考慮基體變形的結合面連續光滑接觸剛度模型

李 玲，王晶晶，史小輝，楊亞蘭，阮曉光

(1.西安建筑科技大學機電工程學院，西安 710055；2.西安陜鼓動力股份有限公司，西安 710075)

結合面在機床運行過程中起著傳遞運動、載荷和能量的重要作用，同時也是引起機床非線性和不確定性的根源[1?3]。研究表明，結合面的剛度約占機床中總剛度的60%～80%，其剛度值的大小和變化規律，直接影響著機床的靜、動態力學性能和精度保持性水平[4?5]。因此，開展粗糙表面接觸剛度特性的研究，對整機性能的評估與動態優化具有重要的理論指導意義。

Greenwood和Williamson[6]是較早開展接觸理論研究的先驅者。他們將粗糙表面上微凸體高度分布看成隨機函數，并基于Hertz理論提出統計學微觀彈性接觸模型(GW模型)，奠定了接觸力學基礎。為進一步完善粗糙表面的接觸理論，Chang等[7]考慮微凸體變形過程中體積守恒原則，建立了粗糙表面的彈-塑性接觸模型(CEB模型)。但該模型卻忽略了微凸體由彈性到塑性變形的中間過程，使得在臨界屈服點處接觸載荷出現不連續現象。Zhao等[8]為彌補CEB模型的不足，將微凸體的變形分為彈性變形、彈塑性變形和完全塑性變形階段，并利用多項式數學插值法建立了粗糙表面的彈塑性接觸模型(ZMC模型)。該模型增強了接觸載荷和平均接觸壓力在彈性屈服點與塑性臨界接觸點的連續性，但卻忽略了光滑性，導致建立的接觸剛度模型在2個臨界點處均是不連續的。Kogut和Estion[9?10]利用有限元法，將微凸體的彈塑性接觸變形區細分為2個子區域，建立出更高精度的彈塑性接觸模型(KE模型)。但在這兩個子區域的轉換點處和彈塑性變形的開始與結束點處，接觸載荷也是不連續的，從而引起其剛度模型的不連續性。Brake[11]采用三次Hermite多項式插值函數，提出了一種在不同接觸狀態之間，接觸載荷光滑且連續變化的粗糙表面彈塑性接觸模型，但由于其多項式階次較高，獲得的接觸載荷與變形量之間的關系曲線出現振蕩，從而導致使用其所建立的接觸剛度模型也會出現振蕩，甚至出現負剛度的情況。

上述模型除了各自所存在的缺陷外，還忽略了微凸體所附著的基體的變形情況。對于一些含有硬涂層的粗糙表面，其接觸特性主要由軟基體上的硬涂層材料決定，此時較軟基體的變形對粗糙表面的接觸特性有著顯著的影響[1,12 ?13]。在之前的研究中[1]，僅對純彈性接觸下的基體變形進行了分析，但未包含微凸體的彈塑性和完全塑性變形階段。為此，本文基于微凸體在彈塑性接觸變形過程中，其接觸載荷和接觸剛度具有連續且光滑的特性，首先對Hermite多項式直接插值函數進行了改進，提出了一種在微凸體的整個變形過程中，其接觸剛度滿足連續且光滑變化的模型。其次，引入了基體的彈性變形，提高了傳統接觸剛度建模的精度。然后，基于統計學方法，將單個微凸體-基體系統模型拓展到整個粗糙表面上，建立了考慮基體變形的連續光滑結合面剛度模型。最后，與GW、ZMC、KE、Brake模型進行對比分析，驗證了本文接觸剛度模型的正確性。

1 單個微凸體-基體系統的接觸剛度

基于以下4點假設開展結合面剛度建模研究。

1)將圖1(a)兩個粗糙表面的接觸，等效為圖1(b)所示的光滑剛性平面與等效粗糙表面的接觸。

圖1 粗糙表面接觸模型Fig.1 Rough surface contact model

2)微凸體發生接觸變形前后的體積保持不變，其變形剛度為ka；基體的變形為彈性變形，其變形剛度為kb，如圖1(c)所示。

3)微凸體的分布是各向同性的，且各個微凸體間的變形相互獨立。

4)微凸體高度服從高斯分布，所有微凸體的峰頂都等效成半球體，且具有相同的峰頂曲率半徑。

圖1(c)為單個微凸體-基體系統的受力分析。當剛性平面被施加一法向載荷f時，微凸體產生δa的變形，同時基體也發生δb宏觀變形，z為微凸體變形前的高度，d為基體平均平面與剛性平面間的距離。考慮基體變形影響下系統總變形量δ可表示為：

