庫恩理論與西方數學史研究

王幼軍 高 飛

1962年，美國科學哲學家、科學史家托馬斯·庫恩在《科學革命的結構》 （以下簡稱為《結構》）①Thomas S. Kuhn， The Structure of Scientific Revolutions， Chicago： Chicago University Press， 1st edition， 1962；2nd edition，1970. 中譯本：托馬斯·庫恩：《科學革命的結構》，金吾倫、胡新和譯，北京：北京大學出版社2003年版。中提出了一個令人耳目一新的科學哲學理論，其中構建科學哲學的概念框架以及科學革命的思想方法立刻在眾多領域引起了熱烈的反響。對于科學史界而言，其理論的魅力主要緣于兩點：一是庫恩所描繪的與傳統觀點大異其趣的科學革命模式，這個模式意味著科學的發展歷史并不是一個科學事實不斷累積增加的單一過程，而是充斥著因危機而導致的革命階段，也就是新舊范式的轉換，這是一個非連續的過程；二是其理論中所蘊含的強烈的“反輝格史觀”，庫恩在該書引言中明確提出反對貫穿于20世紀科學教育中的以進步為主線的科學觀，他倡導從歷史中認識科學的本質，呼吁摒棄不足以反映科學真實歷史的輝格史觀。①Joan L. Richards， “The History of Mathematics and L’esprithumain： A Critical Reappraisal”， Osiris， Vol. 10，1995，pp. 122—135.庫恩理論及其所蘊含的嶄新觀念為現代科學史研究的豐富性打開了大門，對科學史領域的發展產生了深遠影響。

但值得注意的是，庫恩在《結構》中只是把革命模式的適用性限制在自然科學范圍內，他未將數學納入其革命理論的探討之中，至于該理論對數學發展的適用性或有效性，他似乎持謹慎甚至懷疑的態度。不過，鑒于其對于科學史研究的巨大啟發性，庫恩理論也逐漸引起愈來愈多的數學史家的關注。自20世紀70年代以來，人們對該理論與數學史之關系及一些相關的問題展開了熱烈的討論，這些討論對以后的數學編史產生了一定的影響。那么，庫恩理論究竟對該領域產生了什么作用和影響？這是一個在學界還鮮有人專門研究的問題。有感于此，本文將基于編史學的視角，遵循歷史研究進路，聚焦于對近代西方數學史研究領域的主要文獻和案例的分析評論，探討庫恩理論與西方數學史研究之關系的總體脈絡。本文主要包括三個方面的內容：首先概述18世紀以來西方數學編史傳統的形成，再對發生在20世紀70年代的庫恩理論對數學史適用性的爭論進行辨析，最后探討庫恩理論對現代西方數學史研究轉向和實踐的具體影響。

一、西方數學史研究傳統溯源

數學編史的源頭可以追溯至古希臘，而數學史作為一門專業研究則興起于18世紀初。當時，近代數學本身的快速發展及其應用于其他領域所取得的輝煌成就，使得數學及數學家的聲譽和地位得到空前的提升，這種狀況激發了人們對收集和整理數學史料的重視。由于數學家在研究中可能會有意無意地重復或使用他人的成果，因此，將榮譽歸于應得之人成為數學歷史的首要目標①德國數學史家施奈德（I. Schneider）認為，近代意義上的數學史研究的緣起與18世紀初牛頓和萊布尼茨關于微積分發現的優先權爭論有關，參見Ivo Schneider， “The History of Mathematics： Aims，Results，and Future Prospects”， in S. S. Demidov， et al. （eds.）， Amphora， Basel：Birkh?user， 1992， pp. 619—629。；由此決定了早期數學史研究的主要工作是史料的收集、編撰和整理，尤其注重描述相關數學知識是在何時、何地、由何人做出的以及怎樣做出的，強調記錄編年細節以及刻畫相關主題的概覽。這種編年史風格在18世紀的英國數學家蒙特莫特（Pierre Rémond De Montmort）那里已初露端倪。蒙特莫特本人在其數學生涯中也曾深陷與德莫弗（Abraham De Moivre）關于概率問題優先權的爭論。他在后期完全致力于數學歷史的編撰。他認為，每一門科學、藝術和工藝都應該有自己的歷史，歷史不僅可以將發現的優先權公平地歸屬于發現者，而且也有益于理解人類思想的整體進步歷程；在所有的歷史中，數學史是人類心智進步的最佳代表，因為數學是上帝在其造物中賦予人類優越地位的最好展示。蒙特莫特為自己設定了一個宏偉目標：完成一部古今數學通史。遺憾的是，直到去世他也未能實現這個夢想，他的數學史草稿也遺失殆盡，所幸他的數學史觀在18世紀蒙圖克拉（J. E. Montucla）的著作中有所體現。②Joan L. Richards， “Historical Mathematics in the French Eighteenth Century”，Isis， Vol. 97， 2006， pp. 700—713.

