重載無人機弧齒錐齒輪動力學分析

馬源辰，鄭鵬

（沈陽工業大學 機械工程學院，沈陽 110870）

0 引言

隨著科學技術的發展，無人機已成為商業、軍事、制造業不可或缺的一部分[1]。目前，在重載無人機的研究領域中，旋翼式無人機逐漸成為研究熱點。與傳統無翼式重載無人機相比，旋翼式無人機能夠以任意角度和方向起飛、降落、懸停[2]，具有極強的環境適應能力。同時還具備極大的承載能力，這主要得益于負責旋翼轉動的弧齒錐齒輪減速器。

弧齒錐齒輪作為重載旋翼無人機的核心傳動部件，具有極高的傳動、承載能力。但由于其齒面結構復雜[3]，對工作環境的影響較為敏感，在惡劣的情況下可能導致齒輪輪齒折斷、疲勞破壞。本文通過分析重載無人機在不同工況下其內部弧齒錐齒輪的動力學特性，進而制定無人機的工作條件，保證齒輪在合理的工作條件下運轉。

1 弧齒錐齒輪動態特性分析

在一對輪齒嚙入的瞬間，由于受到瞬時載荷發生彈性變形, 齒輪在嚙合點處的瞬態法向相對速度產生差異從而引起嚙合沖擊[4]，影響齒輪傳動的平穩性。同時，由于工作環境導致齒輪負載轉矩瞬間增大從而產生瞬時沖擊載荷，為了提高齒輪系統的平穩性，利用UG動力學分析模塊研究弧齒錐齒輪在不同工況下的動態特性。

1.1 沖擊函數模型建立

本文使用UG中的Adams求解器進行求解，使用自帶的Impact函數來計算接觸力[5]，該函數基于Hertz彈性碰撞理論，能夠準確地反映齒輪傳動時的輸入和輸出情況，公式如下：

式中：l為接觸時的距離；l1為接觸前的距離；e為接觸碰撞指數；Cmax為最大阻尼系數；d為全阻尼狀態的邊界穿透量；k為剛度系數，其計算公式為

式中：R1、R2分別為齒輪嚙合時小輪、大輪的當量半徑；E1、E2分別為小輪、大輪的彈性模量；ν1、ν2分別為小輪、大輪材料的泊松比。

1.2 變轉速工況下齒輪動態特性分析

結合重載無人機的使用工況，設定其轉速為3000 r/min（18 000（°）/s），為避免傳動開始由于沖擊導致轉速突變，設置主動小輪的轉速函數為從0 s開始的線性函數，同時，為探究不同轉速下對齒輪嚙入沖擊的影響，將速度設計為3個階段（即1000、2000、3000 r/min）,最終定義轉速函數為STEP(time,0,0d,0.05,6000d)+STEP(time,0.1,0d,0.15,6000d)+STEP (time,0.2,0d,0.25,6000d)，在大輪上設置恒定負載為-100 N·mm。齒輪材料為滲碳鋼，彈性模量E1=E2=2.0675×105MPa，泊松比ν1=ν2=0.3。將上述參數代入公式，得到剛度系數k=6.73×105N·mm；接觸碰撞指數e取值為1.5；最大阻尼系數Cmax取值為45 N·mm；嵌入深度取0.1 mm；動摩擦因數、靜摩擦因數分別取0.06和0.08。設置參數后，導入UG進行動力學仿真。取分析時間為0.3 s，分析步長為5000。

主動小輪輸出角速度隨時間變化如圖1所示，主動輪轉速分別在0.05、0.15、0.25 s處達到平衡，由于小輪未施加負載，因此在平衡處的轉速值分別為6000、12 000、18 000（°）/s，符合給定速度函數的規律。

圖1 主動小齒輪角速度變化曲線

被動大輪理論輸出角速度隨時間變化，如圖2所示。由于齒輪在傳動過程中發生單雙齒交替嚙合，齒輪的嚙合剛度發生周期性變化，在每一次嚙合的開始和結束階段均產生碰撞沖擊[6]，因此大輪的轉速在理論值附近發生周期性波動。當轉速的理論值分別達到6000、12 000、18 000（°）/s時，齒輪實際轉速的平均值為5999.97、12 000.06、17 999.97（°）/s。誤差值極小，符合齒輪的使用要求。但是隨著轉速的增加，其上下波動幅度、頻率隨之增大，齒輪嚙合沖擊影響也逐漸增大，可能會引起齒輪的疲勞破壞和壽命減少，因此在運行過程中盡量避免過高速運動。

圖2 被動大齒輪角速度變化曲線

圖3為恒負載、變轉速條件下齒輪嚙合力隨時間的變化曲線，由于受恒定負載影響，齒輪在開始嚙合時發生沖擊導致嚙合力突增，然后回歸至正常范圍，之后不斷增大幅度，嚙合力分別在附近波動，符合弧齒錐齒輪的嚙合規律。

圖3 變轉速下齒輪接觸力變化曲線

1.3 變負載工況齒輪動態特性分析

上節討論的是當負載為恒定值時，轉速對沖擊的影響。重載無人機在實際飛行中，由于負載隨飛行高度、環境及實際工作需求而變化，需要研究變負載條件下無人機弧齒錐齒輪所受沖擊影響。因此，將負載函數設置-30 N、-70 N、-100 N 的階梯函數，即STEP(time,0,0,0.03, -30) +STEP (time,0.1,0,0.13, -40) +STEP (time,0.2,0,0.23,-30)。被動大輪的嚙合沖擊力隨負載變化如圖4所示，由于速度為恒定值，嚙入階段會產生較大的沖擊力，之后會以某一定值做一定范圍的波動，隨著負載的增加，由于齒輪重合度的增大，齒輪傳動逐漸趨于平穩，波動幅度明顯減小。

