從上半平面Hardy空間到一類解析函數(shù)空間的加權(quán)微分復(fù)合算子

秦春

（懷化學(xué)院初等教育部，湖南懷化418008）

1 引言

設(shè)C為復(fù)平面，∏+={z∈C，Im z＞0}為復(fù)平面C上的上半平面，H（∏+）為上半平面∏+上的全純函數(shù)全體，S（∏+）為上半平面∏+上的全純自映射全體.

對任意的0≤p＜∞，定義

稱為Hardy空間，易知在范數(shù)||g||Hp（∏+）下為Banach空間.

對任意的f∈H（∏+），若滿足

則稱為n次加權(quán)型空間.

當(dāng)n=0時，稱為Bers型空間，記為A∞（∏+）.易知Bers型空間在范數(shù)

下為Banach空間.

當(dāng)n=1時，稱為Bloch型空間，記為B（∏+）.Bloch型空間上的函數(shù)滿足

其中，b（f）為Bloch型空間的半范數(shù).易知Bloch型空間在范數(shù)

下為Banach空間.

當(dāng)n=2時，稱為Zygmund型空間，記為Z（∏+）.

Zygmund型空間上的函數(shù)滿足

其中，bZ（f）為Zygmund型空間的半范數(shù).易知Zygmund型空間在范數(shù)

下為Bananch空間.

令φ∈S（∏+），u∈H（∏+），定義H（∏+）上的加權(quán)微分復(fù)合算子Dnφ，u為：

文[2-7]中研究了單位圓盤上一類解析函數(shù)空間上加權(quán)微分復(fù)合算子的有界性和緊性.Sam Elliott在文[8]中研究了上半平面Hardy空間上復(fù)合算子Cφ的有界性.StevoStevic＇在文[9]中研究了上半平面從Hardy空間到Zygmund-型空間復(fù)合算子Cφ的有界性.姬小斌，于濤在文[10]中研究了上半平面從經(jīng)典的Hardy空間到增長型空間及Bloch型空間加權(quán)復(fù)合算子Dφ，u的有界性.胡清孝、葉善力、劉慧琴在文[11]中研究了上半平面從Hardy空間到增長型空間及Bloch型空間加權(quán)復(fù)合算子Dφ，u的有界性.其他與上半平面相關(guān)的內(nèi)容見文[12].

2 主要結(jié)果

本文研究上半平面從Hardy空間到Bers型空間和Bloch型空間的加權(quán)微分復(fù)合算子的有界性，結(jié)論如下：

定理2.1令n∈N*，u∈H（∏+），φ∈S（∏+），則∶H（p∏+）→A∞（∏+）為有界算子的充分必要條件是

定理2.2令n∈N*，u∈H（∏+），φ∈S（∏+），則∶Hp（∏+）→B（∏+）為有界算子的充分必要條件是

定理2.3令n∈N*，u∈H（∏+），φ∈S（∏+），則Hp（∏+）→Z（∏+）為有界算子的充分必要條件是

3 定理的證明

在證明之前，給出所需的引理.

引理1[9]假設(shè)p≥1，n∈N并且w∈∏+，那么

并且

引理2[13]如果f∈Hp（∏+），那么

定理2.1的證明：充分性證明.對任意的f∈Hp（∏+），結(jié)合（1）式及引理2，可得

固定w∈∏+，任意的p≥1，m∈N，做檢驗(yàn)函數(shù)

由引理1，可得fw，m（z）∈Hp（∏+）.通過簡單的運(yùn)算，可得

結(jié)合（8）式，可得

則（1）式成立.從而定理2.1成立.

定理2.2的證明：充分性證明.對任意的f∈Hp（∏+），結(jié)合（2）式、（3）式及引理2，可得

固定z∈∏+，做檢測函數(shù)

由引理1可知，fz（w）∈Hp（∏+）.結(jié)合（9）式并通過簡單的運(yùn)算，可得

可得

結(jié)合（12）式，可得

從而（2）式成立，再做檢驗(yàn)函數(shù)

同理可得（3）式成立.從而定理2.2成立.

定理2.3的證明：充分性的證明.對任意的f∈Hp（∏+），結(jié)合（4）式、（5）式、（6）式及引理2，可得

固定Z∈∏+，做檢測函數(shù)

由引理1可知，fz（w）∈Hp（∏+）.結(jié)合（14）式并通過簡單的運(yùn)算，可得

可得

結(jié)合（18）式，可得

從而（4）式成立.再做檢驗(yàn)函數(shù)

同理可得，（5）式和（6）式成立，從而定理2.3成立.