地震作用下RC構件耗能能力的計算方法研究

劉哲鋒，鄭 瀟，王玉奎

(1. 長沙理工大學土木工程學院，湖南，長沙 410004；2. 湖南城市學院土木工程學院，湖南，益陽 413049)

基于能量的抗震設計認為，在地震荷載作用下，輸入到結構的能量表現為彈性應變能、結構動能、阻尼耗能和滯回耗能，并使結構產生損傷、甚至破壞[1?3]。為避免結構體系出現嚴重失效，地震輸入能量需小于結構總耗能能力[4?5]。由于結構動能和彈性應變能可儲存并且能相互轉化而不參與能量耗散，因此地震輸入能量主要通過阻尼耗能和滯回耗能耗散，但在實際工程中發現，阻尼耗能僅占很小一部分，故結構的失效程度主要取決于結構自身滯回耗能的能力高低[6?7]。

Housner[8]在《結構抗震的極限設計》一書中提出了能量抗震設計方法的概念，認為地震對結構的輸入能量是僅與結構質量和周期有關的定值；Park和Ang等[9?10]對構件最大變形和滯回耗能對構件的影響進行綜合考慮，提出鋼筋混凝土(RC)構件的雙參數破壞模型，但該模型未考慮地震持時的影響，且組合參數β離散型較大；基于足量RC構件在回歸統計下的分析結果，得到損傷指數中的比例參數β，即該損傷模型可以對不同變幅加載歷程下RC構件的破壞程度進行較為準確的定義，但對可修復狀態下構件損傷的定義還缺乏足夠的理論和試驗依據[11?15]；Erberik等[16 ?17]通過對17根RC梁構件進行往復滯回試驗，建立了耗能能力的常幅衰變規律與變幅衰變規律之間的聯系，創造性地提出了RC梁構件變幅滯回耗能能力的確定方法，但由于研究是針對既有建筑中以光圓鋼筋為縱筋的混凝土構件，因此結論的應用范圍有限；Poljansek等[18]利用既有RC矩形柱的滯回試驗數據庫，基于統計分析研究RC柱的滯回耗能能力與損傷后變形能力的主要影響因素，由于數據庫中的加載規則趨于一致，因此研究事實上避免討論了加載歷程不同所造成的影響；劉哲鋒等[19?20]對22根RC構件采用穩態變幅加載和任意變幅加載，分析了加載位移歷程、配箍率和配筋率的變化對RC構件滯回衰變規律的影響，提出了變幅滯回條件下耗能能力的計算方法，但所依據的數據量有限，且未考慮軸向力、剪跨比、混凝土強度等設計參數對計算結果的影響規律，應用范圍有限。

本文依據文獻[20]中18根穩態變幅加載的RC構件，通過對試件衰減指數發展曲線的分析，提出D-n曲線平移假設并對原耗能能力計算方法中的相關參數進行優化，使耗能能力計算結果更為準確。選取了PEER數據庫中80根彎曲破壞、有軸力、剪跨比大于2的對稱配筋矩形截面RC構件，用優化后的計算方法進行耗能評估，評估結果表現出較好的準確性和適用性。

1 變幅滯回條件下RC構件耗能能力估算模型

1.1 穩態變幅滯回條件下半滯回耗能能力估算

對半滯回的定義為：連續兩個荷載零點間的滯回曲線，即一個滯回環被位移橫軸分為上、下2個半滯回環(圖1)。

RC構件第k個半滯回的耗能能力衰減指數DE,k定義為：

式中： EH,k為第k個半滯回耗散的滯回能量，如圖1黑色實線與坐標橫軸所圍面積； 2(μe,k?1)Fyuy為理想無損狀態下RC構件在相同滯回過程中的滯回能量，如圖1兩個虛線平行四邊形面積。Fy為屈服荷載；uy為屈服位移；μe,k為第k個半滯回的平均名義半滯回幅值，其表達式為：

式中，uk為第k個半滯回的位移幅值。

研究表明，在穩態變幅滯回條件下，RC構件耗能能力衰減指數整體上呈增加趨勢，但滯回位移幅值的變化導致這一趨勢呈現規律性的不連續，此外不同位移加載歷程對RC構件耗能能力衰減具有顯著的影響。文獻[20]根據上述規律提出了穩態變幅滯回條件下衰減指數 DE,k的估算方法：

