四、七年級學生分數數量表征與數學學業成就的關系：分數概念理解的中介作用*

邱 晨 牛美心 周新林 楊 濤

(1 北京師范大學中國基礎教育質量監測協同創新中心，北京 100875) (2 國家稅務總局北京市稅務局，北京 100176)(3 北京師范大學認知神經科學與學習國家重點實驗室，北京 100875)

1 引言

分數是人類處理現實情境中兩個量關系的有效工具（Sidney, Thalluri, Buerke, & Thompson,2019），但是兒童學習分數知識存在困難，主要在于無法理解分數數量表征（Kalra, Binzak, Matthews, &Hubbard, 2020），而分數數量表征與數學學業成就呈顯著相關關系（Gunderson, Hamdan, Hildebrand, &Bartek, 2019; Hamdan & Gunderson, 2017）。以往研究已對上述關系進行了探究，但其深層次的作用機理有待揭示（Gunderson et al., 2019; Liu, 2018）。

1.1 分數數量表征的發展及其與數學學業成就的關系

數量表征指個體對數量的心理解析（Siegler,2016）。分數數量表征是在數量表征的基礎上進一步聚焦，即個體能夠將分數按照從小到大的順序，從左到右依次將其映射到心理數字線上（Hansen, Jordan, & Rodrigues, 2017）。分數數量表征水平是對分數數量的估算水平，涉及到理解數字大小、分數系統以及修正調整數字等能力（Gunderson et al., 2019），這一水平與直覺、猜測等非智力因素緊密相關（方翹楚, 2015）。學生數量表征水平的發展因年齡和數量范圍呈現出不同的趨勢。在數量范圍相同情況下，學生年齡越大，數量表征水平往往越高；在學生年齡相同情況下，數量范圍越大，學生的數量表征水平往往越低（徐華, 陳英和, 2012）。

已有研究發現，不同年級學生的分數數量表征水平均對數學學業成就具有顯著預測作用。Gunderson等（2019）指出二、三年級學生的分數估計水平與后期代數學習以及數學成績具有很強的相關性。Hansen，Jordan等（2017）認為四年級學生的分數數字線任務表現顯著預測數學成績。Liu（2018）對兩組四年級學生進行對照追蹤實驗，指出接受分數教學的學生的分數數量表征成績顯著預測數學學業成就。另外，Siegler，Thompson和Schneider（2011）發現美國六、八年級學生的分數數量表征顯著正向預測其數學學業成就。Torbeyns，Schneider，Xin 和 Siegler（2015）進一步指出比利時和中國的六、八年級學生的分數數量表征與數學學業成就也具有顯著相關性。綜上，雖然學生的分數數量表征與數學學業成就之間的關系得到了證實，但以往研究并未揭示分數數量表征對數學學業成就的作用機制，兩者之間的關系還有待于深入探究。

1.2 分數概念理解的發展及其與數學學業成就的關系

在數學中，分數是兩個整數之商。相比于整數，分數更為復雜，不僅是一個有數值大小的“量”，也是代表兩個量之間關系的“相對量”（DeWolf, Bassok, & Holyoak, 2015）。許多研究者將分數概念的含義具體化（Behr, Harel, Post, &Lesh, 1992），其中，分數概念五分化理論將分數概念劃分為部分?整體、測量、比、商和算子五部分。分數概念理解實質上是理解兩個量之間的關系，是獲得相關數學知識（如分數運算等）的必要條件（劉春暉, 辛自強, 2010）。然而，學生對不同分數概念的理解和掌握并不是同時實現的，例如，基于整數概念知識，學生更容易理解“部分?整體”，但理解“測量”比較困難（劉春暉, 辛自強, 2010）。Stafylidou 和 Vosniadou（2004）將分數概念發展劃分為：（1）兩個自然數的表征；（2）部分與整體關系的理解；（3）兩個相關的數的表征。劉春暉和辛自強證實了上述研究所提出的分數概念發展的三個層次，并指出分數概念理解的能力隨著年級的升高而提升。

