計劃有變類行程問題的求解

安維寬 解天才 熊家昌

摘 要：行程問題是小升初考試中的?？寄K。分析清楚題設情景（過程）再結合行程公式及所蘊含的比例關系進行求解是一種重要的行程問題解題方法。文章以計劃有變類行程問題，包括非同時出發(fā)行程問題、速度變化行程問題、有折返行程問題等為例談一談行程問題公式及比例思想在行程問題求解中的應用。

關鍵詞：行程問題;計劃有變;公式;突破口;情景分析

中圖分類號：G623.5文獻標識碼：A文章編號：2095-624X（2021）37-0084-02

一、深刻理解公式，靈活解題

行程問題的特點是題型多、難度較大、方法靈活，其是培養(yǎng)小學生情景和過程分析的好素材，練習該類型問題有益于學生學科思維習慣的培養(yǎng)。行程問題公式蘊含比例思想，比例思想是求解行程問題的利器。求解行程問題的關鍵是對公式的深刻理解和靈活應用。對行程問題，要注意從效果上分析，靈活運用公式求解，否則會因拘于題述細節(jié)而造成求解過程煩瑣。

例1 （相遇一方提前出發(fā)的行程問題）每天早上李剛定時離家上班，張大爺定時出門散步，他們每天都相向而行，且準時在途中相遇。有一天，李剛因有事提早離家出門，所以他比平時早7分鐘與張大爺相遇。已知李剛每分鐘行70米，張大爺每分鐘行40米，那么這一天李剛比平時早出門（? ?）分鐘。

A.7? ? ? ? ? ? ?B.9? ? ? ? ? ? ?C.10? ? ? ? ? ? ?D.11

解析：在行程問題中，本題是相遇路程不變，相遇時間（刻）提前7分鐘，相當于兩人都提前了7分鐘出發(fā)。在單獨李剛一人提前的情況下，由李剛和張大爺速度之比為7：4，（7+4）×7=（7+0）×11，可知李剛需要比平時早出發(fā)11分鐘。本題求解需要準確理解公式“速度之和乘相遇時間等于相遇路程”并利用其進行求解。

例2（非同時出發(fā)的行程問題）甲、乙兩人騎車分別從 A、B兩地相向而行，已知甲、乙兩人的速度比是2：3，甲比乙早出發(fā)15分鐘，且經過1小時45分鐘遇見乙，此時，甲比乙少走了6千米，求A、B兩地之間的距離？

解析：非同時出發(fā)的行程問題可結合相遇問題公式對比同時出發(fā)情況來分析。據題意，設總路程為s， 甲、乙的速度分別為 2x千米/小時和 3x 千米/小時。若甲、乙兩人同時出發(fā)則經過1小時36分鐘（130+2×15/5）相遇，s=8x千米，此時甲比乙少走s/5（即8x/5）。實際情況是乙比假設情況少走3x/10千米（乙6分鐘走的路程），所以有s/5-2×3x/10=6， 則x=6，

s=48千米。

鞏固提升題：甲、乙兩車分別從A、B兩地出發(fā)相向而行，甲車每小時行60千米，乙車每小時行48千米。乙車先出發(fā)1小時后甲車出發(fā)，結果兩車在距中點6千米處相遇，求A、B兩地之間的路程。

提示：設A、B兩地之間的路程為s（求什么設什么）。若兩車同時出發(fā)則相遇點在5s/9處，因乙車先出發(fā)1小時，實際相遇點在5（s-48）/9處（對比同時出發(fā)情況分析）。根據題述條件無法判斷實際相遇點在（A、B兩地）中點（自然在s/2處）靠近A一側還是靠近B一側，所以得方程5（s-48）/9±6=s/2，解得s=588千米或s=372千米。

評析：本題是一道開放性的非同時出發(fā)行程問題。不失為一道鍛煉學生思維的好題。2021年2月，教育部發(fā)布通知指出，2021年高考要優(yōu)化情境設計，強化試題開放性、靈活性，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導向作用，引導減少死記硬背和“機械刷題”現象。這意味著，2021年高考各科的開放性試題比例將增加，將更考驗學生對知識的靈活運用能力。高考經過這一改革將更有利于考生的全面發(fā)展。因此，教師要引導學生全面提升其自身的素養(yǎng)。