為數學發展過程中的每一細節進行詳細記錄的歷史撰述風格在啟蒙運動時期得以進一步發展。在數學家達朗貝爾（J. R. d’Alembert）、拉格朗日（J. L. Lagrange）等人的推動之下，賦予數學史的崇高使命得以進一步加強——將數學事實的增加與人類的理性精神和社會文明的不斷進步聯系起來。對拉格朗日和達朗貝爾來說，幾何學（數學）是唯一具有嚴格確定性的知識：數學是人類所有知識的典范，它對人具有教化功能，這種作用在數學家身上被鮮明地體現出來。數學家，只有數學家，才能夠實現理性的自主，才能體現人性中善的本質；接受過數學教育的民眾將是開明的民眾，進而“整個國家和民族將會受益于這種精神所迸發的光芒”。所以，偉大的數學家應該被銘記，作為展現人類心智、洞察力乃至文明不斷進步歷程的數學歷史是值得研究的。③Judith N. Shklar， “Jean d’Alembert and the Rehabilitation of History”，Journal of the History of Ideas， Vol. 42，1981， pp. 643—664.這種數學史觀在豐特奈爾（Bernard Le Bovier de Fontenelle）的著作中、在拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）的決定論世界觀中都有充分的體現，即人類的認知會逐漸地趨向真理的極限、接近真理的過程，可以被理解為將人類所有智力活動領域數學化的過程。這種啟蒙色彩的數學觀和數學史觀在蒙圖克拉的第一部系統的數學史著作中體現得淋漓盡致。①Jean-Etienne Montucla， Histoire des mathématiques， 2 Vols.， 1758； 2nd edition 4 Vols.， Paris： Agasse， 1799—1802.

蒙圖克拉的鴻篇巨制《數學史》堪稱啟蒙運動的杰出貢獻之一，該著作在精神上與當時的百科全書學派，尤其是與達朗貝爾和拉格朗日所倡導的思想緊密契合。蒙圖克拉用來構建從古代到18世紀的宏大數學敘事的基本概念是“進步”，即數學史是一個人類理解力不斷增長的線性發展的故事。“在所有科學中，數學在尋求真理的道路上是最可靠、最持久的……它的發展從來沒有被令人尊嚴蒙羞的挫敗所打斷，而這樣的例子在其他的知識領域中卻比比皆是?！泵蓤D克拉將這種進步觀念與樂觀精神融入到數學史的寫作中。他收集和審視了能夠得到的所有資料，所涉足的歷史空間空前廣闊：從古老的巴比倫、埃及、希臘甚至是東方的中國，直到18世紀末的所有數學分支，包括純粹數學、應用數學、實用儀器的發明等。蒙圖克拉對于數學史的貢獻是開創性的，他關于數學編史方法、研究理念和目標等被后世的數學史研究者所繼承。他本人試圖完成一項宏大的計劃：全面和精確地理解各個時代豐富而復雜的數學，為從古至今的數學描繪出一幅不斷增長和進步的完整畫卷，但這個設想未能實現。這項未竟的事業成為以后近兩個世紀中的數學史研究者競相努力的目標：盡可能完整和細致地描繪出數學知識向現代的數學體系不斷進步的歷程。這種數學史觀成為了激發后世數學史研究的主要動力，也為以后相當長時期的數學史研究奠定了基調。