式中：IHS表示初始滯回階段；LSHS表示后續大滯回階段；SSHS表示后續小滯回階段；nk為前k?1個半滯回的名義累積滯回耗能：

nb為第k個半滯回所在常幅滯回階段開始時的名義累積滯回耗能。參數 AE,k和 BE,k按下式計算：

式中，ρsv為配箍率。

穩態變幅滯回條件下RC構件半滯回耗能計算公式為：

1.2 任意變幅滯回條件下半滯回耗能能力估算

對任意變幅加載RC構件的位移歷程進行穩態化處理：將小于1的μe,k值去除(這類半滯回所耗散的能量通常很小，可以忽略)，并對具有相近μe,k值的連續半滯回采用均值化的辦法將其轉化為常幅滯回階段，即：

判斷μe,k值是否相近，需同時滿足以下兩式：

基于所得的常幅滯回階段，利用如圖2所示的穩態變幅滯回RC構件耗能計算流程估算其耗能。

圖2 穩態變幅滯回條件下半滯回耗能計算方法流程Fig.2 Flow chart of estimation method for half-cycle hysteretic energy dissipation under steady variable amplitude hysteretic process

2 模型的優化

2.1 各滯回階段衰減擬合模型

限于篇幅，僅列出文獻[20]中試件S7、S8、S9分別在3種穩態變幅加載模式下耗能能力衰減指數 DE,k隨名義累積滯回耗能nk的變化趨勢(以下簡稱D-n曲線)，如圖3所示。由圖可知，不同常幅加載階段的D-n曲線間形成間斷點，對于初始滯回階段，D值隨名義累積滯回耗能的增加而由0向1單調增長，增長的趨勢逐漸變緩；對于后續大滯回階段，D值由一個低點再逐漸增大；對于后續小滯回階段，D值上升到一個高點，且數值維持穩定。

圖3 3種穩態變幅加載模式下的試件D-n曲線Fig.3 D-n curves for specimens under three steady variable amplitude loading patterns

對于初始階段試件滯回耗能能力的衰變規律，采用試件初始滯回階段的D-n曲線予以說明。根據曲線以零點為起始點，隨橫坐標值的增加斜率逐漸變小且最終趨零的特點，提出半滯回耗能能力衰減模型：

模型中D值與擬合參數A、B的關系，如圖4所示。

圖4 衰減模型特征參數A和B的物理意義Fig.4 Exponential recovery formulation with two parameters A and B

A值為試件以某幅值進行常幅滯回時，其耗能能力衰變至穩定時的D值。A值越大，表明構件達到滯回穩定時，耗能能力的衰減越嚴重，殘余耗能能力越低。而B值大小則體現耗能衰減的快慢，B值越大，D-n曲線越陡峭，構件耗能能力衰變至穩定的過程越為迅速，衰變穩定時耗散的名義滯回能量越少。圖3中的實線為式(11)對試件初始D-n曲線的擬合結果。

對于后續階段試件滯回耗能能力的衰變規律，采用試件后續滯回階段的D-n曲線予以說明。以平均名義半滯回幅值相等為原則，將同類型試件在3種穩態變幅加載模式下的D-n曲線重新構圖，即μe,k值相等的常幅滯回階段的D-n曲線并入一張圖中，圖3在重新構圖后成為圖5。

由圖5可知，某后續滯回階段D-n曲線，與μe,k值相等的初始滯回階段D-n曲線在形態上具有關聯性：對于后續小滯回階段，其D-n曲線位于初始D-n曲線的上方，曲線呈水平或點狀；對于后續大滯回階段，其D-n曲線位于初始D-n曲線的右側，曲線形態相近。

圖5 按平均名義半滯回幅值相等原則構圖的試件D-n曲線Fig.5 D-n curve of the specimen constructed according to the principle of equal average nominal half hysteresis amplitude

基于此規律，提出如圖6所示的D-n曲線平移假設：某后續滯回階段開始時的名義累積滯回耗能為nb，若該后續階段為后續大滯回階段(圖6(a))，其D-n曲線軌跡由延性相同的初始D-n曲線向由右平移x0獲得，橫坐標起點為nb，則半滯回耗能能力衰減模型變形公式為式(12)；若為后續小滯回階段(圖6(b))，其D-n曲線為水平直線，起始點為延性相同的初始D-n曲線向上平移y0后與n=nb的交點，則半滯回耗能能力衰減模型變形公式為式(13)。

圖6 穩態變幅加載下后續滯回階段D-n曲線平移模型Fig.6 The estimation method of D-n curve in subsequent hysteresis stage

