基于衍射光柵的高精度干涉星敏感器的理論分析

張淑芬，姜 珊，董 磊，王建立，吳 娜，李文昊*

（1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學院大學，北京 100049）

1 引言

星敏感器以除太陽外的恒星為觀測對象，利用星體在星敏感器上所成的像獲得星體在星敏感器坐標系中的單位矢量，并通過計算星體在星敏感器坐標系中單位矢量相對于星體在天體坐標系中單位矢量的坐標變換矩陣，得到載體飛行姿態[1-3]。其輸出的姿態測量精度可以達到角秒級甚至亞角秒級，并且具有無時間累積誤差、能夠自主導航的優勢，已經成為目前測量精度最高的姿態敏感器[4-10]，在地球遙感、地球測繪、洲際導彈和行星測繪等方面得到了廣泛應用。隨著航空航天事業的飛速發展以及應用場合的特殊化，高精度、大視場、輕小化已經成為星敏感器的發展趨勢[11]。

星敏感器測量精度包括單星測量精度和姿態測量精度。提高姿態測量精度是提高星敏感器測量精度的最終目的，提高單星測量精度是提高星敏感器姿態測量精度最本質的方法。星敏感器單星測量精度與星點質心提取精度、探測器像元陣列數及視場有關[12-14]。提高星點質心提取精度常采用離焦的方式，令恒星在星敏感器上的像點彌散在幾個像元內，通過內插細分定位算法使星點質心提取精度達到亞像元甚至更高[15-16]。在像點內插細分定位算法中，多忽略像差的影響，利用高斯分布模型表示星像點能量分布[17-18]。雖然已有研究表明該模型合理，但是光學像差會引起彌散斑分布的改變從而降低星點質心提取精度[19]，不適于在甚高精度星敏感器上的應用。提高探測器像元陣列數，可以提高單星測量精度，但提升幅度有限，并且會帶來額外花費。在探測器確定的情況下，通過增大光學系統焦距的方法縮小星敏感器視場，可以提高單星測量精度。但是光學系統焦距的加大，會使星敏感器體積變大，不利于在微小衛星等航天器上的應用；另外，視場的縮小減少了視場內導航星數目，使星敏感器探測能力降低，不利于星圖識別和星敏感器動態范圍的提高。在焦距確定的情況下，增大光學系統相對孔徑可以提高星敏感器探測到暗星的概率，從而提高星敏感器的探測能力[20-23]。但是在焦距不變的情況下，光學系統相對孔徑的增大不僅會增加星敏感器的體積和質量，還會增大光學系統像差，影響星點質心提取精度。此外，視場內探測到暗星的概率增加，會使星表尺寸變大，星圖識別算法變得更加復雜，姿態更新速率降低。美國洛克希德馬丁先進技術中心設計的AST-301是目前已知星敏感器中輸出姿態測量精度最高的產品，兩組AST-301配合使用時，姿態測量精度達到0.18″，但是星敏感器總質量達到了14.2 kg，視場僅為5°。由于視場較小，為保證星圖識別的準確率，其極限探測星等為8.5等星，造成導航星數目龐大，姿態更新速率僅為2 Hz。傳統星敏感器的測量精度受視場、體積、質量和姿態更新速率等性能的制約。

由于星敏感器精度與視場、體積、質量等性能難以兼顧，傳統微型星敏感器的測量精度普遍較低，其精度等級較大型星敏感器相差近一個量級。典型的微型星敏感器主要有[24-25]：莫斯科羅蒙諾索夫國立大學斯特恩伯格研究所設計的STC-2星敏感器、德國維爾茨堡大學設計的Picostar星敏感器、加拿大瑞爾森大學設計的ST-16星敏感器。STC-2星敏感器是目前已知質量最輕的星敏感器，不計遮光罩僅重65 g，視場19.64°，功耗僅為250 mW，但是其姿態測量精度只有10″；Picostar星敏感器質量僅有70 g（不計遮光罩），體積僅為30 mm×38 mm×80 mm，視場為12.51°，但是由于其圖像傳感器分辨率較低，姿態測量精度僅為36″；ST-16星敏感器在輕小型星敏感器中姿態測量精度相對較高，x/y軸姿態測量精度達到了7″，視場20.03°，但是其姿態更新率僅為2Hz。