已有研究表明，兒童分數概念語義理解可以整體預測乘法應用題表征水平，且“部分?整體”概念和“測量”概念的理解水平可以預測分數乘法應用題表征（張睆, 辛自強, 陳英和, 胡衛平,2017）。分數概念理解能夠提升分數運算成績，分數運算成績的提升為數學學業成就的提升提供了可能（王歡, 2013）。Rodrigues，Jordan和Hansen（2019）進一步指出，學生對分數概念理解得越好，數學成績往往越高。另外，分數概念知識有助于學生理解程序，估計解決方案，并注意到自己作業中的程序錯誤（Hecht, 1998）。綜上，雖然分數概念理解與數學學業成就的研究已經得到了研究者的關注，但是目前還缺少兩者之間的關系在不同年級上的差異研究，即是否隨著學生年齡的增長，分數概念理解與數學學業成就之間的關系更為緊密。

1.3 分數數量表征、分數概念理解與數學學業成就的關系

既然分數數量表征、分數概念理解都分別對數學學業成就有直接影響，那它們是如何共同起作用的，有著怎樣的作用機制？

根據Siegler等（2011）提出的數量表征理論，個體通過數量表征來理解數概念代表的數量意義。數量表征的相關知識是學習數概念的基礎，有助于學生對于數概念的掌握。已有研究表明，分數數量表征能夠為理解分數概念提供一種潛在結構和程序（Siegler et al., 2011），是提升分數概念理解的一項重要能力（Resnick et al., 2016;Torbeyns et al., 2015）。相比注意行為、語言等對學生分數概念理解的影響，分數數量表征能力對學生分數概念理解的影響最大（Jordan et al.,2013）。基于上述研究，分數數量表征為學生理解分數概念奠定基礎，而分數數量表征、分數概念理解分別對學生的數學學業成就具有重要作用。因而，本研究假設分數概念理解可能在分數數量表征和數學學業成就中起到中介作用。

另外，在兒童數量表征、數概念發展過程中，年齡或年級是重要影響因素之一（陳英和,2015）。已有研究表明，分數數量表征準確性隨年齡的增長而提高（辛自強, 李丹, 2013; Siegler et al.,2011; Torbeyns et al., 2015）。Siegler等的研究表明，八年級學生分數估計準確性高于六年級學生。分數概念理解也表現出相似的發展趨勢（辛自強, 李丹, 2013; Boyer, Levine, & Huttenlocher,2008）。

綜上，本研究提出假設1：分數數量表征直接影響數學學業成就；假設2：分數數量表征能夠通過分數概念理解影響數學學業成就；假設3：在不同年級，以上作用關系存在，但是作用大小可能有差異。研究假設模型如圖1所示。

圖1 研究假設模型

2 研究方法

2.1 被試

在征得學校負責人、學生及其家長的知情同意后，本研究采用整群抽樣的方法，選取北京市的小學和初中各兩所，小學和初中各抽取一個年級為代表，并以班級為單位取樣。小學抽取四年級，初中抽取七年級，最終有效回收數據379份，問卷的有效回收率為92.55%。其中，四年級157人，男生73人，女生84人；七年級222人，男生109人，女生113人。

2.2 研究工具

2.2.1 分數數字線任務

采用單維分數數字線估計任務，要求學生判斷某一分數（如1/3）在0～3數字線段中的對應位置，并標注分數位置。該測試包含20道題目，分為判斷分數單位和非分數單位兩部分。該測驗的Cronbach’s α系數為0.76。該任務采用絕對誤差百分比（PAE）（PAE=|估計值?實際值|÷被估計的數值范圍×100%）進行計分（Siegler & Booth, 2004）。PAE值越大，學生所估計的誤差越大。

2.2.2 學生分數概念理解測查量表

采用Charalambous（2007）編制的學生分數概念理解測查量表（SMSUF量表）。該量表包含部分?整體、測量、比、商和算子5個子維度，并基于我國的教學情況對其修訂，最終量表共計36道題目（例如，“判斷正誤：2/3表示的意義是把一個由多個物體組成的集合等分為三份，取其中的兩份”）。該量表采用0，1計分，答對得1分，答錯得0分，學生得分越高，表示對分數概念理解得越好（為方便分析，學生得分轉化為均值18，標準差3的標準分數）。該量表的Cronbach’s α系數為0.93。