2.2 模型中擬合參數的修正

參數A、B、x0、y0是通過對各試件各滯回階段D-n曲線進行非線性擬合得到的。對于初始滯回階段： x0=0,y0=0，利用式(11)對其D-n曲線進行擬合，得出A、B；對于后續大滯階段：x0≠0,y0=0，利用式(12)對其D-n曲線進行擬合，得出A、B、x0；對于后續小滯回階段： x0=0,y0≠0，由于其D-n曲線數據點集中分布，未呈現明顯的規律性趨勢，故將A、B視為已知，并用同類型試件中具有相等μe,k值的初始滯回階段的A、B值代替，利用式(13)對其D-n曲線進行擬合，得出y0。表1～表3給出了文獻[20]中18個穩態變幅加載試件的A、B、x0、y0值。

表1 第Ⅰ常幅滯回階段Table1 The first normal amplitude hysteresis stage

表2 第Ⅱ常幅滯回階段Table2 The second normal amplitude hysteresis stage

表3 第Ⅲ常幅滯回階段Table3 The third normal amplitude hysteresis stage

參數A與平均名義半滯回幅值的關系見圖7。

圖7(a)中不同配筋率的數據點用不同符號區分，參數A隨μe,k增大而增大，但受配筋率影響不明顯。在圖7(b)中不同配箍率的數據點用不同符號區分，配箍率對μ-A關系沒有顯著影響。因此忽略配筋參數對μ-A關系的影響，擬合結果在圖7(b)中用黑色實線表示，式(14)是得到的擬合函數。

圖7 平均名義半滯回幅值與A的關系Fig.7 Relationship ofμ e ,k with A

參數B與平均名義半滯回幅值的關系如圖8所示。

在圖8(a)中不同配筋率的數據點用不同符號區分，參數B隨μe,k的增大而減小，而配筋率不會使B值呈現規律性變化。在圖8(b)中不同配箍率的數據點用不同符號區分，增加配箍率會導致B值降低。綜合考慮μe,k和配箍率對參數B值的影響，在圖8(b)中，ρsv=0.226%、ρsv=0.402%和ρsv=0.804%的數據擬合結果分別用虛線、灰線和黑線表示，式(15)是得到的擬合函數。

圖8 平均名義半滯回幅值與B的關系Fig.8 Relationship ofμ e ,k with B

x0、y0與nb的關系如圖9(a)、圖9(b)所示。

圖9 平移量與名義累積滯回耗能的關系Fig.9 Relations of two translations with nb

基于x0和y0的{物理意義，用過原點的線性擬合：

根據式(11)～式(13)、式(16)，在試件穩態變幅加載歷程中，不同滯回階段耗能能力衰減指數D的表達式為：

式中： AE,k和 BE,k分別由修正后的式(14)、式(15)確定；nk和nb均可按式(4)確定。

3 計算方法評估

為便于描述滯回耗能試驗值與估算值的相關性，引用統計學的皮爾遜相關系數，通過耦合度尋找與試件半滯回耗能和累積滯回耗能所各自對應的趨勢，以此對耗能能力計算方法的準確性進行評估。該系數可以描述兩個變量間聯系的緊密程度，度量其相關性，用r表示，其值介于?1與1之間，計算公式為：

式中：n為樣本量；X、Y分別為兩個變量的觀測值。一般定義：0.8＜r≤1.0極強相關、0.6＜r≤0.8強相關、0.4＜r≤0.6中等程度相關、0.2＜r≤0.4弱相關、0.0≤r≤0.2極弱相關或無相關。

3.1 優化模型與傳統模型耗能對比評價

基于文獻[20]中22根對稱配筋矩形截面RC構件，利用估算模型對其計算半滯回耗能、累積滯回耗能，并與試驗耗能進行比較。

將22根RC構件在兩種模型下半滯回耗能的計算結果匯總放入以試驗半滯回耗能值為橫坐標、估算半滯回耗能值為縱坐標的坐標系中，如圖10所示，其中N為22根試件半滯回總數，r為試驗值與估算值之間的皮爾遜相關系數。由圖可知，優化模型相比傳統模型能使半滯回耗能試驗值與估算值的相關系數更接近于1。

圖10 22根RC構件在2種模型下半滯回耗能估算Fig.10 Estimation of semi-hysteretic energy consumption of 22 RC specimens under two models

圖11詳細展示了22根RC構件試驗累積耗能、傳統模型估算累積耗能和優化模型估算累積耗能3者之間的量級關系。

圖11 22根RC構件累積滯回耗能試驗值和估算值分布Fig.11 Distribution of experimental and estimated cumulative hysteretic energy consumption of 22 RC specimens