19世紀以來，數學在本質上不同于其他自然科學，數學的發展史是真理事實不斷增加累積的過程，這種數學編史觀一直在數學史研究中占據著主導地位。德國數學家和數學史家赫爾曼·漢克爾（Hermann Hankel）用一段形象化的語言將之描述出來，他說：“在大多數的學科里，一代人的建筑為下一代人所摧毀，一個人的創造被另一個人所破壞。唯獨數學，每一代人都在古老的數學大廈上添加一層樓?！雹贖. Hankel， Die Entwicklung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten， Antrittsvorlesung， Tübingen， 1871， S. 25.這種信念的體現是內在主義的編史傳統一直作為19世紀以來數學史研究的主流進路。在20世紀30年代，這種傳統通過“科學史之父”喬治·薩頓（George Sarton）的努力得以延續和加強。內史傳統主導的結果是強化了數學史和數學學科的自然聯盟③Philip Kitcher and William Aspray， “History of Mathematics： A Brief and Biased History”， in Aspray and Kitcher（eds.），History and Philosophy of Modern Mathematics，Minneapolis：University of Minnesota Press，1988， pp. 20—31.。長期以來，活躍在數學史研究領域的人主要是受過大量數學專業訓練的人，包括一些數學家或者欣賞數學史的教育價值的人；前者的工作集中于數學各學科的主題歷史，旨在收集不同時期的重要數學人物和事件的材料，并將之整理并置于一幅不斷擴展壯大的圖景之中。19世紀末期英國數學家托特亨特（I. Todhunter）、德國的康托爾（M. Cantor）和克萊因（F. Klein）等人的數學史著作是這種進路的典型代表。對于欣賞數學史教育價值的后者而言，代表著人類理性進步歷程的數學史，可以成為吸引學生以及公眾喜歡和理解數學的有效工具。這種認識促使了大量以教學和普及為目的的通俗數學史書籍和文章的產生：史密斯（David Eugene Smith）的《數學史》 （1906）是第一部提供這類材料的著作①David Eugene Smith， History of Modern Mathematics，London： Chapman and Hall， 1906.，其后，大量諸如貝爾（E. T.Bell）、博耶（K. Boyer）、卡約黎（F. Cajori）、伊夫斯（H. Eves）等人所著的數學通史皆承載著教育的使命。

至20世紀中期，西方數學史已在自己的一套編史體系和傳統中運行了近兩百年，在此期間所取得的成果是引人注目的。然而，20世紀70年代以來，數學史研究趨向發生了一些明確的變化。此時，人們開始關注和反思其研究傳統的某些缺陷，比如，視野的狹隘性，方法的單一性，認識論上對數學和歷史本質的理解以及研究主體的封閉性，等等。導致這種轉向的因素眾多，其中與20世紀中期興起的反叛傳統的邏輯實證主義的哲學思潮不無關系；而庫恩理論是這種哲學思潮的主要代表，其影響最為彰顯。

二、庫恩理論應用于數學史研究的爭論

相比于科學史領域，數學史界對于庫恩理論的反應可以說是姍姍來遲。不過，至20世紀70年代，有一個問題還是愈來愈引起人們的興趣：數學中是否發生過革命？基于上述所描述的數學編史中占主導地位的傳統數學觀以及數學發展的圖景，對于這個問題的回答似乎應該是否定的，因為，數學知識的確定性以及數學結構的邏輯架構等本質特點就排除了庫恩理論中最基本的部分——革命；數學在邏輯上是相容的，其變化必然是由一個個被證明的事實累積而成的，因此，庫恩式的革命不僅在實際上不會發生，而且在原則上也不可能發生。這種對數學的本質及其發展模式的傳統認識由美國圣母大學的邁克爾·克羅（M. J. Crowe）教授在一篇關于數學的本質和數學革命問題的文章中明確地表述出來。

1974年8月，在美國藝術與科學學院舉行的現代數學發展研討會上，克羅提交了一篇題為《數學史變化模式的十條定律》的論文①該文隨后在Historia Mathematica上發表。Michael J. Crowe，“ Ten‘ laws’ Concerning Patterns of Change in the History of Mathematics”， Historia Mathematica，Vol. 2， 1975， pp. 161—166.，其中的第十條定律是：“數學從未發生過革命……”他解釋道：“我對革命的否認是建立在對‘革命’的某種限制性定義的基礎上的，在我看來，這種定義包含了這樣一種規定，即拋棄或推翻數學中一個以前被接受的實體。”庫恩的革命意味著舊的范式必定被新的范式所取代，舊理論的某些部分在新范式中被視為不可通約、難以解釋甚至是錯誤的。但數學的斷言不同于科學的斷言，數學定理在某種程度上體現了“真理的永恒性”，一個數學命題一旦被證明是正確的，就沒有被證偽的可能性了。數學定理是從公理出發，運用純邏輯的方法，可以被一勞永逸地證明。隨著數學學科的擴展，即使某些數學定理甚至某個數學分支的地位或重要性可能會發生改變，或許被新的研究趨勢邊緣化，但永遠不會被拋棄或推翻，古老的定理永遠不會消失?？肆_認識到，數學中可能存在某些被拋棄的部分，但這種革命只會發生在數學符號、術語、方法論甚至其歷史中，但不會發生在數學本體上；例如，非歐幾何“確實導致了數學本質觀的革命性變化，即數學哲學的革命，但不是數學本身的革命”②Ibid.。舊的內容（如歐式幾何）以不同的方式保持著有效性，而新的內容只是與之并立共存。

