基于分數階多新息卡爾曼濾波法的SOC估計

宋 昊，尹麗菊，咸日常，徐明博，潘金鳳

(山東理工大學電氣與電子工程學院，山東淄博 255000)

鋰離子電池具有循環壽命長、比能量比功率高、安全性好等優點，在電動汽車和混合動力汽車上得到了廣泛應用[1]。但與傳統的汽油車比，電動汽車的續航能力仍不能滿足需求，所以需要電池管理系統進行能量優化，其中電池荷電狀態(SOC)估計是電池管理系統的核心功能，精確的SOC估計決定了電動汽車的續駛里程[2]。

進行SOC估計的前提是對鋰電池建模并獲取鋰電池的相關參數，常見的電池模型有等效電路模型、電化學反應機理模型及多物理場模型等[3]。電化學反應機理模型雖然精確但涉及的數學方程過多，計算太復雜，制約了其在電池管理系統中的應用。等效電路模型簡單且實用價值高，常用在電池管理系統中。文獻[4]建立了鋰電池整數階二階RC 等效電路模型，并且用擴展卡爾曼濾波算法估計電池SOC，但實際上電容是分數階的，采用分數階更能模擬電池的極化效應。文獻[5]建立了基于二階RC 電路的分數階鋰電池模型，采用混合動力脈沖實驗進行參數辨識，最后用分數階卡爾曼濾波法進行電池SOC估計。文獻[6]建立了分數階鋰電池模型，用擴展分數階卡爾曼濾波(EFKF)方法進行電池SOC估計。但這兩種方法估計出的模型精度不高，進而導致估計的荷電狀態精確度不高。

本文建立了基于分數階的二階RC 等效電路模型，兼顧了電化學模型的精確度和等效電路模型的計算量，并采用自適應遺傳算法(AGA)對模型進行參數辨識。另一方面，考慮到卡爾曼濾波估計會隨時間推移造成誤差積累，所以采用分數階多新息卡爾曼濾波(FOMIEKF)進行SOC估計。通過與整數階的擴展卡爾曼濾波估計和分數階的擴展卡爾曼濾波對比，表明FOMIEKF 具有更高的精度，有很高的實用價值。

1 基于分數階的二階RC 等效電路模型建立

1.1 電池模型建立

由于動力電池從時域到頻域均具有分數階的本質，分數階微積分在頻域中建立的系統模型更加精確，所以可利用分數階理論建立精確的電池模型[7]。本文考慮到模型既要模擬出電池電化學極化效應和濃差極化效應，還要計算簡便易于應用在嵌入式系統中，在二階RC 等效電路(圖1)的基礎上建立了分數階鋰電池模型。其中，UOC表示理想電壓源，與SOC存在非線性關系，R0表示歐姆內阻，UT表示電池的端電壓，R1和C1分別是電化學極化電阻和電容，R2和C2分別是濃差極化電阻和電容，U1、U2是兩個RC 模塊的電壓，I表示電流，放電電流方向為正，充電電流為負。

圖1 二階RC 等效電路模型

式中：ρ 和t是積分的上下限；TS表示運算步長，本文中TS取0.1 s；R表示階次，當R為小數時表示分數階運算；i表示運算次數，i=0,1,2,…。

圖1 中兩個電容可表示為：

式中：m、n表示電容分數階階次，為小數。

根據戴維寧定理，可得出電流公式：

則分數階模型狀態空間方程為：

為了接下來對模型參數進行辨識和對荷電狀態進行估算，必須將式(4)所示的狀態空間方程離散化。根據Grünwald-Letnikov 定義，鋰電池分數階微分方程可描述為：

根據Grünwald-Letnikov 定義的基于二階RC 等效電路的分數階模型的狀態空間離散系統方程和測量方程為：式中：下標k表示k時刻，用來描述當前時刻的變量，下標k+1表示k+1 時刻，用來描述下一時刻的變量；ωk表示系統噪聲，υk表示觀測噪聲，兩種噪聲通常都是高斯白噪聲；OCV[x(3),k]表示電池開路電壓。

3.1.2 以文化變革帶動內部控制創新。真正優秀的單位不是一成不變的，其內部的文化與制度都是為適應單位的發展不斷變革的，同時，文化的改變可以促進內部控制的創新。以文化為基調進行內部控制的創新，這樣得到的內部控制是合理的，是符合單位人員心理需求的，是不與單位控制活動相矛盾的。

