順勢而為 順學而教

盛媛媛

《一元二次方程根與系數的關系》在新課標中是列為選學內容的，雖然明確指出不作為考試要求，但是任課老師們都沒有忽略該內容，而是不約而同的進行教學。因為這一內容在數學中有著相當重要的作用。一元二次方程的求根公式和根與系數的關系（即：韋達定理）分別從兩個不同的角度揭示了一元二次方程根與系數的內在聯系，并且掌握好韋達定理能有效深化學生對一元二次方程的理解，提高學生運用一元二次方程分析問題和解決問題的能力，為學生今后的數學學習提供有利的條件[1]。

但是在本節課的教學設計上，筆者參考了很多，發現多數以解方程填表作為引入，讓學生填完表后思考一元二次方程的根與系數的有什么關系，這樣的方式對學生來講是很困難的，學生會很困惑，找不到思考的方向，不知道哪種關系是自己需要關注的;甚至有些設計里在表格中就直接給出了，這樣設計對學生來講這節課的知識更是顯得突兀，學生根本不清楚為什么要研究根與系數的這種關系，從心理上難以接受，很不利于學生對知識的理解和運用。不僅如此，在韋達定理的證明上一般都是基于求根公式的，這種證明并不是一種好的證明，這一點在《義務教育數學課程標準解讀》（2011年版）中已經明確指出了：“這種基于求根公式的證明不是一個好的證明?！辫b于課堂教學要講究自然而然，講究知識點之間的銜接流暢，在學生已有的學習經驗的基礎上，按照學生的認知規律教學，能激發和調動他們的學習興趣和積極性，能引發他們的數學思考，使之掌握有效的數學學習方法[2]。筆者基于理解數學、理解學生、理解教學的認識，順應學生的認知發展進程，順勢而為、順學而教為宗旨，以突出重點、突破難點為目的，重新構思了本內容的教學設計。

問題1：解方程：（1）（2）（3） .

追問1：對比（1）、（2）、（3）三個方程的根，你有什么發現？

追問2：一元二次方程的根由什么決定？根與系數的關系是什么？

設計意圖：通過解三個具體的一元二次方程幫助學生復習回顧一元二次方程的解法，通過追問1，引導學生發現一次項系數符號變了，根也隨之而發生了變化，而且兩根僅僅是符號發生了變化;常數項變了，根也隨之發生了變化。讓學生體會到數學中的“變與不變”的思想，也讓學生體會到方程的根和一次項系數和常數項有關系.通過追問2，引起學生的回憶，一元二次方程的求根公式反映的就是根與系數的一種關系，并幫助學生復習了這種關系.

問題2 ?解方程：

追問1：你能不能再寫出一個根為1、-4的一元二次方程？這樣的方程有幾個？應該怎么表示？

追問2：你能不能寫出所有根為的一元二次方程？

設計意圖：學生通過解方程，發現它的根與問題1中的方程（3）的根完全相同，引發學生思考和它們同根的方程有多少個？該怎樣表示？經過思考學生會聯想到一元二次方程解法之一——因式分解法.通過因式分解法的啟發學生能自己寫出同根方程的一般形式：。問題2也進一步讓學生體會一元二次方程中的第二個“變與不變”——根發生變化，一元二次方程的各項系數也隨之而發生變化.通過追問2，把問題一般化，采用從特殊到一般的研究方法，易于學生理解，也為學生提供了一種研究問題的思想方法。