例3 （假設速度改變的行程問題）一戰(zhàn)斗機從甲機場勻速開往乙機場，如果速度提高25%，可比原定時間提前12分鐘到達;如果以原定速度飛行600千米后，再將速度提高1/3，可以提前5分鐘到達。那么甲、乙兩機場的距離是多少千米？（? ?）

A.750? ? ? ? ? ? ?B.800? ? ? ? ? ? ?C.900? ? ? ? ? ? ?D.1000

解析：由行程問題公式“路程=速度×時間”可知，路程一定，速度和時間成反比例關系。據此，由“速度提高25%，可比原定時間提前12分鐘到達”可知，按原速度1小時可到達。同理若全程將速度提高1/3，則可以提前15分鐘到達。實際是提前了5分鐘到達，所以600米占全程的2/3（即只有1/3的路程提速1/3行駛），甲、乙兩機場的距離是900米。本題充分利用了“路程一定，速度和時間成反比例關系”（公式）來靈活求解。

例4（有折返的行程問題） 甲、乙兩人同時以每小時4千米的速度從A地出發(fā)到B地辦事，行走2.5千米后，甲返回A地取文件，他以每小時6千米的速度趕往A地，取到文件后，仍以每小時6千米的速度回頭追趕乙，結果他們同時到達B地。已知甲取文件在辦公室耽誤了15分鐘，求A、B兩地距離。

解析：設甲的有效追擊時間為t，甲的追擊距離S=2×2.5+4×1/4=6千米。注意甲返回過程也可視為追擊過程的一部分，且甲取文件耽誤15分鐘期間乙走的路程也是甲追擊距離的一段。因此，由追擊公式有6=（6-4）×t甲，t甲=3小時，乙行走的時間t乙=（2.5/4+t甲+1/4）=15.5/4小時，則A、B兩地距離為15.5千米。本題考查的是對追問題及追擊公式的深刻理解。

二、抓細節(jié)找突破口，進行求解

在行程問題中要么題述時刻（或各運動對象相關聯狀態(tài)）繁多，要么以多過程為背景，要么題目告知假設細節(jié)，要么題中相關數量關系隱蔽（必要時可借助行程圖使問題明朗化）。解題時要善于咬文嚼字，尋找解題突破口（進行綜合分析、比較，從局部、部分過程入手來尋找），注意相關參量間的關聯性，再結合行程問題公式或比例關系進行求解。行程問題的求解過程經常是掩卷深思求突破，茅塞頓開現妙思。

例5? （速度改變的行程問題）長途汽車從A站出發(fā)，勻速行駛，1h后突然發(fā)生故障，車速降低了40%，到終點B站延誤達3h。若汽車多跑50km后才發(fā)生故障，堅持行駛到B站能少延誤1h20min，那么A、B兩地相距（? ? ）千米。

A.412.5? ? ? ?B.125.5? ? ? ?C.146.5? ? ? D.152.5? ? ? ?E.137.5

解析：從“若汽車能多跑50km后才發(fā)生故障，堅持行駛到B站能少延誤1h20min”可知，按新速度每行駛50km則較原來（速度）延誤1h20min，據此，由“到終點B站延誤達3h”可知該汽車按新速度跑了50×（3÷4/3）=112.5km，原來的速度為v=25km/h。所以A、B兩地相距137.5千米。從本題求解可見行程問題的求解常需要進行邏輯推導，其是鍛煉學生邏輯思維的好工具。

例6? （有折返的行程問題）自行車隊出發(fā)90分鐘后，通信員騎摩托車去追他們，在距出發(fā)點18km的地方追上了自行車隊，然后通信員立即返回出發(fā)點，到后又返回去追自行車隊，再次追上時恰好距出發(fā)點27km，試求自行車和摩托車的速度。