為克服傳統星敏感器的缺陷，美國Optical Physics公司（OPC）率先開展了干涉星敏感器的研究，在視場為20°，光學系統僅重200 g的情況下，單星測量精度理論上可達0.11″[26]，從原理上打破了傳統星敏感器精度與視場、體積、質量等性能間的相互制約。浙江大學的杜鵑等人在此基礎上提出了一種基于二維光柵的雙軸干涉星敏感器裝置，其單星測量角分辨率達0.2″[27-28]。該裝置可以同時提高x、y方向星光入射角度的測量精度，但是該裝置由于用到雙光柵衍射級次的+1級或?1級，使得寬波段的星光在衍射方向會存在嚴重色散；另外從x、y方向分別對入射光強細分，使探測器上像點光強信號進一步減弱，增加了探測難度，其實用性有待提高。為深入研究基于光柵干涉測量原理的星敏感器，打破西方國家對我國的技術封鎖，本文研究了一種基于一維衍射光柵的高精度干涉星敏感器結構，對星光場在干涉星敏感器中的光學傳輸過程進行數學建模，得到干涉星敏感器上像點質心位置、像點能量與星光入射角度之間的關系，確定了利用星體在干涉星敏感器上像點的質心位置和相對能量分別進行粗定位和精定位的方法及粗精定位結合的方法，通過公式推導得到了干涉星敏感器單星測量角分辨率的影響因素，并通過模擬仿真驗證了干涉星敏感器精定位和粗精定位結合的可行性。

2 基于光柵干涉測量的星敏感器基本原理

基于一維光柵的干涉星敏感器光學元件部分如圖1所示，主要由光學干涉部分、角度調制部分和光學成像部分等3部分組成。光學干涉部分使經過的星光發生干涉，角度調制部分對入射星光產生不同方向的偏轉，光學成像部分將不同方向的光成像至探測器的不同位置。其中光學干涉部分由兩塊周期相同、刻線方向間有一微小夾角ε且距離為d的光柵G1、光柵G2組成，角度調制部分由4塊光楔組成，光學成像部分與傳統星敏感器相似，由成像透鏡組組成。光學干涉部分和角度調制部分是干涉星敏感器精定位的關鍵，也是與傳統星敏感器的區別之處。

圖1 基于一維光柵的干涉星敏感器光學系統結構圖Fig.1 Configuration of interferometric star tracker optical system based on 1-D grating

為方便分析星光場在干涉星敏感器中的傳輸過程，得到探測器上像點與星光入射角度之間的準確關系，建立了如圖2所示的干涉星敏感器靶面坐標系x'O'y'和干涉星敏感器坐標系O-xyz。在x'O'y'中，O'為探測器的幾何中心，x'軸、y'軸分別與探測器陣列的行、列平行。在O-xyz中，以主點O(沿光軸距離靶面坐標系為F的點，F為星敏感器光學系統的焦距)為坐標原點，光軸指向為z軸正方向，與探測器像元陣列行、列平行的坐標軸分別為x軸、y軸，并且干涉星敏感器坐標系符合右手準則。P點代表星像點。

圖2 干涉星敏感器靶面坐標系x'O'y'和干涉星敏感器坐標系O-xyz間的關系Fig.2 Relationship of target plane coordinate system x'O'y'and the coordinate system O-xyz of the interferometric star tracker

圖1中光柵G1的刻線方向與y軸平行，光柵G2的刻線方向與y軸有一微小夾角ε，兩塊光柵周期均為p，并且兩塊光柵間距為d。光楔陣列在平行于xOy面的平面上沿y軸方向擺放，光楔在x方向上的長度為a，y方向上的長度為b。