問題3 ?把方程化成一般形式，對比一元二次方程方程的一般形式你有什么發現？（知道方程的兩根，是怎樣把一元二次方程的各項系數確定下來的？）

追問1：如何證明你的發現？你有哪些方法？（學生分組討論）

追問2：根據方程根的意義，得到和，能否進一步得到根與系數之間的關系？

追問3：能否用文字敘述兩個根、的和、積與一元二次方程系數之間的關系？

設計意圖：通過問題3，讓學生思考一元二次方程的兩根是如何反過來確定各項系數的，從而讓學生發現根與系數的關系之二：這里對于一元二次方程根與系數的這種關系并不是像以往那樣讓學生提出猜想，那樣是很困難的，而且在內容的理解上也很牽強，學生不知道為什么只研究和與積而不研究其它的關系。在這里是讓學生通過合情推理，利用多項式的相等的知識，發現了一元二次方程的各項系數可以由兩根確定，進而順其自然的發現根與系數的這種內在聯系。這種發現過程也為后續韋達定理的證明提供了一種思路.通過追問1，在教師的指導下學生易得到如下的證明：設一元二次方程有兩個根，則該方程就一定可以寫成如下形式：.因此，將上式左、右兩邊變形得[3] ，再由“多項式相等”的概念容易得到韋達定理。這種證明方法便于學生從本質層面去理解一元二次方程根與系數的關系，而且為學生今后探討一元高次方程的根與系數的關系提供了一種可行的科學研究思路，真正挖掘了這種證明方法背后所蘊含的豐富的科學方法，與“理解數學”的要求相呼應[2]。通過追問1、追問2引導學生利用不同方法推理根與系數的關系，發展學生代數推理的能力，培養思維的靈活性與多樣性。通過追問3，讓學生嘗試用語言敘述一元二次方程根與系數的關系，培養學生的語言表達能力，加深學生對韋達定理的理解。

例1 求下列方程兩根的和與積：

設計意圖：不解方程，求兩根的和與積，讓學生深刻體會到韋達定理的簡便性，讓學生學有所用，學有所思.在應用一元二次方程根與系數的關系時要特別注意方程有實數根的條件，即，再直接利用結論解決問題。

例2 若方程的一根為1，求它的另一個根和m的值.

設計意圖：韋達定理的應用比較靈活，學生在解這道題時可能有不同方法，通過不同方法的對比討論，讓學生在解題中進一步體會韋達定理的靈活之處，加深對理解根與系數內在聯系的理解[4]。

小結

一元二次方程的根與系數的關系是什么？應用一元二次方程根與系數的關系時要注意什么問題？

設計意圖：通過思考讓學生回顧本節課的內容，把握本節課的核心，體會數學活動過程的探索性，發展學生的歸納和概況能力。

學生是學習的主體，教師的教學應該從學生的已有知識經驗出發，基于學生最近發展區，給予學生探究韋達定理合適的梯子，讓學生經歷深層次的思考，真正理解韋達定理的生成過程.蘇霍姆林斯基曾說過，在人的心靈深處，都有一種根深蒂固額需要，這就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者，而這種需要在學生的精神世界中尤為重要.這就要求教師在課堂教學中尊重學生是學習的主人，在各個環節上力求知識問題化，問題情景化，調動起學生的學習熱情，激發起學生學習的內驅力，讓學生在自我探索中發現真理，提高學生精神世界的自我滿足感.好的課堂應該是春風化雨、潤物細無聲的，教師通過設置好的問題引導，引領學生一步一步的向目標靠近，讓學生通過自主、合作探究獲得知識，獲得優秀的思維習慣和能力。

“授人以魚不如授人以漁”，我們今天的教育并不是要教給學生多少知識，而是要培養學生獨立解決問題的能力.這就要求教師的教育教學要遵循自然規律，遵循學生的認知特點和發展規律，不能刻意而為，要順勢而為、順學而教，回歸教育本質。

參考文獻：

[1]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數學課程標準解讀（2011版）【M】.北京師范大學出版社，2012：167.

[2]鄒楚林 甘哲.基于三個理解 創新教學設計【J】.中學數學教學參考，2016（6）：63-65.

[3]嚴士健.義務教育教科書數學九年級上冊【M】.長沙：湖南教育出版社，2014：46-47.

[4]南京市教研成果叢書編委會.課程標準的教學解析和實施建議【M】.江蘇鳳凰教育出版社，2017：16.