克羅的這篇會議論文在數學史界激發了一場關于庫恩的科學革命理論對數學史適用性的激烈爭論。他的觀點立刻引來了兩位數學史家的回應，最先給予回應的是紐約市立大學的約瑟夫·道本（J. W. Dauben）教授，在1974年8月舉行的美國科學史學會年會上，道本在會議報告論文中給出一個針鋒相對的觀點：數學中發生過革命。③該文于1984年被收錄于一個文集中：Joseph Dauben，“Conceptual Revolutions and the History of Mathematics”，in E. Mendelsohn （ed.）， Transformation and Tradition in the Sciences，New York： Cambridge University Press， 1984，pp. 81—103。道本認為，對于“數學中是否發生過革命”這一問題的回答取決于對“革命”這個概念含義的理解，必須對庫恩所給出的嚴格定義進行寬泛化的重新解釋，因為“沒有理由期待數學這樣的純邏輯演繹的學科也會經歷自然科學那樣的變革或革命，特別是那種與庫恩教授的‘反常—危機—革命’的框架模式相符合的革命”。在對“革命”概念進行改進和拓展中，他借鑒了科恩（I. B. Cohen）所闡釋的從18 世紀政治語境中因襲下來的“革命”含義，再結合數學本身所具有的特殊性，得出數學革命應該具備的以下幾點主要特 征：

1.數學中的革命進展并不總是拒絕或否定舊的秩序。

2.新理論的革命性常常表現為因對舊理論框架和約束的突破而極大地擴展了理論范疇。

3.革命性發現的特征還體現在問題解決的能力中，新理論的問題解決能力更完備、更有力、更綜合。

4.新發現在初期所遇到的阻力大小可以作為衡量其革命性的一個重要指標。

基于對數學革命的上述理解，道本認為，數學史中不乏一些革命性的事件①道本對于數學革命含義的進一步解釋及案例研究，可參見Joseph Dauben，“Are There Revolutions in Mathematics?”，in Proceeding of Multidisciplinary Symposium of Structures in Mathematical Theories，1990， pp. 205—229。，例如，不可公度量、微積分、非歐幾何、集合論、哥德爾不完備性定理等都是革命性的發現：它們不只是單純地增加了數學的知識內容，而且也改變了人們看待數學的方式；在每一事件發生后，數學已非比從前。在數學歷史上，這些具有革命性的事件總是為人提供了新的思維方式，并產生了比以往任何時候都更有力和更普遍的結果；在初始階段，新的發現總是遇到較大的阻力，但會逐漸吸引越來越多的研究者，直至最后，舊的數學再也難以引起人們的強烈興趣。因此，數學知識即使是漸進累積的，也不表明它不能經歷合法化的革命階段；在這種意義上，漸進累積與革命并不矛盾。

柏林理工大學的赫伯特·梅爾滕斯（H. Mehrtens）教授對克羅的觀點也提出了反駁。在1976年發表的《庫恩的理論與數學》一文中②Herbert Mehrtens，“Kuhn’s Theories and Mathematics：A Discussion Paper on the‘New Historiography of Mathematics’”，Historia Mathematica， Vol. 3， 1976， pp. 297—320.，他討論了庫恩理論中的“科學共同體”“常規科學”“反?，F象”“危機”“革命”等概念在數學史中的適用性，認為由“反?！钡健拔C”再進一步引發“革命”這種模式的解釋能力是有限的；作為一個編史學概念，“革命”一詞具有濃厚的情感色彩，這個概念針對的是事件前后的權力和機構的合法性，這種隱含的政治類比很難用于數學歷史的解釋中。他進一步反駁了克羅將實體從形式中分離出來的觀點，認為數學史中的有些事件或許可以被冠以“革命”之名，但根本不可能將相關的實體從具體形式中抽離出來。不過，梅爾滕斯補充說，盡管庫恩的科學革命理論的一般模式難以被完全套用在數學上，但其許多概念對數學編史是有借鑒價值的，其中最引起他關注的是“科學共同體”，他認為這個以學者群體為核心的社會學概念具有很強的解釋力，它為在數學史研究中引入社會學視角提供了基礎，例如，通過聚焦于“數學共同體”的社會屬性，可以將數學家及其群體的社會地位以及數學知識創造的社會維度納入到數學史中，這有助于闡明數學成就與時代背景的關系。用這種方式來解釋和理解過去的數學家以及他們的努力和失敗，相較于數學史研究中的主流傾向——僅僅根據當代標準去審視和評價過去，可以令人更公正和客觀地對待數學的歷史。

