圓錐曲線中的垂徑定理

盧會玉

(甘肅省嘉峪關市第一中學 735100)

筆者發現高考中考查類似于圓的垂徑定理的題目不時出現，值得深入探究.垂徑定理是數學平面幾何(圓)中的一個定理，它的通俗表達是：垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧.垂徑定理是圓的重要性質之一，它是證明圓內線段、角相等、垂直關系的重要依據，也為圓中的計算、證明和作圖提供了依據、思路和方法.如果能將圓的垂徑定理所涉及的思想和方法遷移到橢圓、雙曲線、拋物線上，那無疑是一種創新的研究思路.

一、試題呈現

題1 已知某橢圓的焦點是F1(-4,0),F2(4,0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10.橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差數列.

(1) 求該橢圓的方程；

(2) 求弦AC中點的橫坐標；

(3) 設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.

二、試題解析

故弦AC中點的橫坐標為4.

三、引申探究

1.圓中的垂徑定理

為了討論方便，假設下文所有問題的討論中所涉及的直線的斜率都存在.

(1)如圖2，在圓O中，E為弦AB中點，則OE⊥AB，即kOE·kAB=-1.那么，把弦AB向外平移到與圓相切，又會有什么性質呢？

(2)如圖3，在圓O中，直線l與圓O相切于點E，則OE⊥l，即kOE·kl=-1.那么，當弦AB過原點時，又會有什么性質呢？

(3)如圖4，AB為圓O直徑，點E是圓上異于A，B兩點的動點，則BE⊥AE，即kAE·kBE=-1.

2.橢圓中的垂徑定理

3.雙曲線中的垂徑定理

趙三喃喃著走出家門，雖然全村的人死了不少，雖然莊稼在那里衰敗，鐮刀他卻總想出賣，鐮刀放在家里永久刺著他的心。

4.圓、橢圓與雙曲線(統稱為有心圓錐曲線)中垂徑定理的統一結論

5.拋物線中的垂徑定理

性質8 在拋物線y2=2ax(a≠0)中，E(x0,y0)為弦AB的中點，則kAB·y0=a.

性質9 若直線l與拋物線y2=2ax(a≠0)相切于點E(x0,y0)，則kAB·y0=a.

6.垂徑定理的應用

例3 已知直線l交橢圓4x2+5y2=80于M，N兩點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點，則直線l的方程為____.