td＜ 52.73 ms 時,Δ＜ 0,擾動后的放電延后;當0 ＜td＜ 27.36 ms時,Δ＞ 0,擾動后的放電提前.圖1(c)是圖1(b)的局部放大圖,其中Δ＞ 0 的最大幅值達到10—2量級.

圖1(a)中放電提前也可以利用V-dV/dt相平面進行分析,如圖1(d)—(f) 所示.在圖1(d)中,紅線對應圖1(a)中有抑制脈沖刺激的放電在(V,dV/dt)平面內的軌跡,對應的時間是從刺激開始到動作電位峰值;黑線對應圖1(a)中沒有抑制脈沖刺激的放電在(V,dV/dt)平面內的軌跡,對應的時間是從刺激開始到動作電位峰值.圖1(e)和圖1(f)為圖1(d)在不同部位的放大.刺激結束時刻對應著dV/dt的正向的突然變化,如圖1(e)中的箭頭所示.刺激結束后到動作電位峰值,紅線總在黑線之上,如圖1(d)—(f)所示.這說明相同的V值下,刺激后的dV/dt值總大于刺激前,因此,刺激后的動作電位峰值會提前.

圖1 II 型興奮性ML 模型在抑制性刺激下的放電 (a)與無刺激的放電(黑線)相比,負向方波脈沖(虛線,幅值A=—7 μA/cm2,寬度d=4 ms)誘發的放電(紅線)提前;(b)不同的負向方波脈沖(寬度d=4 ms)誘發的PRC;(c)圖(b)的局部放大圖;(d)黑線和紅線分別對應圖(a)的黑線和紅線(V,dV/dt)的相軌跡,從脈沖刺激結束到各自的動作電位峰值;(e)圖(d)的局部放大圖(從脈沖刺激開始到V=—20 mV,箭頭代表刺激結束);(f)圖(d)的局部放大圖(動作電位峰值前)Fig.1.Firing of ML model with type II excitability under the action of inhibitory stimulation:(a) Compared with no stimulations(black solid line),firing (red line) induced by negative square pulse (dashed line,amplitude A=—7 μA/cm2,width d=4 ms) is earlier;(b) PRC induced by negative square pulses with different strengths (width d=4 ms);(c) locally enlargement of panel (b);(d) black and red curve correspond to trajectory in (V,dV/dt) plane of black and red curve of panel (a),respectively (from begging time of the pulse stimulation to peak of the action potential);(e) enlargement of panel (d) (from begging time of the pulse stimulation to —20 mV);(f) enlargement of panel (d) (phase before the peak of action potential).

3.1.2 耦合神經元模型可以產生DS,AS和PD

首先用ML 模型II 型興奮性的參數(表1 和表2 的第1 組參數),探索DS,AS 和PD 的現象.抑制性自突觸電導固定為gI=0.3 μS/cm2,在不同的興奮性電導值gE下,模型可以表現出如圖2 所示的不同同步行為.為了描述每個現象,定義為驅動神經元的膜電位在第i個周期(即第i個峰時)的時間,而為對應的被驅動神經元的峰值時間.S 和R 神經元之間的尖峰計時差τ定義為

根據τi隨著i增大表現出的不同動力學性質來區分DS,AS 和PD.

如果τi隨著i的增大收斂到一個正的常數τ時,即τ ＞0,則系統表現DS,如圖2(a1)所示(gE=1.8 μS/cm2).從起始到達穩態,驅動神經元放電(黑)在前、被驅動神經元放電(紅)在后.圖2(a1)中有1 個時間的間斷符.隨著時間的演化和i的增大,τi逐步降低,最終收斂到1 個穩態正值τ ≈0.82 ms,如圖2(a2)所示,上橫坐標代表時間,下橫坐標代表第i個放電周期.

如果τi隨著i的增大收斂到1 個負的常數τ時,即τ <0,則發生 AS.放電起始時是驅動神經元放電(黑)在前、被驅動神經元放電(紅)在后,經過一段時間的演化(間斷符所示),變為驅動神經元放電(黑)在后、被驅動神經元放電(紅)在前,如圖2(b1)所示(gE=0.1 μS/cm2).相應地,隨著時間的演化和i的增大,τi從正值逐步降低變為負值、最后收斂到1 個穩態負值τ ≈—11.21 ms,如圖2(b2)所示,上橫坐標代表時間,下橫坐標代表i.

如果τi沒有收斂到1 個固定的值,該系統處于PD 狀態,如圖2(c1)和圖2(c2)(gE=0.03 μS/cm2)所示.τi的變化隨著時間表現出周期性,1 個周期內的τi從約28.62 ms 降低到約—23.91 ms.該降低是由抑制性自突觸引起放電提前引起的.