單顆星發出的平面光波場在任一選定的平行于xOy面的平面上可表示為

式中：A為實數，代表光波場振幅；λ代表星光發出的任一平面波的波長；θx和θy分別為平面光波與干涉星敏感器坐標系x軸、y軸夾角的余角。

應用角譜理論[29]，當入射星光經過光柵G1后發生衍射，其衍射光場分布的空間頻譜等于入射光場頻譜與光柵G1頻譜的卷積，即

式中Fi(fx,fy)為星光光場的頻譜，即平面光波場Ui(x,y)的傅立葉變換，G1(fx,fy)表示光柵G1的頻譜。

入射至光柵G2之前，由于光會在均勻介質或空氣中傳播一段距離d，雖然振幅不受影響，但會引入與頻率有關的相移。此時，場分布的空間頻譜為

式中H(fx,fy)表示傳遞函數。

在經過光柵G2后，各級衍射光發生干涉，干涉光場分布的空間頻譜變為

式中G2(fx,fy)表示光柵G2的頻譜。

經過光楔陣列后，光場分布的空間頻譜為

式中T(fx,fy)為光楔陣列的頻譜，即光楔陣列透過率函數的傅立葉變換；n代表光楔陣列中第n塊光楔，n=1，2，3，4；a和b分別代表光楔在x軸方向上的長度和在y軸方向上的長度；m和m'分別表示光柵G1的m級衍射和光柵G2的m'級衍射；Cm和Cm'分別表示光柵G1的m級衍射系數和光柵G2的m'級衍射系數；φm代表經過光柵G1衍射后的m級衍射光在入射至光柵G2之前，傳播距離d后引入的相移，表示為

根據透鏡組傅立葉變換的性質[29]，透鏡組后焦面（x'O'y'平面）上的光場分布UF(x',y')正比于前方物體的頻譜，并使物體產生一個位相彎曲，星光經過成像透鏡組后，在透鏡組后焦面上的光場分布為:

式中F表示透鏡組焦距，d0表示光楔陣列到成像透鏡組中第一塊透鏡的距離。

2.1 粗定位

由于光楔陣列由4塊不同楔角的光楔組成，所以同一方向的入射光經過光楔陣列后會偏轉成為4束不同方向的光。又因為不同方向的光經過成像透鏡后會成像在后焦面的不同位置，所以入射星光經過光楔陣列后會在干涉星敏感器上形成4個像點。為方便討論，假設光柵G1和光柵G2只有0級和±1級衍射，即m=0，±1；m'=0，±1。由于非零級衍射級次存在色散，影響像點質心定位，故僅考慮0級，即(0,0)，(+1, ?1)和(?1, +1)級衍射光干涉后的頻譜，則經過第n塊光楔偏轉后的星光，在透鏡組后焦面上像點的光強分布為

式中UF,n(x',y')表示星光經過第n塊光楔偏轉后在后焦面上的光場分布。

設面陣探測器第(i,j)像元的中心坐標為，以像元尺寸(pixel)為單位，則星光經過第n塊光楔偏轉后形成的像點在該像元內的能量為

采用灰度加權質心法，得到星光經過第n塊光楔偏轉后在探測器上像點的質心坐標(xn',yn')，即

由式(8)像點光強分布，根據sinc函數的性質，得出像點質心坐標(xn',yn')與光楔偏轉角(δxn,δyn)的關系為

由式(11)可以看出，光楔引入的角度偏移在透鏡后焦面上表現為星體像點位置的平移。所以在不設置光楔陣列的情況下，目標星在干涉星敏感器上的像點坐標(X0,Y0)為

并且

因此，可以通過探測器上像點的質心坐標(xn',yn')與光楔偏轉角(δxn,δyn)之間的關系，得到不設置光楔陣列情況下目標星的像點坐標(X0,Y0)，從而獲得星光入射角度，進行粗定位。

由式(8)像點光強分布的相位項可以看出，像點光強分布與星光入射角度有關，因此星光入射角度變化過程中，存在使某像點光強分布In(x',y')為零的情況，這會導致該像點質心坐標(xn',yn')無法被提取到。為有效獲取像面上的星點坐標(X0,Y0)，對瞬時狀態下提取到的像點質心坐標(xn',yn')進行加權運算，即

式中Ia=(Aab/λF)2。

2.2 精定位

由于式(15)像點光強的相位項中包含了與星光入射角度有關的信息，因此可以通過單個星體在探測器上所成4個像點的相對光強得到像點光強的相位信息，進而獲得星光入射角度θx。