基于Chang等[7]的研究，微凸體由彈性變形轉變為彈塑性變形時的臨界接觸變形量可表示為：

微凸體開始發生完全塑性變形時的臨界變形量δp與初始屈服點臨界變形量δc的關系為[15]：

基于式(1)～式(3)，在考慮基體變形的同時，對微凸體的彈性、彈塑性以及完全塑性接觸變形進行逐一分析。為便于描述，下文依次按彈性變形、塑性變形和彈塑性變形3個階段建模分析。

1.1 彈性接觸變形階段

當微凸體變形量0＜δa＜δc時，根據Hertz接觸理論，微凸體的彈性接觸載荷fae可表示為：

式中，δae為微凸體彈性階段的接觸變形。由剛度的定義，可得單個微凸體發生彈性變形時的接觸剛度：

當微凸體受到載荷時，微凸體和基體的接觸區是一個半徑為rb的圓形區域(如圖1(c)所示)，且在該區域內各點受到的壓力各不相同，最大接觸壓力P0發生在接觸中心，可表示為[1]：

距離接觸區域中心的距離r不同，基體表面發生的法向位移不同，當基體受到的最大壓力P0不斷變化時，基體表面的法向位移可表示為：

聯立方程式(6)和式(8)，可獲得基體的彈性剛度：

根據力的相互作用原理和疊加原理，可得：

將式(4)、式(9)和式(11)代入式(10)，可得微凸體變形δae和系統總變形δ之間的關系：

由式(11)可知，微凸體變形δae是系統總變形δ的函數，令δae=g(δ)，則式(13)可重新表示為：

為獲得δae與δ的直接關系，以便下文進行基體變形影響下粗糙表面的接觸建模與分析，在之前的工作中已采用不動點迭代法對式(14)進行了數值求解，獲得彈性接觸時，考慮基體變形影響下微凸體接觸變形δae的計算表達式[16]：

1.2 完全塑性接觸變形階段

當微凸體變形量δa＞δp時，微凸體將發生完全塑性接觸變形，此時微凸體的接觸載荷fap和接觸剛度kap可分別表示為[17]：

式中，δap表示完全塑性階段的微凸體接觸變形。同理，根據力的相互作用原理，可得：

聯立式(9)、式(11)、式(17)和式(18)，可得微凸體發生完全塑性變形時的變形量δap與系統總變形δ之間的關系為：

1.3 混合彈塑性接觸變形階段

當微凸體變形量δc≤δa＜δp時，微凸體變形處于混合彈塑性階段。通過研究發現，改進Brake模型[11]的Hermite多項式直接插值函數，來彌補插值函數階次較高而引起微凸體接觸參數振蕩行為，可實現微凸體的接觸載荷連續光滑變化。利用對數變換可將混合彈塑性區域插值間區間(1，110)減小為(0，4.7≈ln110)，進而很大程度降低了接觸行為的振蕩性，最終可得彈塑性接觸變形階段的法向接觸載荷和法向接觸剛度分別為：

式中：δaep為混合彈塑性階段的微凸體接觸變形；C1、C2和C3為Hermite多項式插值函數的系數項，分別表示為：其中，q=δp/δc=110，表示塑性臨界接觸變形與彈性臨界變形之比。

同理，在微凸體的彈塑性接觸變形階段中引入基體變形的影響。根據力的相互作用原理，有：

聯立式(9)、式(11)、式(20)和式(22)，可得：

為簡化式(23)的數值求解過程，忽略參數值較小的C3項，式(23)可重新表示為：

進一步化簡為：

式中，λ=R/4rb為確定微凸體幾何形狀的基本參數。

類似地，令δaep=g(δ)，則式(25)可表示為：

采用不動點迭代法可得式(26)的近似解，迭代公式為：

式中，n=0,1,···,∞，迭代的次數越多，得到的結果越精確。經過數值計算發現，只需迭代2次得到的近似解就非常接近于數值解，且兩者之間的誤差不超過5%。因此微凸體的變形量δa可以近似地表示為一個關于總變形δ的函數，即：