繼道本和梅爾滕斯教授之后，相繼有許多數學史家和哲學家加入這場由克羅所引發的爭論中。1992年，英國數學哲學和數學史家唐納德·吉利斯（Donald Gillies）將十幾位參與者從不同角度探討該議題的文章收載于一本題為《數學中的革命》的文集中①Donald Gillies （ed.）， Revolutions in Mathematics， Oxford： Clarendon Press，1992.，這些作者的觀點具有一定的代表性。他們幾乎都沒有否定在數學發展中存在一些具有“革命性的”發現，比如微積分、非歐幾何或抽象代數等，但顯而易見的是，這些革命性變化的出現并未推翻舊的數學，當今學校的數學課本是古老的算術、幾何和代數恒久有效性的見證，這些內容早在五百年前甚至更久遠的時代已經被實踐過了，直到今天它們仍然是數學學科的普遍基礎。那么，數學是如何在保持不變的情況下發生變化的呢？什么變化值得稱為是革命性的？在某些情況下，有人看到了革命而另一些人卻看不到，數學革命的體現是什么？數學發展的模式是什么? 等等，參與者在這些關鍵問題上存在較大的分歧。盡管如此，伴隨著這場爭論的進行，庫恩理論對數學史研究的影響不斷擴大，這場始于20世紀70年代的辯論，在以后較長的時間里仍然有許多學者陸續加入，庫恩理論中所蘊含概念的新穎性和啟發性以及其理論視野的可拓展性，為數學史研究打開了廣闊的視野和空間。這預示了數學史研究的豐富性，而《結構》以后的數學史發展有力地證明了這一點。

三、《結構》以后的數學史研究

在《結構》之后，更多學者將爭議擱置一旁，致力于將庫恩、拉卡托斯等科學哲學家的思想融貫于數學史的研究實踐中。通過對傳統數學史的局限性的反思，數學史領域的面貌得以革新。近半個世紀以來，該領域的基本理念、目標、方法和范疇，以及研究主體等方面發生了顯著的變化，其中因庫恩理論的直接或間接影響而呈現出的內涵特質與學術景象主要表現在以下兩個方 面：

（一） 庫恩理論對于現代數學史研究的一個最直接和鮮明的影響是數學編史中對于數學歷史圖景的重構。這種研究所勾勒的數學發展圖景遠遠突破了以往單調累積的線性發展圖景，而這種突破主要是得益于對庫恩理論中的一些相關概念（比如：范式或學科基質、革命、科學共同體，等等）的借鑒和拓展研究，這些思想概念為追溯數學的歷史提供了豐富的敘事結構和有效載體。以下是沿這一進路所進行的幾個頗具影響力的研究案例。

庫恩理論中最為數學史家所關注和借鑒的一個概念非“革命”莫屬。美國數學史家約瑟夫·道本和朱迪思·格拉比內（J. Grabiner）是以此為切入點重構某些數學分支歷史的典型代表。兩位學者皆基于被賦予新含義的“數學革命”概念，倡導在數學編史中構建革命性的變化圖景，以此挑戰傳統數學史所描繪的過度簡單化的圖景。道本認為數學的發展可以同時兼具累積性和革命性，他所考察的康托爾（Georg Cantor）集合論的發展就是一個典型的例證——“康托爾的工作并沒有取代以前的理論，但它確實以一種革命性的方式增強了先前理論的能力?！雹貸oseph Dauben，“Conceptual Revolutions and the History of Mathematics： Two Studies in the Growth of Knowledge”，in Donald Gillies （ed.）， Revolutions in Mathematics， 1992， pp. 49—71.康托爾在 19 世紀末創立的集合論引發了關于數學基礎的廣泛討論，并間接促成了 20 世紀初數理邏輯的發展，進而導致后來的哥德爾不完備定理以及圖靈（Turing）的理論計算模式的出現。集合論的語言已成為現代數學的基本語言，現代數學的面貌因集合論的出現而發生的變化堪稱為革命性的，盡管如此，它并未造成新舊數學的不可通約性，今人仍然在閱讀歐幾里得或阿基米德的作品。②Joseph Dauben， George Cantor： His Mathematics and Philosophy of the Infinite，Cambridge， MA：Harvard University Press， 1979.

