二叉樹上非齊次分支馬氏鏈一類強極限定理

李世林, 楊衛國, 石志巖

(江蘇大學理學院，鎮江 212013)

1 引言

對于樹圖上的每一個節點t，我們稱其下一層中與它相鄰的節點為節點t的子代，t為這些相鄰節點的父代.本文主要考慮二叉樹，記為T2，見圖1，其特點在于樹上的每一個節點t在下一層都有兩個不同的相鄰節點，即兩個不同的子代，分別記為t1和t2，同時用1t表示節點t的父代.

圖1 二叉樹T2

設(Ω,F,P)為概率空間，{Xt,t ∈T2}是定義在(Ω,F,P)上且取值于G={1,2,··· ,N}(N是正整數)的隨機變量集合，設B為T2的子圖，記XB={Xt,t ∈B}，xB表示XB的實現.

定義1[1]設T2為二叉樹.{Xt,t ∈T2}是定義在概率空間(Ω,F,P)上在有限狀態空間G={1,2,··· ,N}中取值的隨機變量集合，設p={p(x),x ∈G}是G上一概率分布，P=(Pt(y1,y2|x),t ∈T2)是定義在G×G2上的一隨機矩陣，滿足

則稱{Xt,t ∈T2}為具有初始分布p與隨機矩陣P并在G中取值的二叉樹上非齊次分支馬氏鏈.

定義2[2]設T是局部有限的無窮樹，G={1,2,··· ,N}為有限狀態空間，{Xt,t ∈T}是定義在概率空間(Ω,F,P)上在G中取值的隨機變量族，設

是G上一概率分布，

是定義在G2上的隨機轉移矩陣族.如果對于任意的頂點t，

且

則稱X={Xt,t ∈T}為具有初始分布式(4)和隨機轉移概率矩陣族(5)的樹指標G值非齊次馬氏鏈.

在二叉樹情況下，文獻[3]中指出樹指標非齊次馬氏鏈是一類特殊的非齊分支馬氏鏈，故有如下引理.

引理1[3]設{Xt,t ∈T2}是由定義1 定義的二叉樹上非齊次分支馬氏鏈，其轉移概率矩陣Pt= (Pt(y1,y2|x)), x,y1,y2∈G，如果存在轉移矩陣Qt= (Qt(y|x)), x,y ∈G，使得

則{Xt,t ∈T2}是樹指標馬氏鏈，其轉移矩陣為Qt.

近年來，樹指標隨機過程的極限性質被學者們廣泛研究且研究成果頗豐，Benjamini和Peres[4]提出了樹指標馬爾科夫鏈的定義，并且對該模型的常返性以及射線常返性進行了研究.Dong 等[2]則考慮了在有限狀態空間取值的Cayley 樹指標非齊次馬氏鏈，并給出了相應的其強大數定律及漸進均分性(AEP).Guyon[5]提出了取值于任意狀態空間的二叉樹上分支馬氏鏈模型，并研究了該模型的強大數定律及中心極限定理.Dang 等[3]則在Guyon 的研究基礎上建立了離散狀態空間下二叉樹上非齊次分支馬氏鏈的定義，討論了其強大數定律和熵遍歷性定理，并且給出了該模型與樹指標馬氏鏈之間的等價性.隨后對于有限或可列狀態空間上的二叉樹分支馬氏鏈的強大數定律，Shannon-McMillan 定理以及等價性質也被廣泛的討論[1,6-8].劉文[9]率先提出了有限狀態空間下非齊次馬氏鏈隨機轉移概率調和平均的極限定理，石志巖和楊衛國[10]推廣了上述結果，研究了一般樹圖上的樹指標非齊次馬氏鏈的隨機轉移概率調和平均的極限定理.此后，對于樹上路徑過程隨機條件概率的調和平均，幾何平均的強極限定理的研究也取得了一些成果[11,12].近期，石志巖等[13]也在馬氏環境下，討論了樹指標馬爾可夫鏈轉移概率的強極限定理.本文主要考慮在有限狀態空間G上取值的二叉樹上非齊次分支馬氏鏈的一類強極限定理，首先我們給出了二叉樹上非齊次分支馬氏鏈的強極限定理，進而利用該極限定理研究了其隨機轉移概率調和平均的強極限定理，最后借助于文獻[3]中給出的二叉樹上樹指標非齊次馬氏鏈與非齊次分支馬氏鏈的等價性質，指出了樹指標馬氏鏈調和平均的強極限定理可作為本文所得結果的一個推論.

2 主要結果

引理2[3]設T2為二叉樹，{Xt,t ∈T2}是如定義1 所定義的在有限狀態空間G上取值的二叉樹上非齊次分支馬氏鏈，gt(x,y1,y2)是定義在G3上的函數族.設L0={o}, Fn=σ(XT(n))，則其中λ為實數，則{tn(λ,ω),Fn,n ≥1}為非負鞅.

定理1 設T2, {Xt,t ∈T}, gt(x,y1,y2)如引理1 所定義，{an,n ≥1}為非負隨機變量序列，設α ＞0，則

當|λ|＜α，利用不等式

當0＜λ ＜α時，式(17)兩側同除λ，注意到式(11)和式(12)，有

于是由式(19)和式(20)，可知式(13)成立.

注1 文獻[3]中研究了與之相似的二叉樹上非齊次分支馬氏鏈的強極限定理，其使用的條件為

本文則在新的條件下研究了該強極限定理，所得結果更易于推出二叉樹上非齊次分支馬氏鏈隨機轉移概率調和平均的極限定理及樹指標非齊次馬氏鏈隨機轉移概率調和平均的極限定理.

推論1 設T2是二叉樹，X={Xt,t ∈T2}, {gt(x,y1,y2),t ∈T2}, Hn(ω)與Gn(ω)如定理1 中所定義.如果存在α ＞0，使得對任意的ω ∈Ω，有

證明 令an=|T(n)|，由式(21)可知D(α)=Ω，故由定理1 可得本推論成立.

接下來，利用推論1 可以得到二叉樹上非齊次分支馬氏鏈轉移概率調和平均的強極限定理.

定理2 設{Xt,t ∈T2}是如上定義的二叉樹上非齊次分支馬氏鏈，其初始分布和轉移概率族分別為故由式(31)，可得推論2 成立.

下面說明由推論2 可以推出文獻[10]中樹指標非齊次馬氏鏈轉移概率矩陣的極限定理.

推論2[10]設T2是二叉樹，{Xt,t ∈T2}是由定義2 定義的樹指標非齊次馬氏鏈，其初始分布和轉移概率族分別為