根據式(6)，有

記φ=φ+1?φ?1。由式(16)可以看出，像點光強中包含的項與波長有關，會干擾φ的計算，所以抑制光柵零級衍射，即C0=0。

令光楔沿y軸的長度代入式(15)并整理，得到4個像點的光強分別為

通過星點提取各像點能量可以得到φP， 作為干涉星敏感器的精定位信息。

2.3 粗精結合

將式(13)中第一個式子與式(16)中第二個式子聯立，可得

由于質心提取坐標精度受視場、探測器像元數和焦距等參數限制，因此將求取得到的質心坐標(X0,Y0)代入式(19)，得到

式(20)中的中括號表示對該括號內的數取整，所以利用星光不經過光楔發生偏轉時的像點坐標(X0,Y0)即可得到φN。

由以上分析可以看出，單個星體在干涉星敏感器上形成4個像點，通過星點提取得到各像點質心坐標及能量。對提取到的像點質心坐標進行加權運算，得到在不設置光楔陣列情況下，目標星體在星敏感器上的像點坐標(X0,Y0)。利用坐標(X0,Y0)進行粗定位，利用4個像點的相對能量進行精定位，并將粗定位與精定位結合，獲得星光入射角度θx。

在實際計算過程中，通過傳統的質心求取方法獲得的質心坐標作為星光入射角度的粗定位，其精度與視場、圖像面陣大小相關。對于進一步進行細分的光強變化，由于其呈周期性變化，為保證角度測量的唯一性，因此由質心提取計算的角度精度應不低于光強信號變化周期對應的角度。探測器上像點光強變化一個周期對應的角度為Δθx，有[sin(θx+?θx)?sinθx]=2π，則

因此星點質心提取得到的X0的精度ΔX0應不低于，即ΔX0≤。由于星點質心坐標X0的計算精度與視場和探測器陣列數有關，因此在系統設計時會根據視場和探測器陣列參數，合理選擇光柵周期p、兩塊光柵之間的距離d。

像點光強信號每變化一個周期采用M倍電子學細分，則單星測量角分辨率σ可表示為

由式（22）可看出，單星測量角分辨率與光柵周期p、兩塊光柵之間的距離d及像點信號的電子學細分倍數M有關。基于光柵的星敏感器在傳統星敏感器求取質心的基礎上，利用星點的光強信息進一步進行細分，因此突破了質心求取的精度限制，在相同的視場和探測器陣列數下可以獲得更高的角度測量精度。對于視場為20°×20°，焦距為40 mm、探測器像元陣列數為1000×1000，光柵周期為50 μm，兩塊光柵距離為50 mm的干涉星敏感器，當電子學細分采用1024倍細分時，經計算得到單星測量角分辨率為0.1″。

典型傳統星敏感器的像點質心細分算法精度一 般 為1/10～1/50 pixel。對 于 視 場 為20°×20°，焦距為40 mm、探測器像元陣列數為1000×1000的傳統星敏感器，其單星測量角分辨率最高僅為1.44″。對于視場、焦距、探測器像元陣列數與傳統星敏感器相同的干涉星敏感器，當質心細分算法的精度為1 pixel，光柵周期為50 μm，兩塊光柵距離為50 mm，并且電子學細分采用1024倍細分時，其單星測量角分辨率可達0.1″，與傳統星敏感器相比，雖然重量稍有增加，但是單星測量角分辨率提高了一個數量級。傳統星敏感器若要達到與干涉星敏感器相同的單星測量角分辨率，則需要通過增大焦距的方法，將其視場至少縮小為原來視場的1/14.4，與干涉星敏感器相比，傳統星敏感器體積增加了5倍以上。

基于光柵的干涉星敏感器要求光柵±1級衍射效率最高，同時抑制0級及其他衍射級次，并且在工作波段內光柵及兩塊光柵間隔層材料的色散特性盡量小。因此在進行干涉星敏感器設計時，應根據探測需求，從系統整體性能出發，選擇合適的光柵結構和光柵周期，抑制無貢獻衍射級次，降低色散，以提高系統光能利用率、信噪比及測量精度。

3 計算機仿真

前面介紹了干涉星敏感器光學系統基本元件，并對星光在干涉星敏感器光學系統中的傳輸過程進行了數學建模，得到了粗精定位結合的基本原理。為驗證精定位及粗精定位結合的可行性，本部分對視場內星光入射角θx變化引起的探測器陣列上像點光強的變化及φ與星光入射角θx之間的關系進行模擬仿真。

