傾聽思考的聲音
——數學思考的內涵探究與成長實踐

江蘇省蘇州市吳江區梅堰實驗小學 沈明榮

數學學習的本質內涵在于數學思考力有無真正的生長。數學學習是在一個個問題的解決中起步的，但更需要的是起步后持續走下去的思考路程。可以說，沒有數學思考，就沒有數學學習。數學思考類似于數學本體與頭腦本體的和諧互動，透過數學思考的“頭腦泵”，學生訓練自己的數學頭腦肌肉，構建自己的數學頭腦網絡，架構自己的數學頭腦模型，并在恰當的時候展示出這種數學思考帶來的價值和魅力。數學思考指向了學生頭腦深處最需要學習和磨練的區間，它構建了學生數學學習和操練的路徑屬性，使數學的學習變得綿長而深刻，使學數學的人更立體而充實。

一、數學思考的內涵

思考是針對某一個或多個對象進行分析、綜合、推理、判斷等思維的活動，是頭腦對外在和內置事物本質屬性和規律的內在關照和外在闡釋。筆者認為：數學思考是對數學所研究的對象外在和內涵科學性、規律性和反思性的整體把握和學習，是間接、深刻和機智的數學頭腦運作，是數學思維過程、數學思想運作和數學經驗積累反思。它具有一定的路徑性，也包含具體的目標性。數學思考滲透在數學學習的方方面面，影響著學生學習數學的精神層次。數學思考強調了作為頭腦參與數學思考的路徑作用，凸顯了數學學習的深刻化頭腦作用。不同的數學思考就是一條條不同的路，或者就是一條條問題解決之路的假設。數學思考類似于間接、深刻的數學頭腦運作過程。而思考的熟絡經驗則顯現出學習者本身的思考基層和逐步累積的數學思考經驗，數學思考具有挖掘外在表征，推進發現表象中的內象的作用。

對于數學思考，有三點理解很重要：一是數學思考不等同于數學思想。數學思想主要是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果，是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識。而數學思考是指針對數學相關問題進行分析、綜合、推理、判斷等思維的活動過程。它是一段數學思想碰撞形成的過程。數學思想是數學思考的衍生品，沒有思考就沒思想。二是數學思考不等同于數學思維。數學思考包括數學思維，在概念的外延上比思維的范圍更寬泛。思維是對本質和規律性的理性認識，一種科學的思考過程。而數學思考就沒那么高級和嚴苛，有關數學的外在和靈魂的頭腦活動都可以看作是數學思考，包括淺層次的數學選擇、數學加工和思考反思等內在頭腦活動路徑和頭腦網路運作品質。三是數學思考在數學的世界里是下位的，思維是中位的，思想是上位的。無序散狀的有關數學頭腦活動都可用于思考或它直接就是一種思考。數學思考的作用不同于數學思維和數學思想，數學的思考更利于構建數學血脈。建立數學血脈是學生學習數學的一種實踐要求，是一種學習的思維路徑和數學智慧產生的源頭。數學思考可以幫助學生建立數學血脈，并對數學問題和數學現象進行思考和解決。

二、數學思考的成長實踐

（一）指向數學思考的精神成長實踐

豐富的數學思考需要質感的數學精神去灌溉。沒有鮮活數學精神的人很難有著質體的數學思考。為此，在實際的教學中，教師應當用飽含精神的語言去引導學生走入問題解決的數學夢中，逐漸帶領著孩子自愿、自信和自省地搭建一層層的數學思考鏈，在一次次的思考搭建中實現數學思考的精神成長。具體體現在：

1.理性精神長出理性數學思考。富有理性精神的引導問題言語最能啟發培養學生的理性思考，在教師的一環環轉化中改變學生的思考路徑，促進其思考能力的發展。如在《平行四邊形面積的推導及計算》一課中，教師從兩個不規則圖形的面積引入，隨后在教學中不斷用核心問題來引領學生的數學思考：這兩個圖形的面積相等嗎？你是怎么知道的？這個平行四邊形的面積是多少？你是怎樣轉化的？轉化前后什么變了，什么沒有變？為什么要沿著高來剪？是不是所有的平行四邊形都能轉化成長方形？轉化后的長方形與轉化前的平行四邊形有什么關系？根據長方形的面積計算方法，平行四邊形的面積該怎么算呢？我們剛才是怎樣推導出平行四邊形面積計算公式的？一個個引導性問題就像一顆顆珍珠，串起了一條指向核心本質要義的美麗項鏈，避免學生非理性地不想關鍵地方而糊涂地散漫思考。問題解決的理性就會帶來數學思考的順暢與合序，從而避免少部分學生陷入數學非理性思考的“沼澤地”。數學學習起初或許還有些感性的色彩，但深入下去的時候必定是理性的世界。

