巧用轉(zhuǎn)化思想 解答數(shù)學(xué)難題

張錦尾

（福建省仙游第一中學(xué)，福建仙游 351200）

引 言

眾所周知，初中數(shù)學(xué)題型復(fù)雜多變，對學(xué)生分析及解題能力要求較高。部分習(xí)題采用常規(guī)方法進(jìn)行解答，不僅計(jì)算煩瑣，還容易出錯，而應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想可取得事半功倍的解題效果。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)注重為學(xué)生講解轉(zhuǎn)化思想的相關(guān)理論知識，提高學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用意識，從而指引學(xué)生更好地解答數(shù)學(xué)難題。

一、分式與整式的轉(zhuǎn)化

分式是初中數(shù)學(xué)的重要知識，也是測試的常考點(diǎn)。相關(guān)習(xí)題難度差別較大，部分習(xí)題需要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將分式轉(zhuǎn)化為整式進(jìn)行求解。為使學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化技巧，提高解題正確率，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)做好分式基礎(chǔ)知識的講解，使學(xué)生正確把握分式的特點(diǎn)，明確分式與整式之間的區(qū)別與聯(lián)系，同時(shí)有針對性地引導(dǎo)學(xué)生將分式轉(zhuǎn)化為整式，為學(xué)生在解題中靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想奠定基礎(chǔ)[1]。另外，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，選擇具有一定難度的例題在課堂上為學(xué)生講解解題過程，使學(xué)生感受轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用，給學(xué)生帶來解題啟發(fā)，便于學(xué)生把握分式與整式轉(zhuǎn)化的細(xì)節(jié)。

該例題給出的已知條件較少，解題難度較大。課上，教師可先給學(xué)生留下一定的思考時(shí)間，要求其思考解題思路，然后為其講解解題步驟，并要求學(xué)生認(rèn)真觀察已知條件。解題步驟如下：等式的兩邊分別乘以x2-4，根據(jù)平方差公式可將已知條件轉(zhuǎn)化為4x=(a+b)x-2a+2b。結(jié)合等式左右兩邊特點(diǎn)不難得出：a+b=4， -2a+2b=0，兩式聯(lián)立可求出a=2，b=2，代入可得a2+b2的值為8。

通過對該例題的學(xué)習(xí)，學(xué)生感受到轉(zhuǎn)化思想在解題中的妙用，認(rèn)識到分式轉(zhuǎn)化為整式應(yīng)注意的細(xì)節(jié)，即靈活應(yīng)用平方差、完全平方式等知識，尋找相關(guān)參數(shù)之間的規(guī)律，建立等式關(guān)系。

二、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識，涉及的知識點(diǎn)較多，包括一次函數(shù)的判斷、表達(dá)式的求解、一次函數(shù)圖像等知識點(diǎn)。其中，一次函數(shù)與一次不等式聯(lián)系較為密切，部分習(xí)題需要借助兩者的轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解。在教學(xué)中，為提高學(xué)生解答相關(guān)習(xí)題的能力，教師應(yīng)注重結(jié)合函數(shù)圖像為學(xué)生深入剖析其中蘊(yùn)含的不等關(guān)系，提高學(xué)生對函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化意識[2]。課上，教師可基于學(xué)生所學(xué)設(shè)計(jì)代表性習(xí)題，要求學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行解答，夯實(shí)其所學(xué)的同時(shí)，鍛煉其應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解答數(shù)學(xué)難題的能力，促使其樹立解答數(shù)學(xué)難題的自信心[3]。

題干中給出的是兩個一次函數(shù)的表達(dá)式，這兩個函數(shù)在第四象限相交。要想求出m的值，學(xué)生需要先將其轉(zhuǎn)化成一元一次方程組，再求出方程組的解。根據(jù)其在第四象限相交的條件，將其轉(zhuǎn)化為不等式，最終得出整數(shù)m的值。將兩個函數(shù)聯(lián)立，其交點(diǎn)坐標(biāo)為（2m+3，m-2）。考慮到第四象限中橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為負(fù)，即2m+3＞0，m-2＜0，可解得m的取值范圍為因此，整數(shù)m的值為-1、0、1。

該題的難點(diǎn)主要有兩個：一是將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程；二是明確第四象限坐標(biāo)特點(diǎn)。該習(xí)題的訓(xùn)練加深了學(xué)生對函數(shù)、方程關(guān)系的理解，增強(qiáng)了其運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解題的意識。