3.1 仿真參數

初始條件和基本參數為：（1）朗奇光柵偶數級次衍射為零，可以使零級衍射C0得到抑制。因此采用朗奇相位光柵，并且光柵周期為50 μm，兩塊光柵距離為50 mm，兩塊光柵間的刻線夾角為0.057°。（2）楔形棱鏡尺寸均為12.5 mm×6.25 mm。（3）透鏡組焦距為40 mm。（4）模擬的光譜范圍為550～630 nm，取樣波長間隔為10 nm。

3.2 仿真結果

視場內3顆恒星在干涉星敏感器上的成像情況如圖3所示。由圖3可以看出，每一顆星在干涉星敏感器上均成像為4個像點，并且這4個像點組成一個方形區域。由于4塊光楔在不同方向上的偏轉角度相同，因此方形區域的中心即為恒星光經過光楔不發生偏轉時在干涉星敏感器上所成像點的位置。由于4個像點之間的距離與焦距F和光楔偏轉角度(δxn,δyn)有關，因此在進行干涉星敏感器設計時，為避免像點重疊影響星點提取，應合理設置透鏡組焦距和光楔楔角。

圖3 視場內3顆星在干涉星敏感器上的成像Fig.3 Star pattern generated for three stars within the field of view

為驗證干涉星敏感器精定位的可行性，仿真模擬該視場內任一顆恒星，在干涉星敏感器上所成4個像點的光強隨星光入射角θx的變化曲線，如圖4所示。圖4表明：4個像點的光強均隨星光入射角θx的變化呈正弦規律變化；在不同入射角度下，4個像點的總能量不變。因此可以根據干涉星敏感器光學元件及特點，由光學傳遞函數推導像點光強的相位與星光入射角的關系，并由4個像點的相對光強得到φP，從而對載體進行精定位。

圖4 像點光強隨星光入射角θx變化曲線Fig.4 Intensity of four spots changing with the incident angle θx

為驗證干涉星敏感器粗精定位結合的可行性，模擬了在全視場2ω=40°（?20°≤θx≤20°）情況下及在小角度入射（0≤θx≤1 mrad）下φ與星光入射角θx之間的關系曲線，分別如圖5和圖6所示。圖5和圖6均表明：φ與星光入射角度θx之間存在線性關系。因此可以將粗定位與精定位相結合求得φ，從而通過φ與星光入射角度θx之間的關系獲得θx。

圖5 φ隨星光入射角θx的變化Fig.5 φ changing with the incident angle θx

圖6 小角度下φ隨星光入射角θx的變化Fig.6 φ changing with the small incident angle θx

在特定角度（θx=0, 0.125, 0.250, 0.375, 0.5 mrad）下，該星體在探測器上像點的圖案如圖7所示。圖7表明：最亮像點的位置在4個像點中交替變化；在特定角度下只能看到3個星像點。這是因為像點光強隨著星光入射角度變化而呈正弦規律變化，并且在某些特定角度下，第4個像點光強為零。

圖7 單個星體在探測器上的星圖Fig.7 Star pattern from one star on the detector

圖4和圖7均表明，星光入射角度每變化 0.5 mrad，像點的光強變化一個周期。因此像點光強信號每變化一個周期采用1024倍電子學細分的情況下，計算得到單星測量角分辨率為0.1″。

4 結論

測量精度的不斷提高是星敏感器發展的不變方向。單星測量精度是評價星敏感器測量精度的基本指標，也是提高星敏感器測量精度的最本質方法。本文提出的基于光柵的干涉星敏感器，其單星測量角分辨率與光柵周期、兩塊光柵之間的距離及像點信號的電子學細分倍數有關。由于在傳統星敏感器求取質心的基礎上，利用星點的光強信息進一步進行細分，因此突破了質心求取的精度限制，在相同的視場和探測器陣列數下可以獲得更高的角度測量精度。仿真模擬得到的干涉星敏感器單星測量角分辨率可達0.1″，與傳統星敏感器相比，其單星測量角分辨率提高了一個數量級。本文的工作為深入開展基于衍射光柵的高精度干涉星敏感研究及我國實現自主研發新一代高精度輕小型星敏感器奠定了基礎。