融入MATLAB軟件的線性代數教學探索

劉倩

設x為二維平面上第一象限中的一個單位方塊，其四個頂點分別為（0，0），（1，0），（1，1），（0，1），則

。再設A為二階方陣，分別令，則Aix=yi。其中y1的繪圖語句如下：

運行程序即可以得到yi的值，同時得到圖1所示圖像。

對比第一幅變換之前的圖像（a），很容易發現矩陣A1使原圖對縱軸生成鏡像（b），矩陣A2使原圖在橫軸方向膨脹（c），矩陣A3使原圖在縱軸方向壓縮（d），矩陣A4使原圖向右方剪切變形（e），矩陣A5使原圖沿逆時針方向旋轉（f）。同時可以啟發學生通過計算矩陣Ai行列式的值，加深對行列式幾何意義的理解。

以往筆者在課堂上介紹矩陣的特征值概念時，會向學生說明其幾何意義就是該變換在原圖形的特征向量方向上的放大量，或許會在黑板上畫上二維的平面示意圖予以解釋。在學習MATLAB軟件后，筆者了解到eigshow語句可以動態演示矩陣的特征向量和特征值。設運行eigshow（A），得到圖2所示演示窗口。其中綠色的x表示原坐標系中的單位向量，用鼠標左鍵點住x并拖動它圍繞原點轉動，圖中同時出現以藍色表示的Ax向量。當兩個向量處在同一條直線上時（包括正向和反向），就是相應特征值的幾何表現。

以上兩例在課堂上給學生呈現的視覺效果是傳統黑板加粉筆無法比擬的，既可以加深學生對課程內容的透徹理解，也可以大大激發其學習興趣。

2）結合學生專業特點，引入實際問題求解。工科學生的后續專業課程中，電路、理論力學、材料力學、數值計算方法、計算機圖形學、信號與系統、數字信號處理、自動控制原理、機械振動、機器人學等十多門課程都需要用矩陣建模和解題。要滿足這些后續課程的要求，學生應該會做不低于六階的復數矩陣運算，解六元以上的代數方程組，會解六階三元以上的超定方程組。然而，現有的線性代數課程都解決不了這些問題，唯一的方法就是引入計算機和軟件工具[3]。

筆者之前教的是交通工程專業的學生，在課堂上不僅可以列舉相關專業實例，還可以通過MATLAB軟件輕松求解，比如下面這個關于交通流量分析的問題：

某城市有兩組單行道，構成一個包含四個節點A，B，C，D的十字路口。在交通繁忙時段，汽車從外部進出此十字路口的流量（每小時的車流數）如圖3所示?，F在要求計算每兩個節點之間路段上的交通流量x1，x2，x3，x4。

假設在每個節點處流入量等于流出量，由此得到以下四個節點的流通方程：

節點A：x1+450=x2+610

節點B：x2+520=x3+480

節點C：x3+390=x4+600

節點D：x4+640=x1+310

整理得方程組形式：。

設在MATLAB軟件中直接調用，得到最簡行階梯形矩陣。這個結果說明x4為自由變量，方程解不唯一。如果要準確了解交通流量情況，還應該再給出其他信息。

3 實踐小結與不足

通過教學實踐環節，看到將MATLAB軟件引入線性代數課堂教學能夠豐富課堂內容，調動學生學習積極性，開闊學生視野，從而有效解決學生學而不知用的困惑。但目前的教學改革還存在不足之處需要解決：

1）限于學時，沒有安排學生集中上機學習的時間，只聽不練會讓學習效果打折扣;

2）后期要通過考試的杠桿作用讓學生主動去學習和掌握必要的MATLAB技能;

3）教師要提高使用數學軟件的能力。

參考文獻

[1]陳懷琛，楊威.工科線性代數必需的三項改革：介紹《實用大眾線性代數（MATLAB版）》教材及其慕課[J].應用數學發展，2018（9）：1159-1165.

[2]陳懷琛，高淑萍.論非數學專業線性代數的內容改革[J].高等數學研究，2015（2）：8-11.

[3]陳懷琛，高淑萍，楊威.科學計算能力的培養與線性代數改革[J].高等數學研究，2009（12）：23-25，52.