1.2 自適應遺傳算法參數辨識

模型框架已搭建好，但是電池的分數階階次等參數尚未確定，因此還需要對電池進行參數辨識。本文采用的電池放電數據是由10 節INR18650-30Q 電池并聯后通過混合動力脈沖特性測試得到的。傳統最小二乘法(LS 算法)參數辨識為了獲取令人滿意的結果，需要進行復雜的矩陣乘法，具有巨大的計算量，占用微處理器大量內存[8]；而且用于電池分數階模型參數辨識時不能直接擬合出階次，需要先擬合出開路電壓和SOC的關系表達式，然后通過經驗試湊的方法得到階次[9]。因此，采用自適應遺傳算法辨識參數，具體步驟有六步，如圖2 所示。

圖2 自適應遺傳算法參數辨識

步驟一：確定初始種群個數、交叉率、變異率，將所求參數(R1、R2、C1、C2、m、n)定義到個體基因中，隨機生成初始種群基因并將其編譯為二進制碼。

步驟二：根據雜交概率隨機挑選出父代個體和母代個體，用基因片段(部分二進制編碼)交換的方法模擬種群雜交，交換后產生的新個體為子代。

步驟三：根據變異概率把部分新個體的部分基因編碼取反，來模擬種群繁衍過程中后代的變異，該步驟的目的是防止結果落入局部最優解的范圍。

步驟四：將雜交變異后子代的二進制基因片段解碼，得到子代的數值，即模型參數辨識的結果。

步驟五：將新一代產生的參數結果代入模型中，根據實驗所得電流數據求出端電壓值，找出端電壓誤差的最大值，求出端電壓誤差平方和作為選擇后代的基準，找到群體里中電壓誤差最小值及其對應位置，即最優個體。

步驟六：判斷最優個體是否符合設定值或者判斷繁衍次數是否超出設定代數。若符合設定條件，則結束繁衍，最優個體的參數值即為參數辨識的最終結果；若不符合，將步驟四產生的新一代進行末位淘汰，即越遠離所設定條件的個體被淘汰掉的概率越高，剩下的優質個體生成新的種群，循環進行步驟二～步驟六的操作，直到出現滿足條件的個體或超出設定的繁衍代數。

在自適應遺傳算法中，考慮到優勝劣汰的生存法則，每一代種群中優質個體與末位個體的交叉概率和變異概率是不同的，優質個體應該有更低的交叉、變異概率以確保盡可能地被保留下來，而末位個體應該有更高的交叉、變異概率來產生新一代個體以確保能讓自己的基因保留下來。根據以上分析，交叉概率CrossOverRat(i)和變異概率MutationRat(i)可以表示為：

式中：J(i)反映了個體適應度；Jmax表示在種群內測量得到的輸出與模型預測的輸出之間差值平方和的最大值；Jave表示在種群內測量得到的輸出與模型預測的輸出之間差值平方和的平均值；K1、K2分別表示初始交叉概率和初始變異概率。對于適應度大的個體，其交叉概率和變異概率更接近于0。

2 分數階多新息卡爾曼濾波SOC 估計

多新息方法是對迭代算法過程中產生的誤差信息加以預測，使后驗校正更加準確的一種方法。只有一個新息用來預測誤差時，會導致后驗測量校正信息的丟失，所以采用多個新息與卡爾曼濾波法相結合的方法，有利于提高算法的精確度。雖然采用多新息方法會使計算量增加，但考慮到估計精確度的提高更為重要，所以略微提高計算成本是可以接受的。多新息矩陣Ep,k如式(8)所示：

式中：Vk是端電壓測量值；p為新息長度。增益矩陣也應該進行相應的擴展。

根據以上分析并結合式(4)～(6)，分數階多新息擴展卡爾曼濾波法估計SOC公式如下：

在當前狀態矩陣后驗估計中引入之前舊的新息作為校正項時，由于輸出電壓和電流中存在測量誤差，舊數據造成的干擾可能會累加。除此之外，新測量值的影響應大于舊測量值的影響。若舊測量值和新測量值的不利影響均相等，也會導致干擾累加。這種情況下，將不同的權重因子λi引入不同的新息中，可以降低舊數據的校正效果。所以，k時刻狀態矩陣的后驗更新應改為：

