抽樣不滿足時的欠采樣現象仿真

摘要：給出一個二維帶限函數，依據抽樣定理，分析出合適的抽樣間隔。之后改變參數，繼續驗證抽樣不當引起的欠采樣現象，通過Matlab中多幅二維和三維圖像的繪制和分析，以更直觀和深入理解抽樣定理與欠采樣。

關鍵詞：抽樣定理;復原;欠采樣

1?引言

在工程實際中，為了對信號有效傳輸和處理，往往要將連續信號進行采樣離散化，以便計算機分析處理?！俺闃印奔磳r間連續的信號按一定時間間隔抽取一個瞬時值，實現連續信號的離散化。本文利用Matlab作為分析和作圖工具，選取一個帶限函數，選擇一定的抽樣間隔，得到抽樣函數的頻譜，在頻域濾波，觀察欠采樣現象，來更直觀的理解抽樣定理與欠采樣。

2?抽樣定理

香農抽樣定理是數字信號中的一個重要的理論。該定理指出，對于能量有限的帶限信號，要在數據接收端實現信號的無失真恢復，采樣頻率必須不小于信號帶寬的兩倍，即。當不滿足抽樣定理，即時，則頻譜將產生混疊，不能恢復原信號。本文將通過分析抽樣間隔，來驗證抽樣間隔選擇不當而出現欠采樣，無法正確復原原函數的情況。利用直觀的仿真圖形，進一步闡明抽樣定理的內涵，加深其理解。

3仿真驗證

3.1抽樣信號的恢復

考慮二維帶限函數，在矩形格點上進行抽樣，則抽樣函數定義為：

其中comb為梳狀函數，由δ函數陣給出，X，Y是δ在x方向和y方向上的間隔。

由（1）式可得

的頻譜表示為：

其中u，v為頻域坐標，分別對應于空域的x，y坐標，符號⊕為卷積。

假設函數是帶限函數，其頻譜只在頻率空間的有限區域R上不為零。該函數被抽樣后，抽樣函數的頻譜不為零的區域根據（2）式，可由在頻率平面的每一個點的周圍劃出R區域得到。如果X和Y足夠小，則1/X和1/Y的間隔就會足夠大，以保證相鄰區域不重疊。又由抽樣定理，令2Bx和2By分別表示完全圍住原帶限函數頻譜有限區域R的最小矩形沿u和v方向上的寬度，空域抽樣點陣間隔滿足X≤1/2Bx，Y≤1/2By的條件時，可保證頻譜區域分開而不混疊，原函數可恢復。

仿真中，利用Matlab編寫m文件實現信號復原。使用自帶的peaks函數生成一個二維帶限函數作為這里的，其數學表達式形式記為：，為了更好的觀察原連續函數的帶寬，可利用Matlab繪制三維頻譜函數，以及沿u、v方向二維顯示的中心剖線。該函數的空域圖形與沿u方向的頻譜中心剖線如圖1。

根據的中心剖線圖可知，所選帶限函數的沿u，v方向帶寬都小于128個像素，由于圖像大小為256*256，根據抽樣定理，重構原函數的條件是抽樣間隔至少滿足Y=256/128=2個像素，可選擇X=Y=2。

為觀察欠采樣現象，選擇4個像素為抽樣點陣間隔，顯然不再滿足抽樣定理，應出現欠采樣。對按對應的位于原點的矩形函數作為64*64濾波器進行頻譜濾波，再傅里葉逆變換，則可看到對應的濾波后的頻譜與復原函數如圖2所示。由于出現欠采樣，原函數頻譜高頻信息出現部分丟失，復原的函數相比原函數也出現了明顯高頻丟失現象，引起了失真。

4?結論

本文以二維連續函數為例，對抽樣定理進行了理論論述，對抽樣條件不滿足時的欠采樣進行了重點仿真分析。可以看出，當帶限連續函數的采樣間隔不滿足抽樣定理要求而出現欠采樣時，使用對應的濾波器進行頻譜濾波后，將出現高頻信息的丟失，而導致復原的函數明顯失真，該結果表明抽樣間隔的選擇對于原函數的正確復原非常重要。此外，通過給出多個二維和三維的仿真圖形，從時域和頻域分別對原函數和抽樣函數進行了展示和分析，有助于更直觀的理解抽樣定理的內涵。

參考文獻

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作者簡介：吳云飛（1980—），女，重慶人，碩士，講師，研究方向為計算機應用技術、電氣工程及其自動化.