畫圖法在低段數學中的運用

朱振華

（浙江省義烏市香山小學）

數學這門學科是比較抽象的，對學生的思維能力有較高的要求。而現實的教學中，抽象思維能力不足、理解能力不強的學生，需要借助直觀的形象，才能更好地理解題意、分析問題、解決問題。所以，畫圖法就成為學生解決問題的重要方法。作為數學老師，尤其是低段的數學老師，在學生剛接觸解決問題的知識時，就應有意識地培養他們的畫圖意識和能力，將題目以更為直觀形象的方式表示出來，讓學生根據題意，靈活借助畫圖法來解決問題。

一、畫圖法在低段數學教學中的價值和作用

所謂畫圖法，就是通過簡單圖形表達出題中信息。具體而言，就是利用畫圖手段達到“化抽象為直觀，化復雜為簡單，化隱性為顯性”的目的，讓學生更為直觀地理解抽象的數學問題。教師將數學題目中的各種信息直觀地以圖形的形式呈現給學生，幫助學生快速理解題意，厘清思路，從而突破難點。

（一）巧用畫圖，提高興趣

一、二年級的學生邏輯思維能力還沒有形成，在分析某些數學問題時，題意看不懂，思路不清晰，加之枯燥的數學計算，學生很容易產生厭煩、恐懼和排斥情緒。興趣是學習最好的老師，提高了學生對解決數學問題的興趣，才能更好地調動他們的數學學習的積極性，其思維能力才能得到提升。畫圖法能將枯燥、抽象的文字變得形象直觀，以畫促思，化難為易，讓他們在實踐中體會畫圖法解題的作用和價值。學生有了解決問題的信心，自然而然對數學學習產生了興趣。例如，我們在教學雞兔同籠問題時，就可以采用畫圖法。例題：“雞兔同籠，頭有5個，腿有12條，請問籠里有幾只雞？”我們可以畫5個“○”表示5個頭；“|”表示腿，先假設全是雞，從圖1中可以看出，5只雞有10條腿，而信息中說“腿有12條”，也就少了12-10=2（條）腿，什么原因呢？關鍵在于1只兔子有4條腿，一只兔子少算了2條腿，這樣在之前的示意圖上加兩條腿，如圖2，把一只雞變成一只兔子即可。借助畫圖，學生可以直觀地理解題意，從而明白其中的道理，這也為后續用假設法解決雞兔同籠問題做好鋪墊。

圖1

圖2

（二）巧用畫圖，降低難度

低段小學生邏輯思維能力和分析問題的能力不強，尤其是對于需多次轉彎思考的問題存在較大的困難。針對這個問題，教師可以借助畫圖法，幫助學生理順思路，從而直觀、輕松地解決數學問題。例題：“一排20個座位，其中有些座位已經有人，小明無論坐在哪一個座位上，旁邊都有一個人與他相鄰，那么原來至少有多少人已經就座？”

根據題意，要使小明無論坐在哪一個座位上，旁邊都有一人和他相鄰，那么兩個人之間就只能有兩個空位。如果第一個座位為空位的話，那么第二個座位必須有人。依據以上條件，座位有人的情況我們用“▲”表示，空位的情況用“△”表示，可以畫圖△▲△△▲△△▲△△▲△△▲△△▲△△▲，通過畫圖可以直觀地看出，原來至少有7個人已經就座。

（三）巧用畫圖，提升思維

畫圖法不僅可以將問題簡單化、形象化，還可以歸納出同類問題（如排隊問題、間隔問題）類型相同、條件不同時的解決方法，既提高學生的概括能力、觀察能力和思維能力，也節省了解決同類問題時的時間。

例題1：“合唱組參加表演。站成一排，從左往右數，淘氣是第8個，從右往左數，淘氣是第7個，合唱隊共有多少個同學參加表演？”我們依然可以引導學生借助畫圖法來理解。通過圖3，我們可以直觀看到，從左往右數，包括淘氣共有8人，從右往左數時，包括淘氣共有7人，如果直接計算8+7，那么淘氣就被重復算了，應該減去1。因此正確計算方法為：8+7-1=14（個）。

圖3

例題2：“同學們排成一排，蘭蘭前面有7人，從后數蘭蘭是第9人，這一排一共有多少人？”同樣的，我們可以根據題意畫圖（圖4）。通過畫圖可以知道，蘭蘭的前面不包括蘭蘭在內有7人，從后往前數包括蘭蘭在內有9人，把前后數出的人數相加就是這一排的人數，即7+9=16（人）。

圖4

例題3：“一群小猴站成一排，小猴胖胖的左邊排有9只小猴，它的右邊有5只小猴，共有小猴多少只？”根據數學信息，我們可以畫圖（圖5）。從圖中我們可以看出，胖胖的左邊有9只小猴，右邊有5只小猴，如果只是將兩數相加，這一排就少了小猴胖胖，因此，把兩數相加后還得加1，即9+5+1=15（只）。

圖5

以上三道例題都屬于排隊問題，都有一個中心人物，不同的是每個中心人物有重復出現的，有出現一次的，有一次都沒有出現的。我們通過畫圖比較分析可以得出：在同一排（或同一列）中，中心人物重復出現時，只要兩數相加后減1；中心人物只出現一次，只要將兩數直接相加；中心人物一次都沒有出現，兩數相加后加1。畫圖是為了更好地理解題目，通過畫圖讓學生學會解決一些實際問題的手段，對于一些同類問題，教師不僅要教會學生畫圖的方法，更要讓學生通過直觀圖總結出解決的方法，這樣，再遇到此類題目，他們就可以直接運用掌握的方法解決問題，而不是一味地作圖。