通過在不同時間的增益中加入不同的權重因子，可以權衡不同時刻的增益，實現對累積干擾的校正和抑制。不同權重如下所示：

式中：λ1取值為1 是為了保證當前增益的權重最大；a為可調系數。

3 實驗與仿真驗證

在25 ℃室溫環境中對18650-30Q 鋰電池組進行混合動力脈沖測試，該電池單節的標稱容量為3.0 Ah，標稱電壓為3.6 V，采取的放電方法是每次放電180 s，然后靜置3 h，放電電流為30 A。根據最小二乘法辨識出的模型參數為：R0=0.003 7 Ω，R1=0.001 9 Ω，R2=0.003 5 Ω，C1=23 342 F，C2=501 348 F。根據自適應遺傳算法辨識出的模型參數為：R0=0.003 7 Ω，R1=0.002 6 Ω，R2=0.003 2 Ω，C1=12 632 F，C2=610 476 F，m=0.989 5，n=0.983 2。將實驗獲得的電流數據作為模型輸入，得到模型輸出的端電壓，將最小二乘法整數階模型輸出的端電壓、AGA 分數階模型輸出的端電壓與實驗值進行對比，如圖3 所示。與最小二乘法整數階模型端電壓相比，AGA 分數階模型端電壓與實驗值更為接近。

圖3 模型端電壓對比

為了觀察更明顯，將兩種模型的輸出電壓誤差進行了對比，如圖4 所示。最小二乘法整數階模型平均誤差為0.005 1 V，最大誤差為0.055 1 V，最大誤差百分比超過1%；而AGA分數階模型平均誤差為0.004 6 V，最大誤差為0.033 5 V，最大誤差百分比低于1%。AGA 分數階模型的平均誤差比最小二乘法整數階減少了0.000 5 V，最大誤差減少了0.021 6 V。由此得出，AGA 分數階模型比最小二乘法整數階模型更能反映電池的真實情況。

圖4 模型端電壓誤差對比

本文的最終目的是估計電池SOC，在驗證模型參數的準確性后，還需驗證AGA 模型參數下SOC估計方法的精確度。首先對電池組以0.5C恒流充電至上限電壓4.2 V，然后進行恒壓充電至充電倍率減小到0.05C，視為電池電量充滿，電池SOC=1。仍以18650-30Q 鋰電池組為實驗對象進行混合動力脈沖測試獲得放電數據，在相同的初始條件下通過Matlab 分別使用卡爾曼濾波(EKF)、分數階擴展卡爾曼濾波(FOEKF)和FOMIEKF 對該放電工況下的鋰電池組進行SOC估計，然后與SOC參考值進行對比，結果如圖5 所示。該模型參數下,三種濾波算法均可以做到有效跟蹤SOC參考值，但FOMIEKF算法跟蹤效果最佳。

圖5 三種算法估計值與SOC參考值的對比

圖6 為該模型參數下三種算法SOC估計的誤差，EKF 算法估計SOC的平均誤差和最大誤差分別為1.58%、2.86%，FOEKF 算法估計SOC的平均誤差和最大誤差分別為0.95%、2.01%，FOMIEKF 算法估計SOC的平均誤差和最大誤差分別為0.79%、1.91%。因此，本文建立的FOMIEKF 算法更能準確地估計鋰電池SOC。

圖6 三種算法SOC估計的誤差

4 結語

本文根據鋰電池的工作特性，在二階RC 等效模型電路的基礎上建立了AGA 分數階鋰電池模型，并根據此模型提出FOMIEKF 估計電池SOC的方法，通過混合動力脈沖測試和Matlab 仿真等，得出以下結論：(1)AGA 分數階模型比最小二乘法整數階模型更能反映電池的工作特性，其平均誤差減小了0.000 5 V，最大誤差減小了0.021 6 V；(2)在AGA 分數階模型的基礎上，通過FOMIEKF 算法對電池SOC進行估計，并與EKF、FOEKF 算法進行比較，得出FOMIEKF 算法估計SOC精確度更高，其平均誤差不超過1%，最大誤差不超過2%。因此，本文提出的鋰電池模型和SOC估計方法是可行的。