基于貝葉斯算法的天線端到端優化

田春明, 楊 安, 葉 樂, 李建星, 賀雨晨

(1. 西安交通大學信息與通信工程學院, 陜西 西安 710049; 2. 北京大學微納電子學系, 北京 100871;3. 西安交通大學電子科學與工程學院, 陜西 西安 710049)

0 引 言

隨著天線的結構越來越復雜,需要優化的參數數量越來越多,快速有效的優化算法對天線設計至關重要。天線優化需要經過反復迭代的過程,受限于電磁仿真時間,實際的電磁仿真次數應盡可能少,以便快速實現優化目標。天線的優化可以被視為黑盒函數優化的問題,由于無法直接使用基于梯度下降的優化算法,進化算法(例如遺傳算法、粒子群算法、模擬退火算法等)被廣泛使用于天線設計[1-4]。由于進化算法需要大量的種群迭代,為了解決計算開銷大的瓶頸,代理模型的方法被用于此類優化問題[5]。代理模型基于已采樣數據,對被代理的函數做出擬合,能夠顯著減小計算量。近年來,建立在代理模型基礎上的天線優化方法已成為趨勢[6-16]。代理的數學模型有高斯過程(在地質統計學中被稱為Kriging)[6-13]、支持向量回歸[6]、神經網絡[14-15]等。代理模型結合進化算法的方法日益廣泛地應用于天線設計[8-9,11-12,16]。

在很多公開文獻中,代理模型分別建立在目標頻段范圍內多個頻點上[8-9],然后綜合這些頻點的擬合值進一步構建目標函數。在天線設計中,通常需要在一些限制條件下優化多個目標。對于這樣的優化問題,已有的大部分文獻提出了使用多目標優化的算法[8-12]:在代理的基礎上通過迭代找到帕累托前沿;進一步地,可以在帕累托前沿中使用一個度量篩選出最佳天線參數組合。但是,在多目標優化中需要為優化目標和限制條件分別建立代理模型,計算開銷大。文獻[17]提出了一種綜合目標函數的建立方法,該目標函數由分別代表S11、方向圖、增益、天線尺寸的分目標函數綜合而成,在建立綜合目標函數的基礎上,使用進化算法,整個優化過程以端到端的方式解決。

由于天線優化通常建立在小數據集上,神經網絡在小數據集上表現出過擬合;支持向量回歸不能作出不確定性估計;而高斯過程可以基于樣本集估計出后驗均值和方差[18]。為進一步利用代理模型提供的信息,建立在高斯過程的基礎上,貝葉斯優化的迭代過程可以定量地結合后驗均值和方差,以平衡探索和利用[19]。文獻[20-22]中,貝葉斯優化被用于模擬電路的優化,相對于進化算法,貝葉斯優化表現出了明顯的優勢。文獻[23]提出了使用貝葉斯優化進行湍流模擬的優化。文獻[24-25]中,貝葉斯優化被用于機器學習的模型和超參數的優化。文獻[7]中,貝葉斯優化被用于簡單的單目標天線優化。2020年,在機器學習會議NeurIPS舉辦的黑盒函數優化競賽中,大量的研究工作都是基于貝葉斯優化[26-30]。因此,本文在貝葉斯優化的框架下,研究天線的快速優化問題。

綜合上述工作,本文首先建立直接從天線參數到綜合目標函數的映射關系,以實現簡潔的端到端優化方式。其中,目標函數綜合了分目標和限制條件。基于建立的綜合目標函數,使用高效的貝葉斯優化進行迭代。最后將提出的優化算法用于圓極化貼片天線[6]和平面八木天線[9]的優化。結果表明,本文算法的優化結果和優化速度都具有明顯的優越性。

1 目標函數建立

多目標優化問題可以表示為以下形式:

maximize (f1(x),f2(x),…,fm(x))
s.t.ci(x)>0, ?i∈1,2,…,Nc

(1)

式中:Nc為限制條件的個數;m表示目標函數的個數。在多目標優化中,首先需要找到帕累托前沿,然后通過合適的度量找到最終的解。通常,天線的優化問題可以抽象為上述形式。如果將多個分目標和限制條件綜合為一個目標函數,優化綜合的目標函數相當于考慮了限制條件情況下優化各個分目標[17],因此可以將總目標函數定義為

F=ggn(Fgn)+gS11(FS11)+gwp(Fwp)+gAR(FAR)+…

(2)

式中:Fgn表示增益目標函數；FS11表示S11目標函數；Fwp表示天線位置關系目標函數；FAR表示軸比目標函數；g**表示對應的分目標函數再取復合函數。對各個分目標函數、限制條件取不同的復合函數,使其對不同的取值區間有不同的敏感度,從而通過對目標函數值的優化引導天線優化的方向。

2 優化算法

2.1 高斯過程

2.1.1 模型簡述

假設對于有限采樣{x1,x2,…,xn}∈xd,向量[f(x1),f(x2),…,f(xn)]T滿足多變量的高斯分布

(3)