三、高次向低次的轉(zhuǎn)化

初中數(shù)學(xué)部分習(xí)題涉及高次項(xiàng)的參數(shù)，而且無法使用因式分析進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如果找不到解題思路就很難作答，此時(shí)需要靈活運(yùn)用完全平方式、整體代換等將高次轉(zhuǎn)化為低次以實(shí)現(xiàn)求解的目的。在教學(xué)中，為使學(xué)生掌握相關(guān)的轉(zhuǎn)化思路，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)對相關(guān)習(xí)題分門別類，總結(jié)不同題型的轉(zhuǎn)化思路，傳授學(xué)生相關(guān)的轉(zhuǎn)化技巧，使學(xué)生扎實(shí)掌握理論知識，避免其在轉(zhuǎn)化中走彎路[4]。此外，教師應(yīng)圍繞具體例題，在課堂上邊引導(dǎo)學(xué)生回顧理論，邊板書詳細(xì)的解題過程，與學(xué)生一起完成例題解答。

該題目中出現(xiàn)了三次項(xiàng)，直接代入求解計(jì)算較為煩瑣，顯然是不可取的。在實(shí)際教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行解答，即先認(rèn)真思考已知條件，通過移項(xiàng)對等式兩邊進(jìn)行平方，得出a2+2a=6這一等式，然后在等式兩邊分別乘以3a，得到3a3+6a2=18a。觀察要求解的多項(xiàng)式，進(jìn)行配湊，湊出含有3a3+6a2的項(xiàng)，然后分別進(jìn)行整體代入，最后求出3a3+12a2-6a-12的值為24。

該題難度較大，需要運(yùn)用一定的解題技巧。在授課中，為增強(qiáng)學(xué)生的解題自信心，教師應(yīng)注重給予學(xué)生點(diǎn)撥，鼓勵學(xué)生堅(jiān)定信心、積極思考、認(rèn)真書寫解題步驟。

四、立體向平面的轉(zhuǎn)化

勾股定理在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位。部分習(xí)題以空間幾何體為背景，考查學(xué)生對勾股定理的靈活應(yīng)用能力。該種題型對學(xué)生的空間想象能力具有一定要求，在教學(xué)中，為提高學(xué)生解答此類習(xí)題的能力，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形。一方面，在講解勾股定理時(shí)，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活中的空間圖形，思考哪些立體圖形應(yīng)用了勾股定理知識，在增強(qiáng)課堂教學(xué)趣味性的同時(shí)，幫助學(xué)生構(gòu)建立體與平面之間的聯(lián)系，并在學(xué)生的記憶中留下深刻印象。另一方面，教師可運(yùn)用多媒體技術(shù)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)相關(guān)的問題情境，直觀展示立體圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化的過程，使學(xué)生更好地將轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用于解答相關(guān)習(xí)題中[5]。

例題：一個圓柱體的高為4cm、底面半徑為1cm， 從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞一圈絲線到頂部B處做裝飾，這條絲線的最小長度為（π取3）____。

該題目創(chuàng)設(shè)的問題情境以圓柱體為背景。學(xué)生對圓柱體并不陌生，在小學(xué)時(shí)，學(xué)生已較為系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了圓柱體知識。要想正確解答該題，學(xué)生就要具備良好的空間想象能力，能夠準(zhǔn)確把握A、B兩點(diǎn)之間的關(guān)系。課上，教師可先使用多媒體技術(shù)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)不同的纏繞情境，使學(xué)生清晰地看到只有當(dāng)A、B兩點(diǎn)在豎直方向上處在同一條直線上時(shí)其長度最短；然后將圓柱體展開，學(xué)生可清晰地看到直線AB、圓柱底面周長、圓柱的高構(gòu)成直角三角形；最后根據(jù)已知條件可求出圓柱底面周長為6cm，其高為4cm，進(jìn)而使用勾股定理可求出AB的長為

中考數(shù)學(xué)試卷中時(shí)常出現(xiàn)一些幾何習(xí)題，需要學(xué)生將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行求解。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)多組織學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，使其掌握相關(guān)的轉(zhuǎn)化技巧，明確轉(zhuǎn)化前后參數(shù)之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)正確解答。

結(jié) 語

初中數(shù)學(xué)習(xí)題中不乏一些難題，需要學(xué)生具備靈活的頭腦，巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想以順利求解。為提高學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解題的能力，教師應(yīng)將轉(zhuǎn)化思想納入教學(xué)重點(diǎn)，為學(xué)生講解不同的轉(zhuǎn)化類型，并結(jié)合具體習(xí)題，講解轉(zhuǎn)化思想在不同題型中的應(yīng)用，在加深學(xué)生印象的同時(shí)，更好地指引學(xué)生解答數(shù)學(xué)難題。