圖2 抑制性自突觸誘發II 型興奮性ML 神經元模型產生的3 種動力學行為(gI=0.3 μS/cm2).DS (gE =1.8 μS/cm2):(a1)驅動(黑)和被驅動(紅)神經元的膜電位;(a2)兩神經元放電時間間隔的變化.AS (gE =0.1 μS/cm2):(b1)驅動(黑)和被驅動(紅)神經元的膜電位;(b2)兩神經元放電時間間隔的變化.PD (gE =0.03 μS/cm2):(c1)驅動(黑)和被驅動(紅)神經元的膜電位;(c2)兩神經元放電時間間隔的變化Fig.2.Three dynamic behaviors induced by inhibitory autapse (gI =0.3 μS/cm2) in the ML neuron model with type II excitability.DS (gE =1.8 μS/cm2):(a1) Membrane potential of driving (black) and driven (red) neurons;(a2) change of time interval between spikes of two neurons.AS (gE =0.1 μS/cm2):(b1) Membrane potential of driving (black) and driven (red) neurons;(b2) change of time interval between spikes of two neurons.PD (gE =0.03 μS/cm2):(c1) Membrane potential of driving (black) and driven (red)neurons;(c2) change of time interval between spikes of two neurons.

3.1.3 沒有抑制性自突觸耦合神經元不產生AS

ML 模型在II 型興奮性的參數(表1 和表2的第1 組參數)下,若抑制性自突觸電導設為gI=0 μS/cm2,則隨著興奮性突觸電導值gE的增加,τ始終大于0,如圖3 所示.說明在沒有抑制性刺激耦合的神經元將不會產生AS.

圖3 單向耦合II 型興奮性ML 模型在沒有抑制性自突觸(gI=0)時產生DS (兩神經元放電時差在不同興奮性電導下大于0,即 τ ＞ 0)Fig.3.DS of type II ML model with unidirectional excitatory coupling and without inhibitory autapse (gI =0) (time interval between spikes of the two neurons is larger than 0 at different values of conductance of excitatory synapse,i.e.τ＞ 0).

3.1.4 引入抑制性自突觸后耦合神經元產生AS

對被驅動神經元引入抑制性自突觸,會引起AS (τ＜ 0),如圖4 所示.紅線和藍線分別表示固定gI=0.8 μS/cm2和gI=1.5 μS/cm2時 產 生AS,小于三角符號標記的gE范圍代表PD.gI越大,τ的絕對值越大.黑線代表gI=0.2 μS/cm2時,隨著gE的增大,AS 可以變為DS (τ＞ 0);而隨著gE的降低,AS 變為PD (位于三角符號標記以左).

圖4 不同抑制性電導 gI 下興奮性耦合的II 型興奮性ML 模型的AS (兩神經元放電時間間隔 τ隨 gE 的變化).τ＞ 0 表示DS 狀態,τ ＜ 0 代表AS 狀態.三角符號標記以左出現PDFig.4.Anticipated synchronization of type II ML model with excitatory coupling at different values of the conductance of inhibitory autapse (changes of time intervalτ between spikes of two neurons with respect to gE).τ ＞ 0 and τ ＜ 0 represent DS and AS states,respectively.PD locates left to the triangle.

3.1.5 在(gI,gE)平面上,AS 位于DS 和PD 之間

為了全面地展示興奮性單向耦合的II 型興奮性ML 模型產生AS,DS 和PD 參數的范圍,圖5給出了兩神經元放電時間間隔τ在參數空間(gI,gE)的分布.圖5(a)的紅色區域表示DS (τ＞ 0),綠色區域表示AS (τ＜ 0),黑色區域表示PD (τ的值不穩定).從DS 到AS 轉變的分界線可用線性關系gE/gI≈3.444 來近似,而從AS 到PD 轉變的分界線可用線性關系gE/gI≈0.137 來近似.

圖5 單向興奮性耦合的II 型興奮性ML 模型的3 類行為在參數平面(gI ,gE)的分布 (a)兩神經元放電間隔 τ 的分布,紅、綠和黑色分別表示DS (τ ＞ 0),AS (τ ＜ 0)和PD (τ 的值不穩定);(b)兩神經元放電間隔 τ 的量值Fig.5.Distribution of three behavior in parameter plane(gI ,gE) of the type II ML model with unidirectional excitatory coupling:(a) Distribution of time interval τ between spikes of two neurons,red,green,and black indicate DS(τ ＞ 0),AS (τ ＜ 0),and PD (the value of τ is unstable),respectively;(b) values of time interval τ .