式中:μ是一個n×1向量;K是一個n×n協方差矩陣。高斯過程可以完全被均值函數m(x)和協方差函數k(x1,x2)表示。式(3)中,均值向量μ由m(x)決定,μi=m(xi),?i∈1,2,…,n,協方差矩陣由協方差函數表示為Kij=k(xi,xj)。

均值函數和協方差函數可以被看作是對未知單輸出函數y=f(x)的先驗估計。高斯過程的協方差函數也被稱為高斯過程核函數。本文使用的核函數為Matérn,其形式為

(4)

核函數式(4)中的超參數可以通過對樣本數據集的學習得到。

2.1.2 輸出預測

假設訓練集為D={X,y},對于仿真軟件而言,其仿真結果為確定值,不需考慮觀測噪聲。其中X={x1,x2,…,xN},y={f(x1),f(x2),…,f(xN)}。給定一個新的輸入點x*,則y*=f(x*)和y可表示為聯合高斯分布:

(5)

式中:m=[m(x1),m(x2),…,m(xN)]T是一個N×1的均值向量,且有:

k(x*,X)=[k(x*,x1),k(x*,x2),…,k(x*,xN)]

(6)

k(X,x*)=k(x*,X)T

(7)

(8)

y*以y為條件的分布服從正態分布,其分布可以表示為

(9)

(10)

式(10)給出了輸入點x*對應的輸出預測均值和方差。

2.1.3 超參數學習

高斯過程的均值函數、協方差函數含有超參數,在采樣數據集的基礎上使用最大似然估計法學習超參數,提升對未知輸入預測的準確度。似然的表達式為

(11)

將其轉化為負對數邊緣似然:

(12)

對其求解最小化,得到高斯過程的超參數θ。

2.2 貝葉斯優化

貝葉斯優化[19]由代理模型和獲得函數兩大部分構成。在高斯過程建立代理模型后,獲得函數被用來進行迭代。

2.2.1 獲得函數

本文使用的獲得函數為置信上界(upper confidence bound, UCB)。假設已采樣t-1次,得到數據集Dt-1={(x1,y1),(x2,y2),…,(xt-1,yt-1)}。則有

αUCB(x;θ,Dt-1)=μ(x;θ,Dt-1)+κσ(x;θ,Dt-1)

(13)

式中:κ控制迭代過程中探索與利用之間的平衡,κ越小,越偏向于利用;κ越大,越偏向于探索;θ為高斯過程的超參數。通過最大化獲得函數,找到下一個需要探索的點。

2.2.2 優化過程

貝葉斯優化流程如圖1所示,在優化過程中,首先隨機采樣一部分樣本作為初始樣本集;在每次迭代過程中根據樣本集對模型進行訓練;求解獲得函數最大化找到下一個需要迭代的點;代入仿真軟件進行電磁仿真;將仿真結果加入樣本集;如果滿足終止條件則結束。

圖1 貝葉斯優化流程圖Fig.1 Flowchart of Bayesian optimization

在圖2所示的算例中,初始隨機采樣4個函數值,通過高斯過程根據樣本集對待優化函數做出擬合,圖2陰影部分表示估計的均值與±σ的范圍,在代理模型的基礎上使用獲得函數找出下一個需要探索的點。在第6次迭代中,找到了幾乎是待優化函數的最優解。

3 優化算法在天線中的驗證

本節分別采用一個圓極化貼片天線[6]和一個平面八木天線[9]驗證前文所述的優化算法,針對相同的問題對比本文提出的優化算法與引用文獻中的優化算法,算法的比較主要體現在簡潔程度、優化結果和優化速度3個方面。本文使用計算機配置為AMD 12-Core-3.8 GHz處理器, 64 GB內存,Windows 10操作系統;使用的仿真軟件為Ansys-Ansoft HFSS 2019;編程語言為Python3.7;優化算法代碼基于文獻[31]。

3.1 圓極化貼片天線的優化

如圖3所示,此天線[6]通過同軸饋電。介質的相對介電常數為εr=1.56,損耗角正切為tanδ=0.012,厚度為h=3.94 mm。分別在1.563 42 GHz、1.575 42 GHz和1.587 42 GHz頻率下進行仿真求解。

圖3 圓極化貼片天線模型Fig.3 Model of circular polarization patch antenna

在文獻[6]中,優化目標為

(14)

式中:Gainmin為3個頻點中增益最小值;ARmax為仿真最大軸比;ARlim為要求軸比上限(-3 dB);S11max為仿真最大S11;S11lim為要求S11上限(-10 dB)。優化參數(單位為mm)及優化區間為

(15)

在文獻[6]中,作者用Kriging、徑向基函數(radial basis function, RBF)、支持向量回歸做代理模型集,迭代過程中對采樣點的選取使用了基于提升概率(hypervolume-based probability of improvement, PoI)和可行性概率(probability of feasibility, PoF)的方法,迭代后得到帕累托前沿,其包含范圍為2.81 dB≤AR≤3 dB、4.75 dB≤Gain≤4.85 dB、-30 dB≤S11≤-10 dB。再用超體積度量演進(evolution of the hypervolume metric, EoHE)找到其中一個最優解(AR=2.83 dB、Gain=4.82 dB、S11=-15.9 dB)。文中用了132個初始點,250次迭代。