圖2顯示了微凸體變形量δa數值解與近似解的對比。由圖可知，對于不同的微凸體幾何參數λ，數值解與近似解之間的誤差很小，從而證明用近似解代替數值解的有效性。從圖中可以發現，對于相同的系統變形量δ，微凸體變形量δa隨著λ的增大而減小，而基體的變形逐漸增大。此時，基體的接觸變形在微凸體-基體系統中起主導作用。

圖2 微凸體變形量數值解與近似解的對比Fig.2 Comparison of numerical solution and approximate solution of asperity deformation

2 考慮基體變形的接觸剛度模型

為研究結合面的微觀接觸特性，需將單個微凸體-基體系統模型擴展到整個粗糙表面上，從而建立一種具有連續光滑特性并考慮基體變形的粗糙表面接觸新模型。根據統計學方法和微凸體高度服從高斯分布，假設粗糙表面名義接觸面積上微凸體的總數為N，則不同接觸間隙d下發生接觸的微凸體數量可表示為[14]：

式中：N=ηAn，η為微凸體密度，An表示名義接觸面積；φ(z)為微凸體高度分布的概率密度函數。對于某一給定的表面接觸間隙d，整個變形區內粗糙表面的接觸載荷Fnew可表示為：

式中，Fe、Fp、Fep分別表示彈性接觸載荷、塑性接觸載荷及彈塑性接觸載荷，分別表示如下：

將式(4)和式(15)代入式(32)，式(16)和式(19)代入式(33)，式(20)和式(28)代入式(34)，即可分別獲得基體變形影響下粗糙表面的彈性接觸載荷、塑性接觸載荷及彈塑性接觸載荷，從而將式(31)進一步表示為：

在微凸體的三個變形階段中，考慮基體變形δb影響的無量綱微凸體接觸變形可根據式(15)、式(19)和式(28)分別表示為：

無量綱概率密度函數φ(z)，可表示為：

式中，z*=z/σ，表示無量綱的微凸體高度參數，σs為微凸體高度的標準差，與粗糙表面高度的標準差σ的關系為[14]：

式中，γ=ηRσ為粗糙表面的綜合粗糙度參數。

同理，整個粗糙表面的法向接觸剛度Knew可表示為：

類似地，將式(5)、式(15)、式(17)、式(19)、式(21)和式(28)分別代入式(40)即可獲得考慮基體變形影響下的粗糙表面接觸剛度，則有：

3 分析與討論

3.1 接觸剛度模型對比分析

表1 四種不同粗糙表面形貌參數[18]Table1 Four different rough surface topography parameters

利用式(34)和式(38)，可得不同粗糙表面下接觸剛度與接觸載荷之間的關系，如圖3所示。由圖3可知，本文模型與GW、ZMC、KE、Brake模型計算的接觸剛度曲線均一致，且均隨著接觸壓力的增大而增大，從而表明本文剛度模型的合理性，可適用于不同粗糙形貌表面的接觸剛度特性分析。

通過對比圖3(a)～圖3(d)可知：隨著表面粗糙度的增大，不同接觸模型在相同載荷下的接觸剛度增大，會引起粗糙表面間真實接觸面積減少，從而使得粗糙表面的接觸剛度增大。因此，可以通過降低表面粗糙度來改善粗糙表面的接觸剛度特性。

此外，從圖3還發現：①對于光滑接觸表面，Brake模型預測的接觸剛度最大，且不同模型之間的差距較小，尤其是當接觸壓力較小時，它們之間的差距很小；②對于中等粗糙接觸表面，依然是Brake模型的結果最大，但此時本文未考慮基體變形的模型最接近于GW模型結果；③對于粗糙和非常粗糙的表面，GW模型預測的接觸剛度最大，且其與其他模型的計算結果存在較大的差異。

圖3 不同粗糙表面模型下接觸剛度與法向接觸壓力的關系Fig.3 Relationship between contact stiffness and normal contact pressure for different rough surface models

