佐洛塔廖夫對代數數論的貢獻

張文君 王淑紅

19世紀以來，代數數論得到了蓬勃發展，樹立了數學史上的一座座豐碑。在其產生和演化的過程中，涌現出大批數學英雄人物。在這些英雄人物中，有一位卻鮮為人所提及。他英年早逝，卻在數學的多個領域留下厚重的足印。這就是圣彼得堡數學學派的伊戈爾·伊萬諾維奇·佐洛塔廖夫（Egor Ivanovich Zolotarev， 1847—1878）。

短暫而奮發圖強的一生

佐洛塔廖夫1847年3月31日出生于圣彼得堡的一個中產階級家庭，其父伊萬·佐洛塔廖夫（Ivan Zolotarev）是鐘表店老板，其母阿加菲婭·佐洛塔廖夫（Agafya Zolotarev）是一位家庭主婦。

1857年，佐洛塔廖夫進入圣彼得堡第五文法學校（The Fifth St Petersburg Grammar School）學習。這所學校以數學和自然科學為重心，數學出身的校長特別注重選拔優秀的數學、物理教師，甚至還親自教授數學課程。他曾寫道：“在每一次算術運算和代數量的學習中，學生們將被安排盡可能多的任務，大部分是實際可操作的，并進一步考察盡可能廣泛的問題[1]。”優秀的老師使佐洛塔廖夫接受了豐富的數學知識，培養了獨立思考的能力，再加上自己具有很強的數學天賦，使他在學生中脫穎而出。

1863年，佐洛塔廖夫以第二名的優異成績畢業，同年進入圣彼得堡大學（St Petersburg University），因為年紀太小只能當旁聽生。1864年，他正式被圣彼得堡大學物理和數學學院（Faculty of Physics and Mathematics）錄取。在此期間，他聆聽了切比雪夫（P. L. Chebyshev， 1821—1894）和科爾金（A. Korkin， 1837—1908）的課，兩位老師精彩的課程以及提出的建議幫助他迅速提高，后來他與他們有多方面合作。此外，他的老師還有索莫夫（I. Somov， 1815—1876）等人，佐洛塔廖夫與他們建立起親密的科學友誼。1860年代是俄羅斯綜合國力的全盛時期，許多杰出科學家活躍于這個時代。

1867年，佐洛塔廖夫完成了大學學業，為獲得教師應聘資格，他完成論文“關于回轉方程的積分”（About the integration of gyroscope equation）。1868年，他完成了求職論文“關于極小值的一個問題”（About one question on minima）。這篇文章很出色，展示了作者強大的知識儲備和較為深刻的研究成果。之后，佐洛塔廖夫開始作為無薪講師在圣彼得堡大學授課。他先是為自然科學學院（School of Natural Science）的學生講授微積分（直到1871年夏天），之后為數學系低年級學生講授積分和分析導論。除了中間一段短暫時期，他在擔任講師和教授期間還為數學專業的高年級學生講授高等代數。

在為學生授課的同時，佐洛塔廖夫繼續在物理和數學學院學習，研究三次不定方程。1869年春，22歲的他通過了碩士入學考試，師從切比雪夫。同年12月，他完成碩士論文“關于三次不定方程的解”（About the solution of the indefinite equation of the third degree）。這篇文章共62頁，是佐洛塔廖夫科研上的一次重大突破[2]。值得一提的是，當時俄國的碩士論文水平相當于英國或美國大學的博士學位論文水平。碩士畢業后，佐洛塔廖夫繼續在切比雪夫的指導下做博士論文，1873年獲得博士學位。博士論文于1874年4月28日發表，題目為“復數理論在積分學中的應用”（Theory of complex numbers with an application to integral calculus），這篇論文討論了一系列更重要的問題，使他一躍成為當時最杰出的數論學家之一。

其間，即1872年，佐洛塔廖夫曾出國游學，訪問了柏林。這是他第一次出國訪學。在那里他聆聽了魏爾斯特拉斯（K. T. W. Weierstrass， 1815—1897）的解析函數論課程、柯尼斯伯格（L. K？nigsberger， 1837—1921）的復變函數論課程和庫默爾（E. E. Kummer， 1810—1893）的解析幾何課程。佐洛塔廖夫覺得庫默爾講課非常有趣，會認真聽其課上的每一句話。佐洛塔廖夫后來在代數數論方面的成果也得益于與庫默爾的交流。

1876年夏，佐洛塔廖夫再次出國訪學，這次去的是巴黎。在巴黎期間，他與埃爾米特（C. Hermite， 1822—1901）進行了許多討論。埃爾米特對他和科爾金合作的二次型算術理論方面的工作非常感興趣，并給予高度評價。佐洛塔廖夫遂寫信給科爾金，在信中他談到了國外訪學的感受，對德國和法國數學家的印象，并討論一些相關的數學問題。

1876年冬季學期的開始，佐洛塔廖夫被任命為圣彼得堡大學物理和數學學院的教授。索莫夫去世后，佐洛塔廖夫是他的繼任者，成為圣彼得堡科學院數學學院的副院士。該院的成員中包括許多法國和德國數學家，從一個側面說明佐洛塔廖夫在俄國和歐洲受到了廣泛的贊賞。