2.2.3 數學學業成就測驗

采用“中國學生青少年心理發育特征調查”項目中標準化的數學學業成就測驗（董奇, 林崇德,2011），包括數與代數、空間與圖形、統計與概率三方面，共計32道題目。其中，四年級采用第二學段測驗，七年級采用第三學段測驗。第二學段和第三學段測驗的Cronbach’s α系數分別為0.80，0.85。

2.2.4 空間工作記憶任務

依據Corsi block任務改編（Corsi, 1972）。由電腦屏幕呈現九宮格，并依次呈現一些圓點，每個圓點呈現時間為1000 ms，要求被試盡量記住圓點的順序和位置。測驗包含10個模塊，每個模塊包含若干題目，被試正確作答的題目得3分，作答錯誤或漏答不得分。

2.2.5 簡單數字計算任務

該任務來源于Wei等人（2012）的研究。由電腦屏幕上方呈現一個減法算式（所有數字均在20以內），屏幕下方左右兩邊同時呈現兩個答案作為備選，要求被試選出正確答案。該測驗共包含30個模塊，每個模塊包含若干題目，答對一題得3分，答錯不得分。

2.2.6 瑞文推理測驗

該測驗采用非言語圖形關系推理任務，要求被試尋求規律并找出圖像的缺失部分。測驗包含36個模塊，每個模塊包含若干題目，被試正確作答一題得3分，作答錯誤或漏答不得分。

2.3 研究程序與數據分析

本研究的測驗分為計算機測驗和紙筆測驗兩部分。兩種測驗均采用集體施測，由經過培訓的教育學和心理學研究生擔任主試，在課堂中統一施測，并當場回收數據。最終，采用SPSS26.0和Mplus8.3進行統計分析。

3 結果

3.1 共同方法偏差檢驗

根據Harman單因素檢驗法進行主成分分析，結果發現，特征根大于1的因子共有18個，第一個因子的變異解釋率為20.22%，小于40%的臨界值標準，說明本研究存在共同方法偏差的可能性較小。

3.2 描述統計和相關分析

各變量的描述統計及相關分析見表1和表2。在四年級和七年級樣本中，分數數量表征分別與分數概念理解和數學學業成就呈顯著負相關，分數概念理解與數學學業成就呈顯著正相關。對分數數量表征和分數概念理解進行四、七年級的差異性檢驗，結果表明，四年級的分數數量表征得分顯著高于七年級（t=7.74,d=0.81,p＜0.001），而四年級的分數概念理解得分顯著低于七年級（t=?22.85,d=?2.48,p＜0.001）。

表1 四年級學生描述統計結果及相關分析

表2 七年級學生描述統計結果及相關分析

3.3 中介模型檢驗

首先，控制性別、空間工作記憶、瑞文推理、簡單數字計算等變量后，以分數數量表征為自變量，數學學業成就為因變量，建立直接效應模型。結果顯示，在兩個年級群體中，分數數量表征均能顯著負向預測數學學業成就（四年級:β=?0.13,SE=0.08,p=0.045, 95%CI[?0.29, ?0.03]; 七年級: β=?0.31,SE=0.06,p＜0.001, 95%CI[?0.44,?0.19]），說明四、七年級學生的分數數量表征均能負向預測數學學業成績，但在七年級群體中，兩者的關系更為密切。