2.求實精神長出實效數學思考。數學是來不得半點虛偽的地方。數學如此，數學思考的精神更是如此了。如在《分米和毫米》的教學中有個實踐活動題，講的是蒜葉生長情況記錄。記得布置下去的時候，講清要種大蒜，仔細觀察，最后就發現好多孩子一周每天的毫米數都是一樣的。這樣的結果肯定是有問題的。之后，引導學生每人帶大蒜來班上，就種在自己的旁邊，每天有時間記錄，這才剎住班上數學記錄不正之風。數學的思考是伴隨數學的生活實踐的。就簡單的長度統計而言，倘若刮起了虛假風，那學生學習數學的附屬精神衍生品就是有問題的。現實反映思考，思考的正派真實也能使得現實的歸來。

3.創造精神長出創新數學思考。學生是屬于未來的，學生的數學思考也應是面向未來的。而未來是新的，而非循規蹈矩的舊。為此，教師的教學就需要借著各樣的小意外來打破學生固有的思考路徑，從而突破演化出一種新的思考方向和路徑。如教授《認識角》突破“角的大小和邊的長短無關”這一難點的時候，教師直接拿剪刀剪去大紅角邊的一段，就在這剪刀一剪而落的當下，教師隨即問：“紅角變大了沒？”學生的數學思考隨著感官和頭腦的運作，得出原來邊的長短不會影響角的大小。這一難點也在這一剪中剪去了學生心中的疑惑，堅定了學生的思考。此外，學生學的不光是知識，更是教師的創新影響。為此，循規蹈矩的課固然不會有事，但有時不去逾越可以逾越的數學思考邊界就是一種落后。

（二）指向數學思考的思維成長實踐

1.豐富數學思考的直接性思維教學。小學低中年級學生的數學思考方式是以具象化和直接性為主的。為此，教師的數學思考教學就必須以學定教，用學生便于理解的方式和形式來支撐學生的數學思考，在學生思考的最近發展區內大做文章。教學《認識方向》：小剛家在圖書館的南面600 米，小芳家在圖書館的北面700 米，小剛家到小芳家一共多少米？教學時就用畫線段圖的方法表示出來：兩家分別在圖書館的兩側，圖書館在中間。清晰的圖一眼就能讓學生知道這是一個應該用加法計算的題目。當然，問題的解決是次要的，其間用到的轉化方法和思維方式才是主要的。

2.豐富數學思考的操作性理解教學。數學思考的過程畢竟是隱性的，難以具象的。而操作性的理解過程則能很好地將這看不見的過程變成看得見的過程。因為學生所做的就是他所想的。比如在教《認識角》的時候，在初步認識角的環節中，教師先讓學生摸一摸尖點，問：“這是角嗎？”學生說：“不是。”進而教師再讓學生從尖點開始分別往兩邊摸，感受邊的本質，隨后讓生說說感受、想法，最后讓學生閉上眼睛在頭腦中想一想。這一整條鏈的設置，牢固地把學生關于角特征與形狀的思考深深地變成了模型錨沉淀在了學生的腦海里。為此，思考不光是純腦力勞動，有時恰當的操作對于思考的深化和升華是很有益的。

3.豐富數學思考的成長性生成教學。數學思考是有生命的成長體，不是一道道無生命的數學題。為此，數學中解決種種的變式問題就成了鍛煉數學思考的有效路徑，可以讓學生形成較強的數學思維，成為提煉數學思想的關鍵戰場。學習《數的次方》，教師引出這樣一個問題：國王重賞一個功臣，功臣提出：“請您在這張國際象棋的第一個小格內賞給我一粒麥子，第二個小格內賞兩粒，第三個小格內賞四粒，依此類推，接下去的每一小格中賞的麥子都是前面的2 倍。陛下，棋盤上所有64 格都擺好后，您就把這些麥子賞給我吧？”……教師提出國王能兌現承諾嗎？有的學生說能，有的說不能。隨即實踐驗證，最后證明是不可能的。因為：1+2+4+8+……=18446744073709551615(粒)。對于國王來說，這是一個天大的數字。從嘗試到最終的證明，從數學思考到數學成長，教學有時是需要跳出教材教教材的，或者說是站在教材的基礎上基于教材的超越教材。

扣問數學思考的內涵本質，數學教學需要數學思考的理性回歸，實現數學教學實踐中生命成長的本真樣態。