1878年7月7日，正值暑假，佐洛塔廖夫在去普希金探親的途中，意外跌倒在一輛車下，因救治無效，于7月19日不幸去世。

在多個數學領域建立功勛

雖然佐洛塔廖夫因意外離世，其科學活動僅僅持續了10多年，但他在代數數論、逼近論、二次型和橢圓積分等方面做出了奠基性工作。

佐洛塔廖夫研究了代數數域中的整數環，給出了這類整數環的可除性理論，發展了庫默爾的思想。1878年他在《數學年刊》（Mathematische Annalen）上發表的論文“關于復數”（On complex numbers），主要探討了具有整系數的函數，證明了在奇異情況下的定理，還包含一個基本引理的證明，該引理是適用于非奇異和奇異情形的可除性理論的基礎。1880年在《純粹與應用數學雜志》（Journal de Mathématiques Pures et Appliquées）上發表的論文“關于復數理論”（On the theory of complex numbers），其中包含了可除性理論的一般構造方法。

佐洛塔廖夫于1874年在《純粹與應用數學雜志》上發表了文章“關于切比雪夫先生的積分方法”（Sur la méthode dintégration de M.Tchebichef）。這篇文章強調了橢圓函數和復變函數之間的關系，將復整數理論應用于橢圓微分的積分。阿貝爾已經證明了某些橢圓微分可以用對數積分，但他的方法幾乎沒有實際應用價值。佐洛塔廖夫提供了更有效的解決方案。

埃爾米特提出了求含有n個實系數變量的二次型最小值的問題。佐洛塔廖夫與科爾金一起研究，他們能分別給出含有4個變量和5個變量二次型的最小值。

佐洛塔廖夫在逼近論中提出了4個問題，并都進行了解答，這些成果主要出現在1877年的《數學年刊》上。他研究的前兩個問題，試圖將多項式p（x）上的max{p（x）：-1≤x≤1}最小化，其中多項式p（x）的系數滿足給定條件。第三和第四個問題是關于給定區間上的有理函數的最優逼近[3]。

佐洛塔廖夫發表論著共28篇（部）。從1870年代初一直到1877年，他的文章都發表在《數學年刊》上。從同時代人對他的評價來看，佐洛塔廖夫是一個非常善良、直率和友好的人，他對于教學持有極其認真的態度并深受同事和學生們的愛戴。除了在圣彼得堡大學任教之外，他自1869年還在交通工程學院（School of Transportation Engineering）教授“分析力學”。他參與編寫了一些教科書，比如《分析力學教程》（Course in Analytical Mechanics）、《高等代數》（Higher Algebra）等。

抒寫代數數論壯麗華章

佐洛塔廖夫的代數數論思想來源于高斯的復整數理論和庫默爾的理想數理論。

高斯在1801年出版了《算術研究》（Disquisitiones arithmeticae），開始了互反律的研究。1832年，高斯又發表了一篇重要論文，其中出現了四次互反律。他為了簡潔完美地表述這一定理，使用了形如a+bi的數，將其稱為復數，這里a， b是整數且i是x2+1=0的一個根。后人為了將它與通常的復數相區分，稱之為復整數（或高斯整數）。他把形如a+bi的每一個數a都定義其范數為Nα=（a+bi）（a-bi）=a2+b2。根據范數的定義可以得到Nαβ=NαNβ。容易看出，復整數之間進行加、減、乘運算仍是復整數。在通常的整數論中，可逆元素是±1，而在高斯的復整數論中，可逆元素卻是±1和±i。進一步高斯又證明：只要不把4個可逆元素作為不同的因數，唯一因子分解定理對復整數也成立。通過復整數，高斯能夠給出四次互反律的一種更為簡潔的表述形式。但遺憾的是，高斯未曾發表它的證明。第一個給出這一定理的證明的人是雅可比（C. Jacobi， 1804—1851），后來，雅可比為了闡述高次互反律的特殊情形，又分別研究了具有5次、8次、12次單位根的復整數，而且把這些數分解成了素整數的乘積，規定它們也滿足自然數通常的性質。

雖然庫默爾和佐洛塔廖夫在文章中都提到“理想因子”，但是他們本質上主要討論的是理想因子在整數中的指數。佐洛塔廖夫發展了庫默爾的局部方法，構造了一種完全嚴格的代數運算。同樣值得注意的是，在他的代數數構造中，佐洛塔廖夫依賴于上述引理，該引理同時對代數數和代數函數成立，因此他的理論可以立即推廣到代數函數環上。