格拉比內借用了克羅曾提出的一個數學發展比喻模式：“過去的數學世界就像散布著的無數個城堡，它們曾經傲然聳立，也從未受到攻擊而被摧毀，但卻被當今活躍的數學家們遺棄了。”③Michael J. Crowe， “Ten Misconceptions about Mathematics and Its History”， in William Aspray and Philip Kitcher （eds.）， History and Philosophy of Modern Mathematics，Minnesota Studies in the Philosophy of Science 11， Minneapolis： University Minnesota Press， 1988， pp. 260—277.格拉比內對這個比喻進行了改進，她說，過時的城堡會被遺棄也會被摧毀，不過，原來的材料會被循環利用在新的建筑中，但這些磚塊以及將它們粘合在一起的砂漿在新舊建筑中的意義和作用有著根本的差異。同一個形式或概念在不同的結構中有著不同的解釋和意義，比如，如果僅僅將2 + 2 = 4或畢達哥拉斯定理看作一些磚塊，那么這幅圖景可能就是累積的。但是一堆磚并不能顯示出建筑的美、秩序或功能，2 + 2 = 4可能永遠是正確的，但在不同的時代和群體中，人們對它的解釋和理解是不同的，它可能意味著具體的實物（例如水果）聚合，或意味著地圖上的距離計算，或只是某個抽象群中的命題。因此她的結論是：“數學并不是一門沒有革命的獨特科學。相反，數學是人類活動中曾經發生過的破壞性最小但卻最具根本性革命的領域?！彼龘擞^點考察了從18世紀到19世紀法國的分析數學發生的巨大變化，以及其所導致的數學觀的劇變，新的數學觀對多種數學實踐產生了重大影響。她認為這種變化是法國18、19世紀數學發展中的一次真正的革命性突破。①Judith V. Grabiner， The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus，Cambridge， MA： MIT Press，1981.

除了“革命”一詞，庫恩理論中另一被廣泛討論的核心概念是“范式”。在對這一術語的闡發和應用中，中國數學史家曲安京教授的研究視角別具特色。他將“范式”理解為學者共同體所關注的“問題域”，認為一門知識的發展并不是通過新舊范式更替的革命模式，而是通過“問題域”的改變或擴張而實現的?；谶@種理解，他提出了重構數學史路線圖的思想，為此，他選取了在數學史上備受關注的伽羅瓦理論發展史中的兩個典型的案例：以拉格朗日的代數方程理論為例，討論如何根據對原始文獻的解讀，進行“路線圖”重構的研究；然后以分圓方程理論為例，討論高斯 （C. F. Gauss） 如何在拉格朗日路線圖的引導下，構建自己的理論，并提出新的問題，由此理清了高斯理論的問題與方法之來源。②曲安京：《近現代數學史研究的一條路徑——以拉格朗日與高斯的代數方程理論為例》，載《科學技術哲學研究》2018年第12期。

庫恩理論中的“科學共同體”概念也被眾多的數學史研究者所借鑒。這個概念使人們關注的焦點從個別的數學精英及其成就轉移到數學家們所置身的共同體環境上，比如哥廷根、巴黎、柏林和劍橋等數學學派。相關的研究包括這些學派發起和資助特定的研究和培養特定類型的數學家的過程，包括其機構的運作、教育綱領等方面。這些研究業已成為現代數學社會史的主要內容，由此帶來了傳統數學編史中一個根深蒂固的信念的變化：數學家本人及其數學思想都不可避免地受到其所處環境乃至社會因素的影響。

（二） 庫恩理論中的反輝格史觀也導致學界對傳統數學觀和數學史觀的重新審視。近幾十年來，在數學編史中這些基本觀念的轉變及其引發的研究趨勢和實踐的轉向主要體現在研究主體與數學編史問題的討論、研究者的學術背景多樣化、對數學歷時性問題的重視等方面。