解析：經分析可知通信員返回出發(fā)點再次追上自行車隊這一過程經過的路程是45km（18+27=45），同一時間段內自行車隊經過的路程為9km（27-18=9），因此通信員和自行車隊的速度比是5：1。因而，自行車隊前90分鐘所行路程為14.4km，自行車隊的速度為9.6km/h，通信員（摩托車）的速度為48km/h。本題求解需先厘清兩運動對象相關時刻的行程（即為本題解題突破口），再針對兩次追及過程運用路程比例關系進而求出速度。

說明：本題也可研究通信員返回出發(fā)點后再次追及的過程。此過程追及距離為27km，則自行車隊先出發(fā)135分鐘，因而通信員之前往返18km用時45分鐘，即可求出通信員的速度為48km/h。自行車隊的速度為18÷（90+22.5）/60=9.6km/h。從本題可看出，行程問題的求解有時研究過程的選取較靈活。

例7（分段變速的行程問題） 某人駕車從A地趕往B地，前一半路程比計劃多用了45min，平均速度只有計劃的80%。若后一半路程的平均速度為120km/h，此人還能按原定時間到達B地，則A、B兩地的距離為（? ?）km。

A.450? ? ? B.480? ? ? C.520? ? ? D.540? ? ? E.600

解析：對前一半路程和后一半路程依次利用“路程一定，速度和時間成反比例關系”進行綜合分析即可求出全程計劃的速度及時間，進而求得A、B兩地的距離。具體而言，設按照計劃全程的路程、速度及時間分別為s、v及t。顯然，對前一半路程，45min為計劃時間的1/4（45min為1/8t），t=6h;對后一半路程，用時為計劃時間的3/4（即3/8t）（因為對全程而言，計劃和實際用時相同），速度為計劃速度的4/3，為120km/h，則v=90km/h;因此總路程為540km。本題求解主要利用了“路程一定，速度和時間成反比例關系”及前、后一半路程之間的時間聯系（解題突破口）進行求解。本題的求解也體現了行程問題求解中要辯證看待“變與不變”，有時 “變與不變”（如變中的不變量）恰是解題線索。

例8（假設速度改變的行程問題）A、B兩地相距200千米。某日，甲、乙兩人同時從A、B兩地出發(fā)，勻速相向而行，在C處相遇。若甲速度提高12千米/時，則兩人在距C處25千米的地方相遇。若乙速度提高12千米/時，則兩人在距C處15千米的地方相遇。那么甲的速度為多少？

解析：設甲、乙的速度分別為v甲、v乙，未提速時的相遇時間為t。甲、乙在對方提速情況下（到相遇）所走路程較未提速情況下少走的路程分別為s1和s2，則s1+s2=25+15=40，且s1：s2=15：25=3：5。都未提速時甲、乙所走的路程之比（同時也是速度比）也為3：5。所以，提速后的相遇時間t=40/12=3（1/3）h，v甲=（200-40）÷（10/3）×（3/8）=18km/h。本題的突破口在于，通過行程圖得出提速后在相遇時間內以12千米/時的速度可行駛40km。

比例思想在行程問題的求解中有著十分重要的地位。通過以上對計劃有變類行程問題的求解可以看出，靈活運用公式及比例思想求解是一種重要的行程問題解題方法。學好小學行程問題可有效為高中物理學科素養(yǎng)的培養(yǎng)打好基礎。教師在教學中要多示范運用比例思想求解行程問題，循序漸進地提升學生解題能力，讓學生掌握這一重要的解題思想、方法和技巧。

[參考文獻]

[1]嚴 軍，馬傳漁.舉一反三·奧數1000題全解（6年級）[M]. 南京：江蘇人民出版社，2012.

[2]周建新.一般行程問題[J]. 小學生學習指導，2020（Z5）：42-43，64.

作者簡介：安維寬（1975— ），男，云南賓川人，中小學二級教師，?？?，研究方向：中學物理教學;

解天才（1978— ），男，云南賓川人，中小學一級教師，本科，研究方向：中小學數學教學。

通信作者：熊家昌（1979— ），男，云南賓川人，講師，本科，研究方向：中學物理教學。