圖12顯示了22根RC構件在2種模型下累積滯回耗能的估算誤差，其中Mean為估算誤差平均值，SD為誤差值標準差。由圖可知，當用優化模型進行計算時，估算誤差的平均值和誤差值的標準差均減小。

圖12 22根RC構件在兩種模型下累積滯回耗能估算誤差Fig.12 Estimation error of cumulative hysteretic energy consumption of 22 RC specimens under two models

3.2 公共來源試件耗能評價

本文在美國太平洋地震工程研究中心(PEER)數據庫中通過以下條件檢索：1)有軸力；2)矩形截面對稱配筋；3)剪跨比大于2；4)彎曲破壞，并經篩選得到80個試件樣本，其中加載模式為穩態變幅加載的試件46個、標準試驗加載17個、任意變幅加載17個，具體設計參數見附錄。對其進行半滯回耗能和累積滯回耗能估算。

限于篇幅，僅列出6根試件半滯回耗能的計算結果，如圖13所示，圖中虛線表示過原點且斜率為1的位置，位于該虛線上的數據點表示其試件半滯回耗能試驗值與估算值相等。由圖可知，數據點基本圍繞該虛線分布，且經式(18)計算得出6根試件的皮爾遜系數值均大于0.8，這表明半滯回耗能試驗值與估算值之間存在極強的相關性。

圖13 6根試件半滯回耗能的分布Fig.13 Distribution of semi-hysteretic energy dissipation of six specimens

計算剩余試件半滯回耗能試驗值和估算值的皮爾遜系數，結果為：相關性程度中等(0.4＜r≤0.6)的試件數目僅為2，其試件加載模式分別為穩態變幅加載和標準試驗加載；相關性強(0.6＜r≤0.8)的試件數目為19，加載模式為穩態變幅加載的試件11個、標準試驗加載3個、任意變幅加載5個；相關性極強(0.8＜r≤1.0)的試件數目為59，加載模式為穩態變幅加載的試件34個、標準試驗加載13個、任意變幅加載12個且相關性極強的試件占總數73.75%，這表明耗能能力計算方法對樣本空間中多數試件的計算結果偏優。且該方法對任意加載模式的RC構件耗能估算而言，具有較好的普遍適用性。

將80根試件累計耗能的計算結果放入以試驗累積滯回耗能值為橫坐標、估算累積滯回耗能值為縱坐標的坐標系中，如圖14所示。

圖14 80根試件累積滯回耗能的分布Fig.14 Distribution of cumulative hysteretic energy consumption of 80 specimens

同樣的，圖14虛線上的數據點表示其試件累積滯回耗能試驗值與估算值相等。由圖可知，其數據點均圍繞該虛線分布，且累計耗能量在0～1×105范圍內的數據點和虛線更為貼近(圖15(a))，該范圍內累計耗能試驗值和估算值的皮爾遜系數為0.994，而累計耗能量在1×105～6×105范圍內的數據點分布較為松散(圖15(b))，皮爾遜系數為0.683，該現象可能與文獻[20]中自主設計試件的累計耗能量有關：22根試件的總滯回耗能量均在1×105以下。由此可知，該計算方法對于累積滯回耗能量較小(＜1×105kN·mm)試件的計算結果要優于累積滯回耗能量較大(＞1×105kN·mm)的試件。

圖15 根據累積滯回耗能量劃分區間Fig.15 Divides zones according to accumulated hysteretic energy consumption

4 結論

本文利用文獻[20]中18根穩態變幅加載RC構件，對其原始滯回數據進行處理及擬合分析，可以得到如下結論：

(1)穩態變幅加載方式下，RC構件后續任意滯回階段D-n曲線走勢決定于歷史最大位移和已累積耗散的能量，即后續任意滯回階段D-n曲線均可由以該滯回階段為初始滯回階段的D-n曲線平移得到。

(2)基于平移假設，通過拆分18根穩態變幅加載試件的D-n曲線進行擬合，提出了優化后的耗能能力計算方法。對于作為提出該方法理論支撐的22根RC構件，優化后的模型相較傳統模型無論是過程估算還是結果估算上，均表現出更高的準確性及穩定性；對于從PEER數據庫中選取的加載模式多樣的80根試件，該方法表現出較好的普遍適用性，以及針對小耗能構件估算準確性更高的特點。

(3)為拓展所提出的耗能能力計算方法的適用性、可靠性以及應用的普及性，需針對軸向力、剪跨比、混凝土強度等設計參數以及累計滯回耗能量這一最終目標，設置科學、有效且充足的對照試驗來分析對計算方法的影響。