首先，研究主體對于數學的塑造價值在數學編史中得以強調和體現，數學知識的真理性、數學方法的嚴格性等方面的歷時性愈來愈得到重視。這種趨向最先反映在70年代以來關于數學編史中“內在論者”（internalist）與“外在論者”（externalist）誰有能力書寫數學的歷史以及應該如何書寫數學的歷史等問題的辯論中。20世紀初，隨著數學日益專業化趨勢的發展，數學史研究越來越以數學家為主導。數學家傾向于把數學看作一個獨立的、可以自我調節的知識體系，數學史成為他們塑造自我的工具，他們難以對其他群體的研究感到滿意，主要是因為其他學者的知識背景與數學尤其是現代數學的距離。然而，自《結構》出版以來，庫恩的反輝格史觀促使人們意識到，滿足數學家期望的數學史是有選擇性的，數學家們傾向于以當代數學觀為參照標準去重建過去的數學。1975年，歷史學家溫古魯（S.Unguru）對由數學家所主導的數學史研究狀況提出了尖銳的批評①Sabetai Unguru，“On the Need to Rewrite the History of Greek Mathematics”， Archive for the History of Exact Sciences， Vol. 15， No. 1， 1975， pp. 67—114.，他認為已有的數學史研究只是用現代數學的符號和概念去解釋過去的數學，將現代的數學思想和概念強加于過去的數學之上，例如，他認為在古希臘數學中根本不存在“幾何代數”這個概念，它是由當代數學家從現代的代數符號、方法和概念中創造的。溫古魯認為，真正的歷史方法應該基于對原始文本的理解去構建其來龍去脈，研究數學史不必要以接受現代數學的訓練為先決條件，這種訓練反而會成為理解過去的障礙，因為這可能會導致一些具有時代誤置的解釋。溫古魯呼吁歷史學家們對數學史方法論進行徹底的改革，倡導依據歷史的、文本的、語言學的和哲學的證據而不是依賴現代數學的直覺展開對數學史的系統研究。溫古魯的呼吁激起了數學家韋伊（A. Weil）的反擊，他在1978年舉行的國際數學家大會上的一篇報告論文中給出了回應②André Weil，“History of Mathematics： Why and How”， in O. Lehto （ed.），Proceedings of the International Congress of Mathematicians， Helsinki， 1978，pp. 434—442.，該報告的主旨就是為數學家成為數學史研究的主體進行辯護。他認為，數學家是數學史的主要讀者群體，為了追溯“后來出現在數學家頭腦中的概念和方法的早期淵源”，數學史研究者接受全面的數學訓練是必要的，因此數學家兼職作一些歷史研究是他們最有回報價值的課題之一。他甚至質疑“數學史是一門介于歷史和數學之間的交叉學科”這種定位，認為數學史應隸屬于數學學科的一個分支。③關于這場爭論的進一步評述，可參見Volker R. Remmert， et al. （eds.）， Historiography of Mathematics in the 19th and 20th Centuries， Cham： Birkh?user and Springer， 2010， pp. 1—8。

上述“內在論者”與“外在論者”的辯論表明，知識背景迥異的研究者之間的確存在著一定的張力，但這種爭論也揭示了一個正在發生的事實：數學史研究開始吸引來自不同知識背景的研究者。近幾十年來，諸如數學哲學家、歷史學家、社會學家、科學史家、社會建構論者、女性主義者等等眾多身份迥異的學者參與了數學史研究以及相關著作的撰寫，他們從科學、哲學、社會學乃至于文化等多種視角展開對數學史的研究，已促使數學史從一門邊界清晰、相對孤立的學科轉變為擁有高度開放性的、跨學科研究的學術領域。

不同背景的研究者的參與使得數學史研究的視域得以極大地拓展，其關注的目標不再單純地聚焦于歷史與數學本身的關系上。數學史研究開始被嵌入到其他更加廣闊的語境之中，諸如數學與科學、社會、政治和教育等領域的關系、數學知識產生過程中的哲學和文化語境，等等。研究視域的拓展催生了眾多學術專著和成果的涌現，這些成果不僅包括對于傳統分支學科的新詮釋，而且還包括了以往處于傳統研究之外或較少受到關注的應用數學、概率論和統計學等分支的歷史研究。①在過去幾十年里，概率論和數理統計的歷史研究狀況比其他任何數學分支的歷史更加具有體現現代數學史研究趨向的典范意義，體現庫恩理論對概率統計史研究影響的部分成果收錄于L. Kruger， et al. （eds.），The Probabilistic Revolution， Vol. 1， Ideas in History； Vol. 2， Ideas in the Sciences， Cambridge， MA：MIT Press，1987。