在該模型的基礎上加入分數概念理解建立中介效應模型，并采用偏差校正的非參數百分位Bootstrap方法進行檢驗（溫忠麟, 葉寶娟,2014）。中介模型的擬合結果較好，四年級：χ2=24.76，df=13，RMSEA=0.079，CFI=0.905，TLI=0.900，SRMR=0.054；七年級：χ2=39.04，df=13，RMSEA=0.078，CFI=0.909，TLI=0.901，SRMR=0.051（見圖2和圖3）。結果發現，在四年級群體中，分數數量表征顯著負向預測分數概念理解（β=?0.23,SE=0.10,p=0.017, 95%CI[?0.43,?0.04]），分數概念理解顯著正向預測數學學業成就（β=0.61,SE=0.14,p＜0.001, 95%CI[0.33, 0.88]）；在七年級群體中，分數數量表征顯著負向預測分數概念理解（β=?0.34,SE=0.09,p＜0.001,95%CI[?0.52, ?0.15]），分數概念理解顯著正向預測數學學業成就（β=0.47,SE=0.09,p＜0.001,95%CI[0.30, 0.64]）。中介效應的顯著性結果表明，分數數量表征能夠通過分數概念理解對數學學業成就起顯著預測作用，四年級：β=?0.14，SE=0.07，p=0.049，95%CI[?0.29, ?0.01]；七年級：β=?0.16，SE=0.06，p=0.008，95%CI[?0.27, ?0.04]。另外，在四年級群體中，分數數量表征對數學學業成就的預測作用不顯著（β=0.01,SE=0.09,p=0.906, 95%CI[?0.17, 0.19]），而在七年級群體中，分數數量表征的預測作用是顯著的（β=?0.15,SE=0.08,p=0.047, 95%CI[?0.30, ?0.00]），說明在四年級群體中，分數概念理解在分數數量表征與數學學業成就之間發揮完全中介效應，而在七年級群體中發揮部分中介效應。

圖2 四年級中介模型結果

圖3 七年級中介模型結果

4 討論

4.1 分數數量表征、分數概念理解的發展特點

本研究發現七年級分數數量表征、分數概念理解的準確性顯著高于四年級，這與已有研究結論一致（Siegler et al., 2011; Siegler & Pyke, 2013）。其可能原因是隨著年齡的增長和閱歷的豐富，學生的估算、精確理解能力等進一步發展。這與信息加工理論模型相一致，即學生認知水平越高，獲取關鍵信息更為精準，編碼也更為有效（Dean &Woodcock, 2003）。也可能是隨著年齡增加，學生受整數表征的影響減弱，對分數表征和理解更準確。低年級學生往往將整數問題與分數問題等同，但高年級學生往往能將兩者更好地區分開，對整數和分數的理解更為精確（Siegler & Pyke, 2013）。

4.2 分數數量表征對數學學業成就具有積極影響

本研究的結果表明，學生分數數量表征的準確性越高，學生的數學成績越高。這一結果與以往研究結果相一致（王歡, 2013; Gunderson et al.,2019; Hamdan & Gunderson, 2017; Jordan et al., 2013;Resnick et al., 2016; Torbeyns et al., 2015）。可能是，分數數量表征中的單維分數數字線符合實數量級的概念特征（Siegler & Lortie-Forgues,2014）。這一數字線的物理表征與對數學成績具有促進作用的心理表征相匹配（Ramani & Siegler,2008）。數字線任務的訓練可以提高學生的分數數量表征能力，這種能力又與代數能力緊密相關（Gunderson et al., 2019; Kalra et al., 2020），進而會影響到學生的數學成績。另外，年級越高，學生的分數數量表征水平與數學成績的關聯性越大。這與Siegler等（2011），以及Siegler和Pyke（2013）的研究結果相一致。這可能因為七年級學生涉及到初等代數以及代數的問題相對更多，而分數表征對于解決上述問題至關重要（Siegler et al.,2011）。

