踏“學”有痕，潤“數”無聲
——以“數圖形的學問”為例探討數學思想方法的應用

朱 先

（浙江省義烏市香小教育集團楊村校區）

“數圖形的學問”是四年級數學教材“數學好玩”中的內容。本課重在把故事情境抽象成數線段問題，并借助圖形直觀描述和分析問題，再從圖形上升到算式符號，有序思考，做到不重不漏。大部分學生具備有序數的意識，對線段圖也并不陌生，但對于生活情境抽象成圖形描述存在困難，找不到它的數學模型。本文以“數圖形的學問”為例，從數學的數形結合、歸納推理、擇優、聯想類比等方面講述數學思想在“數學好玩”課中的應用。

一、對比篩選，化繁為簡

我國著名數學家華羅庚曾說：“數形結合百般好，隔離分家萬事休。”“數”與“形”代表事物兩個方面的屬性，數形結合就是把抽象的數學具體化、直觀化，從而達到“以形助數”或“以數解形”的目的，優化解題途徑。在小學數學中，通常是將生活中的現實問題和數學中的數量關系轉化成線段圖來解決問題。

片段1：

出示鼴鼠鉆洞情境圖。

1.讀題：讀一讀鉆洞的規則，你有什么想說的？

明確規則：向前走，也就是不能從第二個洞進去從第一個洞出來。可以從任何一個洞口進入和出來。

2.想題：有多少條不同的路線？你是怎么想的？

3.畫題：一共有多少條路線？（寫寫、畫畫、數數）

依次展示學生的作品并說說自己的想法。

從繁到簡依次展示“圖” 解釋畫圖想法images/BZ_58_294_708_725_1031.png生1：我先把山洞畫出來，再從一個洞口鉆進去，從另一個洞口鉆出來，用線來表示一種鉆洞的方法，最后數了數，一共有6條。images/BZ_58_294_1092_725_1416.png生 2：我是用 1、2、3、4表示4個洞的名字，用帶箭頭的線來表示路線：從1洞口進去，再從2、3、4洞口分別出來；從2洞口進去，從3、4洞口出來；最后從3洞口進，4洞口出，一共6條路線。images/BZ_58_294_1472_725_1795.png生3：我和龔妙言想法很像，但我是用A、B、C、D表示洞口的，而且我還寫了算式：3+2+1=6（條）images/BZ_58_294_1831_725_2154.png生4：我是用線段圖來畫的，這兩個點之間的線就表示路線，3表示從第一點出發的3條路，2表示從第二點出發的2條路，1表示從第三點出發的1條路，所以也是6條。images/BZ_58_294_2201_729_2527.png生5：我的圖比羅天多了字母，這樣說起來比較方便，AB、AC、AD、BC、BD、CD。

4.擇優：對比這些畫圖方法，你認為哪種更好？為什么？

生1：第一種圖畫起來太麻煩了，線段圖更簡單些。

生2：用箭頭來表示進去和出來的不同，這個我很喜歡。

生3：我更喜歡用字母來表示洞口，因為如果用數字表示洞口，那么1、2又是12，容易混淆。

生4：我覺得用線段圖很好，這樣我們就可以把“鉆洞問題”變成“數線段問題”，數線段我們很熟悉，之前都學過的。

學生在數學學習中最多接觸的是“數”，頭腦中對圖形往往缺乏準確性或者過于廣泛化。課堂中學生畫圖的情況不一，代表了學生原來的畫圖經驗，因此從繁到簡依次展示不同思維層次學生的想法，逐步從情境圖中抽象出線段圖，將數學抽象對接學生原有經驗。然后組織學生討論與交流哪一種畫圖方法更好，放手讓學生自己去對比、篩選、發現哪一種圖更好，實現方法的擇優。經歷從低思維水平向高思維水平發展的過程，可以培養學生畫圖的活動經驗。這樣的“畫圖”的基本活動經驗，既可以讓學生學會抽象，又可以有序思考。通過“畫”與“數”來解決鼴鼠鉆洞問題，學生“畫”得越簡單越抽象也就越能表達自己有序思考的過程。數學知識化繁為簡，直觀形象，有助于“數形結合”思想的內化。

二、激發思考，方法多元

數學教育的目的不僅僅是要讓學生掌握知識，更重要的是讓學生學會數學的思維。數學課堂學習強調數學方法多樣化，不同的方法滲透著不同的思維，使得學生對知識的掌握更全面、更系統、更牢固。課堂中要讓學生經歷算法多樣的過程，用多樣化的數學思想方法來分析、解決問題，培養學生的數學思維。