庫恩理論促使了對數學史研究的性質、目標和研究主體等方面的反思和重新定位，而且，庫恩所倡導的將文本解讀置于歷史語境之中的新史學方法也影響到了數學史研究。對史學方法論問題的關注使學界意識到了數學史研究單純依賴數學文本的局限性。一般而言，數學的形式化表述大都將其背后的啟發式直覺過程遮蔽了，為了重建缺失的啟發式過程，近五十年來，數學史家對更廣泛的原始文本和史料進行了挖掘和拓展研究，這些新嘗試的成果反映在對許多經典事件和人物進行重新解釋和更加細致的描述方面，艾斯帕瑞（W. Aspray）和基切爾（P. Kitcher）以期間出版的眾多人物傳記為例對此趨向進行了分析，諸如康斯坦絲·瑞德（C. Reid）所著的《庫朗傳》 （1976）和托馬斯·漢金斯（T. Hankins）的《哈密爾頓傳》 （1980）等。這些傳記的作者們幾乎都認識到全面挖掘和研究原始文獻對于理解數學家和數學歷史的重要性，比如：數學家之間的通信、未發表的手稿、專業協會的記錄，以及與其他相關者的互動信息。這些作者在以現代的概念符號、嚴謹性、問題含義和學科邊界等標準去審視過去的數學時，比其前輩更具有歷史敏感性，他們的著作“使人們重新認識到數學家思想的微妙且難以捉摸的性質及其思維模式的持續性和復雜性，這種意識極大地改變了人們對數學的刻板印象”①Philip Kitcher and William Aspray， “History of Mathematics： A Brief and Biased History”，in Aspray and Kitcher（eds.），History and Philosophy of Modern Mathematics，Minneapolis：University of Minnesota Press，1988， pp. 20—31.。

四、結語

通過以上聚焦于近代西方數學史研究趨向以及對相關研究案例和成果的評析，可以看到，庫恩理論對數學史研究的影響既體現在研究理念和研究目標的抽象層面，也體現在研究主體、研究范疇和研究方法等較為具體的層面；其適用性和有效性在20世紀后期西方數學史研究的一些轉向以及所取得的豐碩成果中得到了明確的展現。

但必須指出的是，引發當代數學史研究趨向變革的因素是多方面的，比如受到當時西方社會智識氛圍、歷史或政治語境等紛繁復雜因素的影響，尤其受到次第興起的反叛傳統邏輯實證主義的科學哲學思潮的沖擊，而庫恩的科學革命理論只是引發這些轉向的重要因素之一。如果著眼于新興的科學哲學思潮與自然科學史的關系方面，正如已有的大量研究所揭示的那樣，沒有任何單一的哲學框架可以涵蓋對自然科學發展歷史的解釋。這種判斷同樣也適用于庫恩理論與數學史的關系。盡管如此，對于長期被單一和封閉的闡釋模式所束縛的數學史來說，庫恩理論對該領域的視閾拓展、研究內容和研究方法革新等方面的借鑒價值是毋庸置疑的。

另外，本文的意圖并非意味著對傳統數學史研究價值的消解與否定。實際上，該領域的傳統路徑在當今仍然吸引著眾多的研究者，仍是這個領域的主要研究進路之一。②例如，美國數學家、數學史家M. 克萊因的《古今數學思想》即是一部傳統數學編史風格的代表性著作：Morris Kline， Mathematical Thought from Ancient to Modern Times， New York： Oxford University Press， 1972。中譯本：M.克萊因：《古今數學思想》，張理京、張錦炎、江澤涵譯，上海：上?？茖W技術出版社1979年版。本項研究旨在為數學史研究提供一個具有啟發性的思路，數學和自然科學在本體論、認識論等方面既有差異也有聯系，數學史研究不能完全拋開對相關的基本哲學問題的考察，數學史研究者若能敏銳地關注科學哲學與科學史之關系以及當代科學史研究的趨勢，就可以為數學史研究的未來發展謀求更加廣闊的空間和更加豐富的成果，使之擁有更加旺盛的生命力。