淺談“量變與質(zhì)變”

范志國

(遼寧省盤錦市盤山縣教師進(jìn)修學(xué)校 遼寧 盤錦 124107)

數(shù)學(xué)史上最早使用“量變引起質(zhì)變”方法解決數(shù)學(xué)問題的當(dāng)屬我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽，他在注《九章算術(shù)》中采用正多邊形面積逐漸逼近圓面積的方法計(jì)算圓周率，用劉徽自己的原話就是“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。他的思想后來又得到祖沖之的推進(jìn)和發(fā)展，計(jì)算圓周率的近似值在世界上很長時間里處于領(lǐng)先地位。

劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始，讓邊數(shù)逐次加倍，逐個算出這些圓內(nèi)接正多邊形的面積，從而得到一系列逐漸遞增的數(shù)值，來一步一步地逼近圓面積，最后求出圓周率的近似值。用規(guī)則圖形面積替代非規(guī)則圖形面積，使不可能變?yōu)榭赡埽?dāng)量變的積累充分時就能實(shí)現(xiàn)，這就是“量變引起質(zhì)變”，它是數(shù)學(xué)史上思想和方法的一次偉大飛躍。以后微積分的誕生，即把曲邊形的面積微分成矩形面積之和也是運(yùn)用了“量變引起質(zhì)變”思想和方法。還有極限、導(dǎo)函數(shù)、雙曲線的漸近線等都是“量變引起質(zhì)變”思想方法的體現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中教師一定要注重培養(yǎng)學(xué)生以“量變引起質(zhì)變”的觀點(diǎn)來看問題和解決問題，來提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)。例如小學(xué)數(shù)學(xué)圓面積的推導(dǎo)是把圓分割成兩個半圓，再把這兩個半圓分割成數(shù)目相同的扇形，扇形數(shù)目越多越好也就是分割得越細(xì)越好，分割得越細(xì)，扇形的圓弧越接近直線，再把兩組扇形對插在一起，這樣就把圓割補(bǔ)成了一個近似的矩形，分割得越細(xì)就越接近矩形，分割得越細(xì)圓的半徑就越接近矩形的高，就可以用直線來代替曲線，這時矩形的長就是圓周長的一半而圓的半徑就是矩形的寬，從而得到了圓的面積公式。這就是量變引起質(zhì)變，用量變引起質(zhì)變的方法就能把曲線圍成圖形的面積變?yōu)橐?guī)則圖形面積，面積就可求了。教學(xué)過程中教師務(wù)必把圓割補(bǔ)成矩形展示給學(xué)生，或者師生共同操作完成。因?yàn)樗鄬A面積公式來說更重要，圓面積公式只是一個知識點(diǎn)，而它是一種方法一種思想，有了思想方法就能解決新的更復(fù)雜的問題。再例如直線與圓的位置關(guān)系中切線與割線的關(guān)系就清晰明了了，即割線與圓的兩個交點(diǎn)間距離無限縮小為0時，割線變?yōu)榍芯€了這就是質(zhì)變，所以經(jīng)過圓外一點(diǎn)的直線如果與圓有交點(diǎn)，切點(diǎn)可以看成兩個重合的交點(diǎn)，那么這點(diǎn)到兩個交點(diǎn)的線段長乘積就是一個定值，定值為切線長的平方，而切線長的平方又等于這點(diǎn)到圓心距離的平方減去半徑長的平方。當(dāng)這點(diǎn)移動到圓內(nèi)時，這點(diǎn)到兩個交點(diǎn)的線段長乘積依然是定值，而這定值隨著這點(diǎn)位置的質(zhì)變也質(zhì)變?yōu)榘霃介L的平方減去這點(diǎn)到圓心距離的平方；兩個圓的位置關(guān)系是由這兩個圓的圓心距離決定的，兩個圓的圓心距離發(fā)生了質(zhì)變，兩個圓的位置就發(fā)生了質(zhì)變，當(dāng)兩個圓的圓心距離在大于兩個半徑之差到小于兩個半徑之和的范圍內(nèi)時，兩個圓相交，當(dāng)兩個圓的圓心距離大到兩個半徑之和時，兩個圓外切，再大就外離，當(dāng)兩個圓的圓心距離小到兩個半徑之差時，兩個圓就內(nèi)切，再小就內(nèi)含；瞬時速度、加速度這些抽象的概念也就好理解了。如此等等。

量變積累引起的變化能預(yù)示結(jié)果的趨勢和走向。比如有些數(shù)列，通過對前幾項(xiàng)數(shù)值與項(xiàng)數(shù)關(guān)系的觀察就能得到它的通項(xiàng)公式。如果是良性的質(zhì)變，我們就應(yīng)促進(jìn)其質(zhì)變，比如數(shù)學(xué)教學(xué)中公式、法則的運(yùn)用就是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格按照規(guī)章制度做事，走入社會就要遵紀(jì)守法。我時常對那些隨心所欲做題的學(xué)生說：“你現(xiàn)在不按公式、法則做題，我給你畫X，你將來走入社會不按法律做事，等到公安局的給你畫X，你的命就休矣了”：如果是惡性的質(zhì)變，我們就要防止、阻止其質(zhì)變，就是防微杜漸，“勿以善小而不為，勿以惡小而為之。”就是防止量變引起質(zhì)變，以免“積重難返”。偉大的中國共產(chǎn)黨的締造者和領(lǐng)導(dǎo)者——偉大領(lǐng)袖毛主席就十分重視共產(chǎn)黨的廉潔成長，時刻防止腐敗的滋生，防止越演越烈，以免腐敗量變的積累導(dǎo)致亡黨亡國，避免歷史的周期律重演。在偉大領(lǐng)袖毛主席的領(lǐng)導(dǎo)下中國共產(chǎn)黨歷史上堅(jiān)決鏟除了各種腐敗的滋生，將腐敗消滅在萌芽之中，先后處決了謝步升、黃克功、劉青山、張子善等各類腐敗分子，保持了中國共產(chǎn)黨長期的廉潔性，使中國共產(chǎn)黨成為最廉潔，最有號召力，最有戰(zhàn)斗力的偉大的光榮的正確的黨。

偉大領(lǐng)袖毛主席所著的光輝名篇《論持久戰(zhàn)》中深刻地分析了中、日兩國的各種因素得出了偉大的真理就是日本必?cái)。袊貏佟Ｈ〉脛倮膽?zhàn)略方針就是全民族全面建立統(tǒng)一戰(zhàn)線對日抗戰(zhàn)，積各種小勝于大勝，逐漸改變中、日力量的強(qiáng)弱關(guān)系，促進(jìn)中、日力量強(qiáng)弱關(guān)系的質(zhì)變。既批駁了那些看不到量變能引起質(zhì)變的悲觀失望的亡國論者，又批駁了那些不注重量變積累的速勝論者。以后幾年的抗戰(zhàn)實(shí)踐充分證明了《論持久戰(zhàn)》是偉大的，完全正確的。這就是“量變引起質(zhì)變”應(yīng)用在軍事上的光輝典范。在數(shù)學(xué)知識體系的探究、發(fā)展、形成過程中誕生了許多數(shù)學(xué)思想和方法,這些思想方法概括總結(jié)為哲學(xué)觀點(diǎn)用來指導(dǎo)各學(xué)科及生產(chǎn)實(shí)踐，“量變引起質(zhì)變”就是其中一個重要的哲學(xué)觀點(diǎn)。