在本文中,將目標函數轉化為

f(xpatch)=10(3-ARmax)+0.2(-10-S11max)+
(Gainmin-4)

(16)

式中:xpatch表示為待優化的參數組合。為提高對ARmax的敏感性,將其對應的系數設置的為10;其次將Gainmin部分的對應系數設置為1;相對而言,S11max最容易被優化到-10 dB以下,將其對應的系數設置為0.2。為驗證高斯過程的擬合效果,隨機生成55個樣本點,隨機選擇其中50個樣本點作為訓練集,剩余5個樣本作為測試集,其擬合值和真實值的對比如表1所示。在貝葉斯優化中,將初始化采樣數量設為50,將迭代步數設為200。將優化算方法重復3次得到圖4,優化結果總結如表2所示。

表1 高斯過程在圓極化貼片天線上的擬合

圖4 圓極化貼片天線目標函數取值隨時間變化Fig.4 Objective function value changing with time consumption in the circular polarization patch antenna

表2 圓極化貼片天線優化結果

從表1可以看出,高斯過程有效地預測了待優化的目標函數。從表2可以看出,3次優化均得到了優于文獻[6]的結果;雖然初始隨機樣本點為50,迭代次數為200,但是可以看出,大約只用到三分之一的樣本數就達到了優于文獻[6]的優化結果;優化算法本身耗時36 s;而且,整個優化過程以端到端的方式實現。

3.2 平面八木天線的優化

如圖5所示,平面八木天線由微帶巴倫、共面饋電帶線、有源振子和引向器組成。介質為厚度0.635 mm的Rogers RT6010,金屬化為35 μm的銅。待優化的參數為x=[s1,s2,v1,v2,u1,u2,u3,u4]T,其他參數滿足w1=w3=w4=0.6,w2=1.2,u5=1.5,s3=3.0,v3=17.5(單位為mm)。在文獻[9]中,優化目標為

(17)

圖5 平面八木天線模型Fig.5 Model of planar Yagi antenna

優化參數(單位為mm)的范圍為

(18)

文獻[9]使用了Kriging和Moea的算法。在頻段內取多個頻點,針對每個頻點建立代理模型;由于天線的設計參數空間維度較高,在部分代理模型的建立過程中,整個結構被分為天線部分和巴倫饋電部分進行仿真和建模。經過約47 h的優化得到帕累托前沿如圖6所示。

圖6 平面八木天線對比文獻[9]中的優化結果Fig.6 Optimized results of planar Yagi antenna in [9]

在本文中,將其轉化為綜合的單目標優化的問題:

f(xYagi)=fs(-10-max(S11(f))+
7(mean(Gain(f))-4)

(19)

(20)

在這里,將fs設置為分段線性函數,使其對不同的max(S11(f))取值范圍有不同的敏感度,當max(S11(f))低于-15 dB后,繼續降低max(S11(f))帶來的收益非常小,此時應將更多的優化重心放到天線增益上。

在本文中,將整個天線作為一個整體進行仿真和優化。為驗證高斯過程的擬合效果,隨機生成105個樣本點,隨機選擇其中100個樣本點作為訓練集,剩余5個樣本作為測試集,其擬合值和真實值的對比如表3所示。在貝葉斯優化中,將初始化樣本集設為100,優化迭代步數設為200。將優化算法重復運行3次,優化過程如圖7所示。每一次的優化結果總結如表4所示。

表3 高斯過程在平面八木天線上的擬合

圖7 平面八木天線目標函數取值隨時間變化Fig.7 Objective function value changing with time consumption in planar Yagi antenna optimization

表4 平面八木天線優化結果

從表3可以看出,高斯過程有效地預測了待優化的目標函數。從表4可以看出,本文優化算法得到的效果優于文獻[9],盡管在圖6中,最優平均增益達到了約6.52 dB,但是其S11值明顯不符合要求。在本文中,天線整個優化耗時約為16.7 h,優化算法本身耗時79 s;原文獻對頻段范圍內多個頻點分別建立代理模型,由于優化參數空間(8維)過大,原文獻在部分代理模型建立中采取了饋電部分和輻射部分分開仿真的做法,而在本文中,整個優化過程以端到端的方式實現。

4 結 論

本文首先使用端到端的方法建立天線優化的綜合目標函數,精簡后續優化過程。在綜合目標函數建立的基礎上,提出使用貝葉斯優化算法對天線進行優化。將優化算法用在圓極化貼片天線和平面八木天線上進行了驗證。相較于對比文獻,本文提出的優化算法有更好優化結果、更快的優化速度,且優化過程簡潔,以端到端的方式實現。盡管本文使用綜合目標函數方法定義出的目標函數并非理論上最優,但是通過3個天線算例的仿真和對比,表明與現有方法相比,其優化結果具有明顯的優越性。