基于改進平方根變換的計數值FIMSE 控制圖

陳培樂 王美涵 楊志清＊

（閩南師范大學 數學與統計學院，福建 漳州 363000）

1 概述

在實際生產中，許多質量特性無法方便地用數值方法測量，通常用有缺陷或無缺陷，合格或不合格的術語來區分質量特性，這種劃分方法通常導致屬性控制圖不像變量控制圖那樣信息豐富。為了使正態分布達到更好的近似，同時提高屬性控制圖的監控性能，Tsai 等人[1]使用改進的平方根變換方法構造屬性數據控制圖。

在傳統的統計過程控制（SPC）中，質量特征是用單一值的形式來描述的，隨著測量技術的發展，越來越多的質量特征用區間值的形式來描述。例如，每天收集各種產品的不合格品數，最小不合格品數和最大不合格品數就構成了一個區間范圍。然而，這些信息不能應用于傳統的質量控制方法，因為利用區間值數據構造控制圖比較困難，所以一般采用處理后的單一值數據來構造控制圖。在對這些原始的區間值數據進行處理后，會丟失一些重要的信息，所構造的控制圖可能會提供錯誤的信號。Cheng 和Yang[2]提出了一種基于模糊區間數據的標準化區間值控制圖，該圖的性能比傳統的休哈特均值控制圖要好。Yang[3]提出了基于相依區間值數據的模糊相對加權移動平均（FRWMA）控制圖來監測過程的質量特征，比傳統的移動平均控制圖可以更快地檢測到過程失控的變化。

2 計數值FIMSE 控制圖的設計

Spring 和Cheng[4]提出了同時監測過程均值和方差的均方誤差（MSE）控制圖，可以快速地檢測到過程參數的變異。為了解決計數值模糊區間數據難以構建控制圖的問題，挖掘更多原始數據所蘊含的信息，本文考慮采用改進的平方根變換（ISRT）方法構造計數值模糊區間均方誤差（FIMSE）控制圖，ISRT 方法把離散型區間數據轉換成連續型區間數據，使正態分布達到更好的近似，用轉換的連續型區間數據構建模糊區間均方誤差控制圖，可以同時監測過程均值和方差的偏移，提高屬性數據控制圖的監控性能。

假設有一組來自二項分布的隨機變量X=（x1，x2，…xn），試驗次數為k 且每次試驗的成功率為p，即X～B（k，p）。根據二項分布轉換成正態分布的反正弦變換方法[1]，轉換的式子表示為的計數值隨機變量X={（x11，x21），（x12，x22），…，（x1n，x2n）}，用改進平方根變換的方法將計數值的模糊區間隨機變量轉換為計量值的模糊區間隨機變量，然后對數據按照值的大小進行排序，排序后的新隨機變量表示為Y= {（y11，y21），（y12，y22），…，（y1n，y2n）}，即

根據Wu 和Chang[5]提出的模糊區間變量假設檢驗的定義，對于計數值FIMSE 的假設檢驗，設原假設H0為FIMSE 落在1-α 置信區間之內，備擇假設H1則為FIMSE 落在1-α 置信區間之外，假設檢驗定義為：

由于均方誤差值越大代表偏離目標值的程度越大，值越小或趨于零時代表偏離目標值的程度越小，故令控制下限LCL1=0，則在顯著水平α 的假設條件下，模糊區間均方誤差變量FIMSE1失控現象的概率函數表示為：

FIMSE=[0.007，0.013]，說明該樣本與目標值的差異程度在0.007 至0.013 之間波動。

3 模擬分析

步驟2：利用新的連續型隨機變量分別計算統計量FIMSE，樣本平均值Y。

步驟3：重復步驟1 和步驟2，計算落在控制界限之外的平均樣本子組數量，即ARL0近似370 時的L 值和控制界限。

步驟4：計算失控狀態下的監測統計量落在控制界限之外的ARL1。

表1 列出了n=5，p 取不同值時計數值FIMSE 圖、樣本均值Y 圖和不良率P 圖的ARL0近似370 時所對應的控制界限系數L 值。表2 列出了n=5，p 取0.10，δ1，δ2取不同值時計數值FIMSE 圖、樣本均值Y 圖和不良率P 圖的ARL1。可以看出，當

表1 計數值FIMSE 圖、樣本均值Y 圖和不良率P 圖的ARL0

表2 計數值FIMSE 圖、樣本均值Y 圖和不良率P 圖的ARL1

過程失控時，計數值FIMSE 圖的ARL1都小于樣本均值Y 圖和不良率P 圖的ARL1。例如：p 取0.10，δ1取0.1，δ2取1.5 時，FIMSE 圖測得失控的ARL1為4.931，而Y 圖測得失控的ARL1為21.17，P 圖測得失控的ARL1為24.22。這意味著當過程均值和方差發生變化時，計數值FIMSE 圖可以較快地測得失控現象，比樣本均值Y 圖和不良率P 圖具有更好的監控效果。

4 實證分析

本節采用Montgomery[6]中濃縮果汁罐頭包裝每50 次檢測（k=50）的不合格品數據進行分析，以每2 組構成一組模糊區間數據的最小不合格品率和最大不合格品率，并設樣本容量n=5。設變量X 為缺陷罐數，Y 為X 的變換值，T 為缺陷罐數的目標值。首先，根據給定的初始參數，通過模擬計算出計數值FIMSE圖、樣本均值Y 圖ARL0近似等于370 時所對應的控制界限系數L 值。然后把變量X 轉換成變換Y，計算Y 的樣本均值和標準偏差，計算出對應的控制界限。最后根據觀測數據，分別計算計數值FIMSE 統計量和樣本均值Y 統計量，根據計算的統計量和對應的控制界限分別繪制控制圖。

不良率P 圖中沒有發現樣本點出界，計數值Y 圖中第3 組樣本最先被監測到出界，而在計數值FIMSE 圖中第2 組樣本最先被監測到出界。結果表明，當數據是計數值區間數據時，使用計數值FIMSE 圖比計數值Y 圖和不良率P 圖更快的監測到過程參數的變化。此外，計數值FIMSE 圖可以提供更多有效信息，例如：計數值FIMSE 圖中第1，第2，第3 和第9 組樣本的區間長度比其他組樣本的區間長度要大，表明這些樣本與目標值的差異程度變化的幅度較大，對于變化幅度較大的樣本組也要適當引起注意，避免產品不良率的攀升。

圖1 計數值FIMSE 圖

圖2 計數值Y 圖

圖3 不良率P 圖

5 結論

隨著信息技術和測量技術的不斷發展，越來越多的質量特征以區間值數據的形態來描述。在質量管理領域，模糊數據控制圖也逐漸被廣泛應用于監測過程的質量特征。本文提出了一種基于改進平方根變換的計數值模糊區間均方誤差控制圖，研究結果表明，計數值模糊區間均方誤差控制圖的監控效果優于傳統的樣本平均值控制圖和不良率控制圖，利用模糊區間統計方法來構建控制圖，可以更好地指導生產，提供更具有價值的參考信息。