在DS 和AS 區域,τ的量值的分布如圖5(b)所示.對于AS,固定gE,τ的絕對值隨著gI的增大而增大;在DS 區域中,固定gE,τ的值隨著gI的增大而減小(圖5(b)).

3.2 I 型興奮性神經元

3.2.1 抑制性刺激不易誘發對應I 型興奮性的放電提前

在表1 第2 組參數下,ML 模型在Iapp≈39.96 μA/cm2處產生不變圓上的鞍結分岔,對應I 型興奮性.本文選取在Iapp=46 μA/cm2處的穩定放電,對應放電周期T0≈92.27 ms.

與II 型興奮性PRC 的定義類似,也可得到I 型興奮性的PRC,如圖6(a)所示.負向脈沖刺激誘發I 型興奮性的PRC 幾乎全負,如圖6(a)所示,與大家熟知的正向脈沖誘發的PRC 幾乎全正且關于Δ=0 是對稱的.在相同的抑制性方波脈沖寬度(d=4 ms)下,不同的幅值(A=—1,—3,—5,—7 μA/cm2)下對應的PRC 具有相同的性質.Δ＜ 0,意味著刺激后的放電延后.圖6(a)中出現了小部分Δ＞ 0 的情況,其局部放大圖,如圖6(b)所示.圖6(a)與圖1(b)中Δ＞ 0 的幅值差別還是比較大的(見放大圖),圖6(b)中Δ＞ 0 的幅值的最大值大約是0.0038,并且其參數區間較窄,在當前的突觸參數下,抑制性電流不容易作用在這個窄的區間,因而不易產生AS.

圖6(a) 不同抑制性方波脈沖(寬度d=4 ms)刺激誘發I 型興奮性ML 模型的PRC;(b)圖(a)的局部放大圖Fig.6.(a) PRC induced by inhibitory square pulses (width d=4 ms) stimulation in ML model with type I excitability;(b) locally enlarged of panel (a).

3.2.2 沒有抑制性自突觸的耦合神經元系統不易產生AS,只產生DS

ML 模型在I 型興奮性的參數(表1 和表2 的第2 組參數)下,若抑制性自突觸電導為gI=0 μS/cm2,則隨著興奮性電導值gE的增大,τ始終大于0,如圖7 所示.說明在沒有抑制性自突觸時,耦合神經元系統將不會產生AS,只產生DS.

3.2.3 引入抑制性自突觸后耦合神經元系統不易產生AS

由圖7 可知,在沒有抑制性自突觸時,耦合神經元將不會產生AS.現引入抑制性自突觸,看是否會產生AS.例如,取抑制性自突觸電導gI=0.2 μS/cm2和興奮性耦合電導gE=0.02 μS/cm2,如圖8(a1)和圖8(a2)所示,其放電時間序列(驅動神經元放電(黑)在前、被驅動神經元放電(紅)在后)和兩神經元的放電時間間隔τ ≈4.25 ms,均說明只產生了DS.若興奮性電導為gE=0 μS/cm2,只有抑制性自突觸電流,此時系統表現PD,如圖8(b1)和圖8(b2)所示.τi的變化隨著時間表現出周期性,1 個周期內的τi從約7.73 ms 延長到約106.83 ms.延長是因為該結果是在沒有抑制性自突觸流,只有興奮性突觸流的情況下產生的.因此,時間延長是由興奮性突觸流引起放電延后引起的.無論如何引入抑制性自突觸電流,耦合神經元的行為均不易產生AS.

圖7 單向耦合I 型興奮性ML 模型在沒有抑制性自突觸電導(gI =0 μS/cm2)時產生DS (兩神經元放電時差在不同興奮性電導下大于0,即 τ ＞ 0)Fig.7.DS of type I ML model with unidirectional excitatory coupling and without inhibitory autapse (gI =0) (time interval between spikes of the two neurons is larger than 0 at different values of conductance of excitatory autapse,i.e.τ＞ 0).

圖8 抑制性自突觸誘發I 型興奮性ML 神經元模型產生的2 種動力學行為(gI=0.2 μS/cm2).DS (gE =0.02 μS/cm2):(a1)驅動(黑)和被驅動(紅)神經元的膜電位;(a2)兩神經元放電時間間隔的變化.PD (gE =0 μS/cm2):(b1)驅動(黑)和被驅動(紅)神經元的膜電位;(b2)兩神經元放電時間間隔的變化Fig.8.Two dynamical behaviors induced by inhibitory autapse in the ML neuron model with type I excitability (gI =0.2 μS/cm2).DS (gE =0.02 μS/cm2):(a1) Membrane potential of driving (black) and driven (red) neurons;(a2) change of time interval between spikes of two neurons.PD (gE =0.0 μS/cm2):(b1) Membrane potential of driving (black) and driven (red) neurons;(b2) change of time interval between spikes of two neurons.