（四）巧用畫圖法，培養觀察思辨能力

通過圖形描述和分析問題可以有效地提高學生的幾何直觀能力，而幾何直觀能力的提高有助于將抽象復雜的數學問題變得簡單形象，從而更好地幫助學生探索數學問題的解決思路，發現數學問題的本質。

如在教學“線的認識”時，當學生初步感知線段、射線和直線的特征后，教師可以讓學生畫一條3厘米長的線段，再畫一條射線和一條直線。畫線段時，必須定起點，長度為3厘米，最后定終點；畫射線時，定起點，畫直線；畫直線時，不定起點，直接畫。這樣一畫，“線段有兩個端點，有具體長度，可量；射線只有一個端點，可以向一端無限延長，無具體長度，不可量；直線無端點，可以向兩端無限延長，無具體長度，不可量”的特征，教師無須多做解釋，學生已經理解并牢記于心。

二、畫圖法在低段數學教學中的運用研究

畫圖法是眾多解題策略中最基礎的策略，它能幫學生直觀地理解題意，找到解題突破口。但是題型不同，所采用的畫圖法也不一樣。下面我就談談在二年級數學教學中常用的三種畫圖法。

（一）線段法，尋求解題突破口

線段法是由若干條線段組成，通過畫圖幫助學生厘清等量關系，進行深入分析，尋求解題的突破口，從而降低解題難度，它可以有效地提高學生的抽象思維能力。

例題1：“一筐雞蛋第一次賣了全部的一半，第二次又賣了余下的一半，這時還剩下9個。原來這筐雞蛋有多少個？”

我們可以引導學生通過畫線段圖來理解題意（圖6）。由圖中可知，第二次賣雞蛋的一半后還剩下9個雞蛋，而這9個雞蛋實際上和第二次賣的雞蛋一樣多，所以第一次賣雞蛋剩下的正好是9+9=18（個），而第一次賣的雞蛋正好是總雞蛋數的一半，所以原來的雞蛋有18+18=36（個）。

圖6

（二）簡易圖形代替法，提升解題有效性

在平時的學習過程中，對于一些復雜的圖形，在進行畫圖時我們可以采用簡易幾何圖形代替法進行，大大縮短審題、畫圖時間的同時，還能有效厘清關系，降低難度，加快解題速度，提高解題正確率。

例題2：“廣場上有一些阿姨在跳廣場舞，她們排成了一個方陣，無論從前往后數，從后往前數，還是從左往右數，從右往左數，李阿姨都排在第3，算一算一共有多少個阿姨在跳舞。”根據題意畫圖如下（圖7），△代表其他阿姨，●代表李阿姨。從圖中可以看到，李阿姨站的這一橫排人數是3+3-1=5（人），站的這一豎排人數是3+3-1=5（人），那么跳廣場舞的總人數就是5個5人，即5×5=25（人）。

圖7

（三）樹形圖，彰顯有序思考

樹形圖是畫圖方法中結構最簡單卻又十分重要的方法，在生活中、工作中都有廣泛的應用。如搭配早餐、搭配衣服、挑選線路等排列組合問題，要想做到結果不重復也不遺漏，選用樹形圖最合適，它既能直觀地呈現各種結果，又能不重復、不遺漏，有序地呈現結果。例題3：“蘭蘭有4件上衣，3條褲子，有幾種不同的搭配方法？”

我們可以把搭配的情況用連線的方法表示（圖8），從連線圖中，我們發現1件上衣可以分別與3條褲子搭配，那么4件上衣和3條褲子搭配就相當于4個3，有3×4=12（種）不同的搭配方法。

圖8

三、畫圖法在低段數學教學中的一般步驟

蘇霍姆林斯基曾說：“如果哪個學生學會了畫應用題，我就可以有把握地說，他一定能學會解應用題。”可見，畫圖法在小學數學解決問題中起到橋梁的作用。但是在實際教學中，很多學生只有在教師的提示下才會知道選用何種畫圖法來解決數學問題。“授之以魚不如授之以漁”，方法比結果更為重要。作為教師，應有意識、有方法地進行畫圖法教學，讓學生在畫圖過程中體會方法、感悟策略，引導學生逐步踏上數學思維之旅。在教學中，我一般會按以下幾個步驟實施。

（一）熟讀題目，審清題意

“讀書百遍，而義自見。”讀題是畫圖解決問題的第一步，只有多讀，才能明確題目中的已知信息和問題，弄清題意，為接下來的解題奠定基礎。在讀題時，我會讓學生畫出關鍵詞，如誰比誰多（或少），誰是“1”倍量，等等。

（二）理解題意，確定畫法

讀懂題意之后，就是解題最重要的一步——正確畫圖。我會啟發學生思考，以往教師在解決此類題時選用何種畫圖方法，方法選定后根據題目的已知信息和問題，畫出相應的圖形。

（三）找準關系，分析作答

每道解決問題其實都存在著一定的數量關系，畫圖能讓這些數量關系一目了然。我會引導學生借助直觀圖進行分析，思考解決問題的關鍵點，找出解決問題的方法。

四、畫圖法在低段數學教學中的評價策略

對于低段學生的畫圖要求不宜過高，不能強求學生畫的圖與教師或教材中的圖一模一樣，只要所畫的圖合理即可。教師應及時發現學生畫圖的好方法，與全班交流分享，不僅可以優化畫圖方法，還可以激發學生學習數學的積極性。

總之，在學生數學能力培養的重要階段，我們應注重學生的數學素養、數學思想的培養。數學思想包括數形結合，而在低段數學中，數形結合的表現形式就是畫圖法。所以，在數學的教學中，教師應善于將內容化難為易，運用直觀的畫圖法開展教學活動，提高教學效率和教學質量。