談小學數學模型建構的三個步驟

涂幾會 李志

摘 要：數學最終必須要舍去背景，得到最一般的東西，數學學習是一個從實例出發，不斷舍去的過程，最終留下的就是數學模型。在教學中可以通過精選問題、創設情境、感官參與;逐步抽象、抽絲剝繭、建立模型;回歸生活、拓展外延、深化認知這三個步驟來建構數學模型。

關鍵詞：數學模型;建構;步驟

數學核心素養是數學教學的靈魂，“抽象、推理、建模”是數學三大核心素養。《數學課程標準（2011版）》指出：“數學模型的建立是學生體會與理解數學與外部世界聯系的基本途徑。” 數學模型是指對于一個現實對象，為了達到某種特定的目的，根據其內在的規律，做出必要的簡化，再用適當的數學工具將對象轉化為一個數學結構。通俗地說：數學模型就是借用數學的語言講述現實世界的故事。? 客觀地講：只有模型建立成功的數學課，才是一節有著深遠意義的課，學生的學才是有深度的學。但實際的教學中，一部分教師只注重了數學知識的傳授，忽視了數學模型的建構，導致學生應用意識差，不會舉一反三。

如何在課堂教學中引導學生建立數學模型呢？筆者將用一年級上冊“減法的認識”與三年級下冊數學廣角“搭配”兩課來說明數學模型建構的一般步驟。

一、精選問題，創設情境， 感官參與

現實世界中有大量的關于數量關系與空間圖形的客觀現象與事物，這些現象與事物都可以從數學的角度去觀察、分析、解釋;從這些現象與事物中可以抽象出大量的數學模型，生活問題就是數學模型的原型。生活問題的呈現方式多種多樣，語言敘述呈現、故事講述呈現、圖表圖片呈現、操作演示呈現、表演呈現、游戲呈現、實物呈現等，這些方式的呈現目標都只有一個，將其轉化為數學問題。這些現實問題種類也是多種多樣，有關于生活的現實、有關于數學的現實、有關于其他學科的現實，或與學生的生活很接近、或體現了時代的特點與要求，這些情境內容符合學生的年齡特征，有利于學生通過對比、觀察、分析、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感悟知識的形成和應用，經歷一個完整的學習過程。總之，它們都能夠很好地激發學生的數學學習興趣，能夠為模型的建立提供很好的探究素材，蘊含著數學知識與數學思想方法。生活情境的呈現，能夠激發學生調動多種感官，眼、手、耳、腦并用，在傾聽或者觀察的過程中，分析、抽象、概括、發現并提出數學問題，培養學生數學意識與問題意識。

例1：一年級上冊“減法的認識”

課本呈現的情境是一幅圖，教師可以引導學生分解成兩幅圖來閱讀，第一幅圖有4個氣球，第二幅圖飛走了1個氣球。在這個過程中可分層觀察，從第一幅圖中獲取了什么信息，第二幅圖呢，能把兩句話連起來完整地說一說嗎？根據這兩句話，你能提出一個數學問題嗎？學生得出：“有4個氣球，飛走了1個，還剩幾個氣球？”將生活問題轉化成數學問題，為下一步的探究提供了素材。

例2：三年級下冊數學廣角“搭配”

老師創設了這樣的生活情境，周末麗麗要去參加一個社會實踐活動，媽媽拿出了2件漂亮的上衣與3條裙子，麗麗猶豫了，到底穿哪件上衣和哪條裙子呢？將生活中的問題轉化成數學中的問題：“2件上衣、3條裙子，要搭配一套衣服，共有幾種搭配方法？”為下一步的探究提供了素材。

二、逐步抽象，抽絲剝繭，建立模型

說到底，數學的所有知識都是以模型結構呈現出來的。例如，一個具體的數字、數的意義、一個具體的算式、四則運算的意義、運算定律、一個具體的方程、方程的意義、典型的數學問題等都是數學模型。數學模型如何建構，必須有一個不斷抽象的過程，將生活情境抽象成數學情境。數學情境抽象成數學事實，數學事實抽象成數學事理，數學事理抽象成數學算式或符號或圖表等結構模型。在這個過程中，數學問題是探究的素材;學生是經歷這個過程的主體;觀察、對比、分析、實驗、猜測、推理、交流、抽象、概括、反思都是學生建模要使用的方法與手段。學生利用這些方法一步步抽象、抽絲剝繭，去除數學問題中的非本質的屬性，留下最本質的東西，形成數學模型。

例1：一年級上冊“減法的認識”