圖9 是固定抑制性電導gI,兩神經元放電的時間間隔τ隨興奮性電導gE的變化.黑、紅和藍線分別表示固定gI=0.2 μS/cm2,gI=0.8 μS/cm2和gI=1.5 μS/cm2時的τ值.τ＞ 0 表示DS 狀態,三角形標記以左代表PD.從圖9 可知,在3 個抑制性電導下,除在gE=0 處產生了PD,其余均產生了DS,沒有AS 產生.

圖9 不同抑制性電導 gI 下興奮性耦合I 型興奮性ML 模型的DS (兩神經元放電時間間隔 τ隨 gE的變化).τ ＞ 0 表示DS 狀態,三角符號標記處出現PDFig.9.DS of the type I ML model with excitatory coupling at different values of conductance of inhibitory autapse(changes of time interval τ between spikes of the two neurons was with respect to gE).τ ＞ 0 represents DS state,and the phase-drift locates to the triangle.

為了更好地展示產生DS 參數的范圍,圖10給出了兩神經元放電時差τ在參數空間(gI,gE)的分布.如圖10(a)所示,除在gE=0 處出現了PD(黑色區域),其余存在DS 的分布區域(紅色區域,τ＞ 0).在DS 區域中,固定gI,τ的值隨著gE的增大而減小,如圖10(b)所示.

圖10 單向興奮性耦合的I 型興奮性ML 模型的DS 在參數空間(gI ,gE)的分布 (a)兩神經元放電間隔 τ 的分布;紅和黑分別表示DS (τ ＞0)和PD (τ 的值不穩定)區域;(b)兩神經元放電間隔 τ 的量值Fig.10.Distribution of DS in parameter plane (gI ,gE) of type I ML model with unidirectional excitatory coupling:(a) Distribution of time interval τ between spikes of two neurons,red and black indicate DS (τ ＞ 0) and PD (the value of τ is unstable),respectively;(b) values of time interval τ .

4 結論

AS 是違反直覺的重要的非線性動力學現象,揭示其動力學特性和產生條件對于豐富非線性科學的內涵和認識神經系統中的實驗現象具有重要的意義.本文揭示了抑制性自突觸誘發單向興奮性耦合的雙神經元模型(ML 模型)產生的AS,取得了以下的進展:

1)將文獻[21]中的Izhikevich 模型換為具有I,II 型興奮的ML 神經元模型,施加抑制性脈沖刺激,II 型興奮性神經元可以產生放電提前,而I 型興奮性的神經元不易出現放電提前.研究結果揭示了抑制性作用下的神經元放電的相位變化,結合大家熟知的興奮性作用誘發的放電相位的變化(與抑制性作用的相反),全面認識了不同激勵下的神經放電的相位變化.

2)在單向耦合的兩個完全相同的ML 神經元模型中,若只有興奮性耦合流,沒有抑制性自突觸流,無論神經元是I 型興奮性還是II 型興奮性,耦合系統都只會產生DS,而不易產生AS.

3) 在被驅動神經元引入抑制性自突觸后,隨著抑制性自突觸電導的增大,II 型神經元則會表現出從DS 到AS 的轉遷.AS 的出現是因為抑制性作用引起了放電提前,使得被驅動神經元的放電提前到驅動神經元的放電之前,誘發了AS.而I 型神經元只會產生DS,這是因為抑制性作用不能引起被驅動神經元的放電提前.研究結果給出了AS 這一違反直覺的非線性行為的產生的單神經元的興奮性條件,從而對神經系統中AS 這一有趣的問題的研究起到推動作用.

本文研究的AS 是神經系統的抑制性反饋和興奮性耦合的綜合作用結果.首先,進一步拓展了神經系統的復雜時空動力學,在眾多耦合神經系統復雜時空動力學基礎上[44-49],進一步探討抑制性作用對網絡時空行為的影響及其相關的生理功能.其次,AS 是違反直覺的非線性現象,與近期的違反直覺的非線性行為[4-8,47,50]一起,豐富了非線性動力學的內涵,今后要進一步探討抑制性作用對AS 的全面影響,有助于理解AS 在神經系統中的動力學機制及功能意義.最后,本研究結果提示了抑制性自突觸的潛在功能,是對諸多自突觸的功能[4-8,47,50-52]的補充,今后應進一步加強自突觸的動力學行為及功能的研究.