圖4 變負載下齒輪接觸力變化曲線

無人機實際工作中的情況正好相反，起飛時齒輪所受的沖擊影響主要受轉速的突增而增大，起飛后一段時間由于無人機滿載，齒輪的重合度達到最高[7]，此時飛行最平穩。當無人機執行任務（如承載彈藥對目標區域進行轟炸）時，其載重會瞬間減小，旋翼的負載也隨之減少，連接旋翼的弧齒錐齒輪會瞬間受到較大的沖擊，嚴重時可能導致輪齒折斷從而使無人機墜毀。因此在設計無人機工作目標時，需要考慮無人機的初始承重及減重的分配。

2 弧齒錐齒輪固有特性分析

弧齒錐齒輪在運轉時由于同時受到內、外部振動及循環加載力的影響, 可能導致振動頻率接近固有頻率[8]，引發機械共振，從而引起齒輪產生極大的變形和動載荷，最終導致輪齒破壞。為避免齒輪發生共振，需要對齒輪進行模態分析。

2.1 模態分析理論

模態為系統按照某一階固有頻率發生振動時各個點偏離平衡位置的位移比例關系的向量，它反映了機械結構固有的振動特性。模態分析過程的本質通過軟件模擬或實驗分析對每一個模態的固有頻率、阻尼比及模態振型進行計算的過程。根據結構力學，機械系統動力學的運動方程為[9]

式中：M為機械系統的質量矩陣；C為機械系統的阻尼矩陣；K為機械系統剛度矩陣；x..為機械系統的加速度常量；x.為機械系統的速度常量；x為機械系統的位移常量；F（t）為機械系統的外部載荷向量。

當機械系統處于不受外力影響的自由振動情況，有F（t）=0，因此在計算運動方程時可忽略阻尼對系統的影響，此時系統無阻尼自由振動方程為

機械系統的振動方式為簡諧振動，其振動位移方程為

式中，ω為模態固有頻率矩陣，ω=[ω1ω2...ωn]，n為模態的階數。

代入運動方程，可得特征值方程：

式中，x為由各階固有頻率振型組成的特征矩陣，表明自由模態的分析過程即為求解該特征值的過程。

2.2 有限元分析前處理

在弧齒錐齒輪的模態分析過程中，齒輪的固有頻率和振型均為其固有特性，影響其主要原因為齒輪結構的質量和剛度要素在其結構中的分布，其分析結果與外部的載荷沒有關聯，因此在網格單元類型的選取上采用四面體網格劃分，使質量與剛度元素在齒輪結構中均勻分布，提高結果的準確性。

當齒輪產生機械振動時，由于低階固有頻率及對應的振型相對容易出現，對齒輪系統的影響較大，而高階固有頻率下的振動會隨著阻尼的作用而迅速減小。因此為提高分析效率，本文僅對齒輪的前6階固有頻率進行分析。

2.3 齒輪有限元模型建立及模態結果分析

將三維模型導入ANSYS Workbench，定義屬性后使用分析步求解小輪的前六階振型如圖5所示，各階對應的固有頻率如表1所示。由圖可以看出第一階為圓周振動，其變形程度由內孔向齒輪大端逐漸增大，由于未施加外部載荷，因此該階段固有頻率接近0；第二、三階模態表現為繞自身Y軸的擺動，最大變形發生在齒輪的大端靠近齒根側；第四、六階模態表現為彎曲振動，其最大變形發生在齒輪最大彎曲時的大端尾部；第五階模態表現為扭轉振動，其最大變形發生在齒輪沿軸向發生最大扭轉時的齒輪大端根部。

圖5 小齒輪前6階振型圖

根據表1中齒輪各階模態下的數據可知，除第一階模態外，最低固有頻率發生在小輪的第二階振型，其值為16 286 Hz，在進行無人機傳動系統設計的過程中，應盡量避開此頻率，防止發生共振導致齒輪破壞。

表1 小齒輪前六階固有頻率 Hz

3 結語

1）根據Hertz理論建立Impact函數，利用UG的Adams求解器對齒輪進行動態特性分析。首先定義齒輪之間的運動約束與接觸，探究了不同轉速條件下齒輪所受沖擊的影響，研究發現，隨著小輪轉速的增加，被動大輪的轉速產生周期性波動，且上下波動幅度及波動頻率隨之增大，產生的嚙合沖擊影響也逐漸增大；齒輪的嚙合沖擊力及沖擊波動范圍也隨轉速的增大而增大。在重載無人機傳動時，應盡量避免在高轉速附近運動，防止發生疲勞破壞。

2）研究了不同負載下齒輪所受沖擊的影響，起初由于傳動系統空載或輕載，齒輪嚙合的重合度小于穩態重合度，此時齒輪嚙合力波動范圍較大，隨著負載的增加，齒輪重合度增大，齒輪所受沖擊的波動范圍逐漸減小。無人機在工作時，由于需要進行卸載，會產生較大的沖擊，為避免輪齒折斷導致無人機無法工作，應考慮在卸載時適當增大外部負載（如改變飛行姿態）。

3）以小輪為例，使用ANSYS分析得到齒輪的前6階模態，得到了模態振型及對應的固有頻率，在無人機工況設計中，應盡量避開此頻率，防止發生共振導致齒輪破壞。