3.2 基體變形對接觸剛度的影響

圖4顯示了不同粗糙表面形貌下基體變形對表面接觸剛度的影響。由圖可知，對于相同的無量綱表面接觸間隙d*，與未考慮基體變形下的接觸剛度值相比，考慮基體變形的接觸剛度較小。這是因為，在未考慮基體變形的接觸模型中，認為微凸體的變形等于系統的總變形，此時獲得的微凸體變形量不是其真實的變形量，包含基體的變形量。換言之，未考慮基體的宏觀變形時，計算得到的微凸體變形量大于其實際的變形，從而導致計算的接觸剛度偏大，而考慮基體變形時預測的接觸剛度更準確。

圖4 不同粗糙表面形貌下基體變形對接觸剛度的影響Fig.4 The influence of matrix deformation with different rough surface morphologies on contact stiffness

對比圖4(a)～圖4(d)可知，隨著表面粗糙度的增大，兩者之間的差距逐漸減小，即基體變形的影響減弱了，直到表面非常粗糙時，兩者之間的差距很小，這與實際情況是一致的。從圖中還可以發現，隨著表面無量綱接觸間隙的減小，兩者之間的差距遞增，這是因為表面接觸間隙的減小意味著接觸載荷的增大，此時基體變形越大。

此外，從圖4中還可以獲得，表面接觸剛度隨表面間隙的增大而減小，且其減小的速率呈先快后慢的變化趨勢，這是因為當表面粗糙度與外載荷一定時，隨著表面接觸間隙的增大，表面間發生接觸微凸體的數目減小，引起粗糙表面真實接觸面積的減小，從而導致接觸剛度的減小。此外，當無量綱表面接觸間隙d*=d/σ增大到3時，此時粗糙表面的接觸剛度非常小，趨近于0，這是因為對于微凸體高度服從高斯分布的粗糙表面，微凸體高度分布在[?3σ，3σ]的概率為99.73%，即幾乎所有的微凸體高度z均小于3σ，所以當d*=3時，粗糙表面間接觸的微凸體數目極少，從而導致表面接觸剛度很小，幾乎趨近于0。

3.3 基體變形對接觸載荷的影響

圖5表明，不同粗糙表面形貌下，接觸載荷與接觸間隙之間的關系，即隨著表明粗糙度的增加，接觸載荷在增加，而考慮基體變形和未考慮基體變形差距在減小，且隨著表面粗糙度的增大，基體變形的影響逐漸減小，其產生機理與3.2中接觸剛度與接觸間隙之間的規律相同。

綜上所述，基體變形直接影響結合面的接觸特性，尤其在粗糙度較小時，對結合面的接觸特性影響很大，需要重點考慮。因此，對于一些含有硬涂層的粗糙表面，其接觸特性主要由軟基體上的硬涂層材料決定，此時較軟基體的變形對粗糙表面的接觸特性有著顯著的影響。

4 結論

本文為提高了結合面傳統接觸剛度建模的精度，引入了基體的彈性變形，并將單個微凸體-基體系統模型拓展到整個粗糙表面上，建立了考慮基體變形的連續光滑結合面剛度模型，通過與GW、ZMC、KE、Brake模型進行對比分析，驗證了本文剛度模型的正確性。主要結論如下：

(1)通過對比分析發現，針對相對光滑表面，GW、ZMC、KE、Brake模型與本文模型所得的接觸剛度之間的差異較小。而當表面粗糙度增大時，GW模型與其他幾種模型的差異逐漸增大，此時本文模型結果介于Brake模型和ZMC模型之間，表明本文模型的正確性。

(2)考慮基體變形時所獲得的接觸剛度和接觸載荷比忽略基體變形時的要小，且隨著表面粗糙度的減小，基體變形的影響快速增加。因此，當表面粗糙度較小時，基體變形直接影響結合面的接觸特性不容忽略。

(3)接觸載荷與表面粗糙度是影響結合面接觸剛度的兩個主要因素，隨著載荷的增大或表面粗糙度的減小，接觸剛度隨之遞增。因此，實際工程中可通過優化接觸載荷與表面粗糙度參數，來匹配設計結合面的接觸剛度和接觸阻尼值，獲得性能更加優越動態力學性能。