片段2：

師：剛才我們從鼴鼠鉆洞問題中找到了“數線段”的方法，現在老師把它畫在黑板上（圖1），你還有其他有序數線段的方法嗎？

圖1

生：一段一段地數AB、BC、CD，兩段兩段地數AC、BD，三段三段地數AD，算式也是3+2+1=6（條）。

師：你聽明白了嗎？誰愿意再來說一說他的方法？

生：他是這樣數的，單獨一段的線段有3條，兩段合在一起組成的線段有2條，三段合在一起的線段只有1條。

師根據學生描述板書。（圖2）

圖2

師：這兩種方法之間有什么相同點？（小組交流討論并匯報）

生1：都是有序地數，不會重復也不會遺漏。

生2：都是解決同一個問題。

生3：都是一樣的算式。

師：這兩種方法之間有什么不同點？

生1：思考方法不一樣，第一種是固定一個點來數，第二種是根據線段的數量來數。

生2：我覺得雖然算式一樣，但是算式表示的意思是不一樣的，第一種的3表示AB、AC、AD，而第二種的3表示AB、BC、CD。

通過引導學生思考“你還有不同的有序數線段的方法嗎”，抓住數線段方法的本質，即有序地數；同時發散學生的思維，激發創新意識，滲透數學方法多樣化的思想。這個年齡的孩子注意力不夠穩定，思維專注力較弱，缺乏挑戰困難的勇氣。單一的解決問題的方法不僅會限制學生的思維，形成思維定式，還會抑制學生學習數學的興趣。課堂中提供給學生充分的時間和空間，讓其感受解決問題策略的多樣性。“數線段”的兩種方法沒有優劣之分，只是思考角度有所不同。學生對兩種方法的相同點和不同點的交流與討論，溝通了不同方法之間的內在聯系，可以更好地利用直觀的圖形模型解釋符號模型，培養學生有序思考的習慣。學生根據自己的實際情況，選擇自己擅長的方法，不同層次的學生獲得不同的發展。

三、舉例聯想，豐富模型

在數學課程中，應幫助學生建立數感、符號意識，發展運算能力和推理能力，初步形成模型思想。構建模型的過程包括：從具體情境中抽象出數學問題，用數學符號表示數量關系和變化規律，求解并討論其意義。數學建模是一種數學的思想方法，是解決實際問題的一種有效手段。

片段3：

師：數線段幫我們解決了有多少條路線的問題，像這樣的方法還能解決哪些問題呢？4人小組內說一說。

小組匯報：

images/BZ_59_1346_1261_1729_1437.png圖形聯想 解決問題聯想數角 比賽問題香山小學四年級要進行足球友誼賽，每兩個班都要比一場，4個班一共要比多少場？ 數三角形images/BZ_59_1384_1555_1689_1761.png握手問題4人小組內，每2人握一次手，一共需要握多少次手？ images/BZ_59_1335_1869_1729_2051.png數長方形 打電話問題新年到了，4個小朋友要打電話互相送祝福，請問一共需要打多少次？ 數正方形（有序） 購票問題義烏到杭州共有4個車站，有多少種不同的車票？

學生從“鼴鼠鉆洞”問題中初步抽象出圖形模型（線段圖）和符號模型（算式），本環節中重在思考“用這樣的方法還能解決生活中的哪些問題”，引導學生進行舉例聯想，利用遷移，圍繞同一個模型去發散思維。讓學生感受到生活中類似的問題，豐富學生剛建立的模型，更好地感悟數學模型的思想，辨別正例與反例，促進思維模型的完善和靈活運用。久而久之，學生會在諸如分析、理解數量關系時用到“畫線段圖”，形成幾何直觀的意識。

四、觀察思考，歸納推理

歸納推理是從特殊到一般的推理方法，即依據一類事物中部分對象的相同性質推出該類事物都具有這種性質的一般性結論的推理方法。歸納推理一般需要經歷觀察、求聯、猜測、驗證4個步驟。

片段4：

出示菜地旅行情境圖。

1.讀完題目你有什么想問的？

“單程”是什么意思？

2.現在你會根據情境畫出圖，有序地數一數了嗎？

學生獨立思考解決，根據學生作業板書。（圖3）

圖3

你來說一說你是怎么數的？（匯報兩種數線段方法）

3.如果再增加1個車站，請問會多出幾種不同的票？

追問：為什么多了1個車站，不是多1張票而是多出5張呢？

連一連，FA、FB、FC、FD、FE，一共是5條。（圖4）

圖4

4.如果是8個、9個車站呢？

5.你有什么發現？（同桌交流）

6.延伸：如果有50個車站，你知道有多少種不同的車票嗎？課后有興趣可以去探究。

“車票問題”由易到難，逐層深化，引導學生獨立思考和探索，在數的過程中注重算式與圖形一一對應，有序思考。引導學生觀察發現：新增加的這個車站，需要與前面的所有車站連線，線段增加的條數等于原來的點數。通過觀察求5個、6個、8個、9個車站的車票數中線段圖與算式的變化，發現蘊藏的規律并解釋這個規律的合理性，感受數學的規律美，滲透歸納推理思想方法，提高對數學問題探索的興趣。

數學思想方法是數學學習的靈魂，有利于學生的終身發展。踏“學”有痕，相信凡是經歷過的思考過程必會留下思維的痕跡；潤“數”無聲，讓學生在潛移默化中形成數學思維能力，提升其邏輯思考能力。數學思想方法的滲透是一個漫長反復的過程，只有日積月累方能讓課堂迸發出新的活力。