立足深度教學 提高教學效果

謝繼林

摘 要：學生學習的主陣地在課堂，新時代課程改革下，教師要有新的課堂教學模式。本文以螺旋式上升式問題鏈的設計，以數學思想主導知識傳授，以數學方法為靈魂構建的三大策略來進行深度課堂教學，提升學生研究數學的能力，培養學生的數學素養。

關鍵詞：深度教學;高中數學課堂

高中數學課堂教學常因知識容量大，教學進度快，導致教學上在數學的概念、定義、法則上花費較少時間，由此導致兩種后果，一是學生學習的知識呈碎片化，沒有對教材知識的內容進行深層次的整合，系統掌握數學知識體系;二是學生學習上較為被動，滿足于做題解題，沒有建立起相關知識間橫縱聯系，缺乏探究能力，不會靈活運用知識。要在新的課程改革下做學生學習的領路人，教師需要進行有深度的課堂教學，不僅在傳授知識上進行高效率的深度教學，更要教會學生用數學的思維分析世界。教師需以教材為綱，以數學思想方法為靈魂，通過對知識的有效加工，對高中涉及的數學思想方法進行有意滲透。教師構建有深度的課堂教學，才能傳授學生以更高層次的眼界觀察數學，以更寬廣的思維處理數學問題，真正調動學生學習的積極性，使學生扎扎實實掌握數學學科知識，舉一反三地運用數學知識解決問題。

一、以問題構建深度教學，培養學生思考的角度

教師如果在教學上只讓學生讀課本，做簡單的概念分析，就不能引起學生對所學知識進行深度思考，更不能使學生感悟知識發生過程產生的魅力，學生也不會利用知識，丟失學生自主學習與探究的能力?？鬃佑性疲骸皩W而不思則罔，思而不學則殆?！焙玫膯栴}，能開啟學生研究數學的大門。有深度的數學課堂，教師要以有針對性、合理的、有梯度的問題設計，引領學生探究知識，激發學生求知欲，讓學生更好地感悟知識發生過程的魅力，使學生探究步步為營，層層推進，掌握運用數學知識的正確途徑。筆者在講授“基本不等式”時，設計如下教學：

問題1：如何利用重要不等式：得到基本不等式;

問題2：觀察與比較重要不等式與基本不等式，二者對自變量a，b的范圍有何要求？

問題3：如何類比重要不等式證明來證明基本不等式？

學情是教學的基礎，學生已經掌握了重要不等式，教師可通過問題1和問題2的啟發與引導，讓學生掌握類比法：把代入得到基本不等式，并思考二者的相同與不同點;進而通過問題3讓學生掌握作差證明，再次建立起兩個不等式的聯系，使學生對基本不等式的理解進一步加深。

問題4：基本不等式能否等價轉化為命題或？

問題5：運用基本不等式如何求解：已知x>0時，求的最小值？

問題6：如果根據，得出x=1時，等號成立是為了說明什么？

問題7：如果2是的一個取值，那么2會是的最小值嗎？如果不是，那么還是求出最小值嗎？

問題8：能利用基本不等式求出的最小值嗎？如果不能，你能總結利用基本不等式求解函數最值的方法嗎？

問題4至問題8是讓學生真正了解和認識基本不等式，引領學生掌握基本不等式內涵，幫助學生以不同角度完善對基本不等式的理解。螺旋式上升式的問題鏈，是有深度的課堂教學的保障，有助于教師在課堂教學上幫助學生理清數學知識的重難點，讓學生看到知識的發生、發展以及問題解決背后蘊含的價值;有助于啟發學生產生問題意識;有助于學生掌握利用新舊知識的內在聯系來分析解決問題;有助于學生掌握從不同角度看待和思考數學問題;有助于學生形成自己的學習習慣。

二、以數學思想方法為核心構建深度教學，提升學生思考的深度

數學的思想是數學的靈魂，其包含了讓學生領悟并掌握數學基礎知識、基本技能，學會用數學的眼光看待世界，學會用數學的方法解釋世界。深度的數學課堂教學，不僅需要讓學生抽離現象的本質，比如：看到對稱，不僅會想到生活中常見的對稱問題，更需要學會在數學中是如何定義對稱的，并將之牢牢記住其本質特征。數學思想是學好數學的關鍵，但數學思想距離成為學生得心應手的工具，可能比預想的要差太遠，這其中的關鍵原因是數學思想是對數學知識內容在更高層面上的理解，是知識體系中蘊含的寶藏，是需要挖掘的，是需要逐步推進的。因而，教師在數學思想方法的教學上，不能混為一談，不能一味強調應用，需要心中對數學思想有較為深刻而獨到的理解，進而將每種數學思想劃分為幾個層次，通過不斷地滲透將之細化，達到一葉成林的效果。筆者為在橢圓定義中滲透數形結合思想，設計如下教學：

例1：如果平面內點到定點的距離為定值的點形成的軌跡是圓，那么平面內點P到兩個定點F1，F2的距離之和為定值2a（a>0）的點會有軌跡嗎？

教師利用幾何畫板后，再讓學生討論歸納出橢圓定義，并進一步探究如下例題：

例2：已知P（x，y）的x，y滿足當a分別取時，能求出動點P（x，y）的軌跡嗎？

例3：已知動圓P與圓相內切，與圓相外切，動點P（x，y）的軌跡是橢圓嗎？

例4：已知點C2（-1，0）和圓，點M為圓C1的動點，線段MC2垂直平分線與MC1相交于點P，動點P（x，y）的軌跡是橢圓嗎？

例5：如果點平面內點P到兩個定點F1，F2的距離之積為定值，則動點P的軌跡會是橢圓嗎？如果不是，你覺得動點P與兩個定點F1、F2斜率乘積為定值，動點P的軌跡是橢圓嗎？