把生活中的問題抽象成數學中的問題。“一共4個氣球，有1個飛走了，還剩幾個氣球？”學生異口同聲說出：“4-1=3。”教師這樣做：1.用手中的圓片代替氣球擺一擺，邊擺邊說4、1、3分別表示什么。2.找學生拿著磁性教具在黑板上邊擺邊匯報。有的學生用情境中的氣球說明了4、1、3所表示的意義，有的用圓片敘述了4、1、3所表示的意義，有的用貼圓片的磁鐵敘述了4、1、3所表示的意義。在這個環節中，教師引導學生觀察，用氣球情境來抽象符號算式4-1=3，同時很巧妙地引導學生由具體到抽象，脫離了氣球情境，學生用圖形操作理解了4-1=3 的意義，逐步加深對具體算式“4-1=3”這個模型的認識。

例2：三年級下冊數學廣角“搭配”

學生將生活中的穿衣服問題轉化成數學中的搭配問題，并能夠用2件上衣圖片與3條裙子圖片，通過連線的方法有序地思考，教師接著引導學生進一步抽絲剝繭，建立模型。師：“看來同學們都有了自己的想法，但是我們不能每次遇到這樣的問題都要用衣服圖片來擺一擺吧。能用比較簡潔的方法表示出你的想法嗎？”幾分鐘以后，學生開始匯報。有的用A1、A2 表示兩件上衣，用 B1、B2、B3表示三條裙子;有的用A、B表示兩件上衣，C、D、E表示3條裙子;有的用1、2表示上衣，3、4、5表示裙子;有的用簡筆畫畫出來。這些都是通過列舉或者連線得到6種搭配方法。緊接著學生在對比中優化方法，進一步抽象出2件上衣、3條裙子搭配的比較完美的樹狀符號結構模型。

三、回歸生活，拓展外延，深化認知

當數學模型初步建立成功以后，教師絕不可以戛然而止。引導學生建立數學模型的意義何在，就是為了學生能夠應用新知識模型，靈活解決生活中的數學問題，從生活中來，又回到生活中去，使得學生感受數學的價值與趣味。這時候的數學模型還不夠牢固，教師還需要設置一定的活動引導學生牢固掌握這個數學模型。這個過程中，一般有兩種方法，第一種方法是利用數學模型講述生活中的故事，加深學生對模型的認識。二是設置層次性的練習，在練習的過程中加深對數學模型的認識。

例1：一年級上冊“減法的認識”

當學生理解了“4-1=3”這個算式模型不但可以表示氣球問題，還可以表示圓片問題和磁鐵問題時，教師為了拓展模型的外延，讓學生講幾個關于“4-1=3”的故事。學生講的故事可真豐富，有關于喝牛奶的故事， 有關于用錢的故事，有關于吃蘋果的故事，有關于小兔子的故事等。通過思維的發散與聯想對模型加以擴張和推廣，賦予“4-1=3”更多的“模型”意義。學生學習減法，重在理解“減法”是怎么一回事，對減法的“□-□=□”有生動的認識。學生知道了，從整體中去掉一部分，求剩余的就會用減法。同時對于具體的算式“4-1=3”這個模型，它不光可以用來計算氣球的問題，還可以用來計算牛奶、用錢等更多的問題。

例2：三年級下冊數學廣角“搭配”

學生抽象出2件上衣與3條裙子有幾種搭配穿法的基本樹狀符號模型，也通過理解得到了衣服搭配的乘法模型“2×3=6”。這時候，能搭配幾套服裝的模型剛剛建立，教師要繼續引導，使模型得到進一步的拓展與擴張。教師追問：“如果有3件上衣3條裙子，有幾種搭配方法？4件上衣3條裙子呢？5件上衣3條裙子呢？100件上衣3條裙子呢？”從乘法的意義出發，將“上衣件數×裙子的條數=搭配總數”這一算法作為模型，突破教材的思路，向前延伸，向后拓展，以“一個幾為母體”，生出“幾個幾”的組合，由簡到繁，再化繁為簡，也能充分彰顯數學“模型”的魅力。

接著教師又讓學生講故事：“A1、A2表示上衣，B1、B2、B3表示裙子，得出搭配的穿法有2×3種，生活中還存在哪些類似的問題，A1、A2，B1、B2、B3還可以表示什么呢？你能舉一個例子嗎？”黑板上的搭配樹狀模型，不僅適用于衣服的搭配，對于菜的搭配，路的搭配，早餐的搭配，男女生跳舞的搭配等搭配問題，都可以用這個模型來解決。

由上面的例子可以看出，數學教學的本質就是不斷地抽象，逐步去掉數學結構的物理屬性;不斷地概括，總結出數學的本質屬性;不斷地模式化，形成特定的數學結構。“問題情境”到“建立模型”再到“拓展驗證”這三個步驟，是模型的建構過程的基本步驟。

參考文獻：

[1]王光明，范文貴.新版課程標準解析與教學指導.小學數學[M].北京：北京師范大學出版社，2012：82-86.

[2]王永春.小學數學與數學思想方法[M].上海：華東師范大學出版社，2014：87-91.

■ 編輯/魏繼軍