4.3 分數概念理解在分數數量表征與數學學業成就之間的中介作用

本研究發現，四、七年級學生的分數數量表征的準確性可以通過提升對分數概念的理解，而間接提升數學成績。其原因可能是數量表征是兒童最先發展的重要數能力（Jordan, Glutting, &Ramineni, 2010），是人類高級數能力的基礎，并為分數概念理解的發展奠定基礎（Jordan et al.,2013; Resnick et al., 2016; Torbeyns et al., 2015）。另外，根據分數概念語義結構理論（Kieren, 1993），分數概念理解的本質是理解兩個量之間的關系（DeWolf et al., 2015），并用分數處理分配、測量等問題情景中的變量關系（Charalambous, 2007）。而成功解決數學問題的關鍵是正確表征問題中所包含的事實關系（張睆等, 2017）。因此，學生對分數數量表征的準確性越高，其分數概念理解能力的越高，也能更好地理解并成功表征不同情境中不同量之間的關系，促使問題解決與數學成績提升。

該研究結果說明了學生的認知能力越高，能更快更準確地注意關鍵信息，進行高效編碼，輸出更多有效信息，從而提升學業成就（Vock,Preckel, & Holling, 2011）。數量表征（無論是整數還是分數）是一項重要的數學能力，是學生數學學習過程中所必須的能力。分數數量表征能力促進分數概念理解能力的提升，解決更復雜的數學問題，進而提升數學學業成就。

另外，本研究發現，對四年級學生，分數概念理解在分數數量表征和數學學業成就之間起完全中介作用，對七年級學生，分數概念理解在其中起部分中介作用。可能的原因是，兒童分數數量表征（尤其符號表征）的發展相對更晚（Siegler et al., 2011），其準確性隨著個體年齡的增加而提高，逐漸趨于相對穩定（辛自強, 李丹, 2013;Bailey, Siegler, & Geary, 2014; Siegler et al., 2011;Torbeyns et al., 2015）。四年級學生的分數數量表征在逐步形成發展階段，分數數量表征對學業成就的影響，可以完全通過分數概念理解的作用來解釋。而對七年級學生，分數數量表征準確性已顯著提升，其分數數量表征的形成發展過程也受到與數學認知能力和認知加工的其他因素的影響（徐華, 陳英和, 2012; Jordan et al., 2013）。

4.4 研究意義與展望

分數概念的多重含義是影響學生理解和應用分數的主要障礙（劉春暉, 辛自強, 2010）。在教學中，雖然設計具體的情境能夠促進學生對概念的理解，但是教師在教學過程中過于強調方法、技巧、規則等的訓練，可能忽視學生對分數意義理解的培養，使得學生很難實現由整數概念到分數概念的轉化。本研究的結果表明，分數數量表征不僅顯著正向預測學生對數系統（含整數、分數、有理數等）的整體認識，還可以顯著正向預測學生對分數概念理解以及數學學業成就。這意味著教師可以在教學中把表征類型融入到其教學設計中，從而更明確地設置其多元培養目標。這些培養目標既包括教師分數概念理解的教學任務，也包括學生直覺、猜測和估算能力的培養。例如，由數字線呈現的精確數字實現了由抽象到具體的轉化，促進了學生對“度量”概念的理解。事實上，單維數軸分數數量表征水平代表了學生直覺、猜測和估算能力以及高級思維的發展。這些高級思維的發展有利于學生對于精確概念（如“整體?部分”“測量”等）的理解，從而有助于學生數學學業成就的提升，為核心素養的落實提供實證依據（章建躍, 2016; 章建躍, 程海奎,2017）。

本研究還存在一些不足，如沒有對分數數量表征和分數概念理解進一步細分，并討論內在關系以及不同條件下，各自對數學學業成就的影響；也沒有分析其他因素（如空間能力、抑制控制等）對數學成績的作用機制。本研究采用的是橫斷研究，后續研究可以通過追蹤研究進一步探究分數數量表征和分數概念理解對數學成績的歷時性影響及其作用機制。本研究對性別等變量進行了控制，后續研究可以對不同性別的差異進一步探究。

5 結論

（1）分數數量表征對學生數學學業成就具有積極影響。（2）隨著年級的增加，分數數量表征對數學學業成就的直接影響增大。（3）分數概念理解在分數數量表征與數學學業成就之間起著中介作用。（4）這種中介作用機制存在年級差異，即對四年級學生，分數概念理解起完全中介作用，對七年級學生，分數概念理解起部分中介作用。