回顧例2至例5，教師可使學生在不涉及橢圓方程的前提下，以數形結合思想為橋梁，讓學生深刻理解橢圓的軌跡形成的各種途徑，把抽象的橢圓定義具體化，把無形的橢圓定義形象化，讓學生層層推進，步步為營掌握橢圓軌跡。高中的數學思想還有分類與整合，函數與方程等思想，不僅形式多樣，內容豐富，而且運用廣泛，靈活多變。教師不僅平時教學時要重視數學思想的滲透，更需要采用有效的教學形式如采用幾何畫板把思想直觀化等，讓枯燥的數學思想具現出來，讓學生切實領悟數學思想，真正實現有深度的課堂教學。

三、以方法為靈魂構建深度教學，提升學生思維的深度

美國著名數學教育學家波利亞說過：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域。”高中的數學方法，狹義上是具體的方法如待定系數法等，廣義上則是掌握處理問題的系統思路如圓錐曲線中的定點定值的求解方法等。有深度的課堂教學，教師需在滲透數學方法過程中讓學生掌握數學方法的背景來源，需教會學生運用數學方法解決問題的思路，掌握處理復雜數學情境下運用數學方法解題的能力，進而提升學生的思維深度。筆者課堂上讓學生探究圓與定點定值時，設計如下教學：

例1：已知點P與定點A（-3，0），B（3，0），滿足求點P的軌跡方程？

例2：已知點P與定點A（-3，0），B（3，0），滿足求點P的軌跡方程？

例3：已知點P（x，y），A（-c，0），B（c，0），若求點P的軌跡方程？

通過例1和例2，讓學生探究得到：當λ=1時，點P的軌跡為線段AB垂直平分線;當λ≠1時，點P的軌跡為圓.通過鋪墊后，讓學生探究更一般的例3，挖掘出點P的軌跡方程：，即為定“圓”，也叫阿波羅斯圓。

例4：已知及點A（-2，0），是否在x軸上定點O2，滿足：對于圓O1上的任意點P，都有成立，存在，求出點O2坐標，不存在，說明理由？

例5：已知及點A（-2，0），B（-6，-4）：點P在圓O1上求|PB|+2|PA|的最小值？

本節課堂教學以阿波羅斯圓為核心，以的比值展開探究，不僅滲透了研究定點定值的方法，而且通過例4和例5的變式探究，開拓了學生的數學思維。有深度的課堂教學，教師需讓學生領略數學方法中蘊含的核心，需讓學生體會多變的數學方法的本質。需用以點帶面的策略來讓學生認識數學方法，需用專題的方法來構建學生認識數學方法，需用系統性來提升學生處理知識的能力，培養學生適應現代生活應具有的數學素養。

四、以變式為紐帶構建深度教學，提升學生思維視角

教師教授學生知識，容易產生碎片化特點，不容易形成系統性的方法，掌握不了那些具有深刻思維的知識點。教師需要在教學中以變式為驅動，引導學生探索某類問題的真諦，并借此引申至不同的方法，讓學的知識更加深刻且富有創造性。筆者在深度教學中堅持從精心選題開始變式，做到層次豐富，既有區別又有聯系，串聯起一系列數學方法，讓學生真正體會數學的美。筆者認為深度教學中，應根據題目本身所具有的難度，設置不同層次的變式，引發學生思考。例如：在函數極值點和函數值之間經常具有相關性，給數學知識披上迷人外衣的同時，讓學生常常無法找到思路，變式的分層有助于學生逐步認知，提高分析能力。筆者復習課時，喜歡運用開放式試題進行復習，學生在學完知識之后，如以一個一個知識進行零散復習，不僅不利于學生養成學習數學的方法，更難培養學生自身獨立創新的、整合知識的能力。筆者在高三復習導數極值和最值的公開課時，設置了開放的探究題：

例題：已知函數，你能根據函數的性質從易到難提出2～3個問題并證明嗎？在課上，學生對于這類問題不適應，但根據學生做題經驗，提出以下變式：

變式1：當a=1時，求函數f（x）的單調區間、極值、最值

變式2：如求函數f（x）的單調區間、極值、最值或求函數f（x）在[1，e]上的單調區間、極值、最值

變式3：存在滿足，求證

變式4：若a>e時，且存在滿足，求證：

深度課堂教學下的變式，教師需要學生能通過對函數的的認識并結合實踐，對所學問題能進一步深入探究，總結彼此之間存在的關聯。只有真正貫徹實施變式教學，才能讓學生在深度課堂教學中，將學習的知識綜合運用，舉一反三，觸類旁通，把思維推向更高的層次。

有深度的課堂教學，教師需要在平時的教學中潛移默化地滲透，需要教師具有深厚的知識寬度和深度，需在提高課堂知識深度和難度上把握好，要讓學生得法于課堂，受益于課外;有深度的課堂教學，有助于學生欣賞數學蘊含的美，有助于學生領會知識蘊含的數學思維，有助于學生在紛繁復雜中找到解決問題的途徑，帶領學生走進廣闊的數學天地，將數學的育人價值發揮最大作用。