同時代的戴德金（J. W. R. Dedekind， 1831—1916）和克羅內克（L. Kronecker， 1823—1891）也對庫默爾的理想數理論進行了發展，但只有戴德金的理想論獲得了更多的傳承。佐洛塔廖夫雖然與戴德金一樣將庫默爾的理論推廣到代數數域和函數域，但他們所采用的方法是不同的[8]。戴德金將庫默爾理論推廣到代數整數環上，他的基本思想是用理想的概念取代庫默爾的理想數概念。佐洛塔廖夫也在同樣的環中做研究，但是對于有理素數p，他引入了關于p的特定概念，證明了由代數整數所表示的理想素因子的存在性，用的是指數賦值的思想。雖然戴德金和佐洛塔廖夫兩人在學術上有著相似的研究課題，但是他們沒有多少交流，通信很少。他們之間缺少溝通的原因可能正是他們的基本思想方法不同，以至于雙方覺得跟對方討論數學是徒勞的，即使如此，他們對彼此的文章還是有所了解的，比如通過佐洛塔廖夫1874年的博士論文以及其他材料，可以知道他也知道戴德金的理想論。

在傳承中獲得長久生命力

佐洛塔廖夫的代數數論思想對博列維奇（Z. I. Borevich， 1922—1955）和沙法列維奇（I. R. Shafarevich， 1923—2017）產生了重要的影響。博列維奇與沙法列維奇在1964年共同出版了著作《數論》（Number theory）。該書的主要內容既有經典理論，也有當時的新理論，包含了許多其他書籍所沒有的重要且有意義的結果。在大多數章節末尾都有一個習題集。作者在前言中介紹了研究不定方程的主要方法，包括代數方法、幾何方法和分析方法。該書分為五章，每章都有七八節。這五章的內容分別為同余、用可分解的型表示數、可除性理論、局部方法和分析方法。作者特別重視局部方法，其中許多內容是對佐洛塔廖夫代數數論思想的繼承和發展。

在第三章“可除性理論”中作者概述了代數整數分解為素因子乘積的問題。本部分介紹了源于庫默爾的可除性理論。然后，作者進一步描述了可除性理論和給定環的商環的指數之間的密切聯系，闡述了指數的性質并證明了指數在環的最終擴張上保持不變的定理，延續了佐洛塔廖夫的指數賦值思想。在這一部分的附錄中，作者給出了構造因子和計算因子類數的方法，并對費馬大定理和其他理論進行了評述，其中有佐洛塔廖夫的可除性理論。在第四章“局部方法”中，作者專門介紹了佐洛塔廖夫的方法，主要內容是研究局部環和這些環上解析函數的性質。

《數論》自出版以來，就在數學界被廣泛傳播，1966年分別被譯成德文和英文出版，1967年又被譯為法文出版，俄文的第二版與第三版分別出現在1972年和1984年，法文版于1992年出了第二版。據谷歌學術不完全統計，截止到2021年1月，各個版本的《數論》被引用總量超過2200余次，其中英文版本的被引用量最高，高達2100余次，法文、德文、俄文版本的引用量也都超過10余次。該書不僅僅為人們廣泛閱讀，而且得到了大家的一致好評和高度贊譽。數學家尼文（I. Niven， 1915—1999）這樣評價《數論》英文版：“這是一本非常獨特并且富有價值的書，因為它很少與其他目前可用的相關英語文本重疊。該書神韻與深度并存，它在數論方面提供了一種高水平教材[9]。”數學家莫德爾（L. J. Mordell， 1888—1972）對《數論》評價道：“這本書是我有幸讀過的最迷人的書之一，它非常具有啟發性，每一個對數論有興趣的人都應該得到這本有意義的書[10]。”總之，《數論》中關于數論的內容非常豐富，提供了一些很有價值的成果，這些成果使公眾以更容易的方式涉足這一領域，必將會繼續影響一批又一批的數學工作者。

佐洛塔廖夫勤奮好學，不畏艱難，勇攀科學高峰，致力于攻克重要的數學問題。他在高斯和庫默爾等人的數論思想基礎上，發展了庫默爾的局部方法，構造了一種完全嚴格的代數數的運算，運用局部化和整體化的方法研究局部環和半局部環，證明了關于主理想環的結果。這一方法之后被亨澤爾（K. Hensel，1861—1941）所獨立發展。佐洛塔廖夫和亨澤爾的工作是局部代數核心思想和方法的開端。佐洛塔廖夫31歲便因意外溘然長逝，不得不說這是國際數學界的重大損失。但他給出的理論和方法仍為人們所沿用和發展，相信他卓越的數學成就將永遠被人們銘記。

[本文相關工作獲國家自然科學基金項目（11871018）資助。]

[1]OConnor J J， Robertson E F. Egor Ivanovich Zolotarev. [2003-03-01].https：//mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Zolotarev/

[2]Kolmogorov A N， Yushkevich A P. Mathematics of the 19th century： geometry， analytic function theory. Boston： Birkh？user Verlag， 1992： 245-256.

[3]Bashmakova I G. Zolotarev， Egor Ivanovich. [2021-01-19]. https：// mathshistory.st-andrews.ac.uk/DSB/Zolotarev.pdf

[4]Edwards H. The background of Kummers proof of Fermats last theorem for regular primes. Archive for History of Exact Sciences， 1975，14（3）： 219-236.

[5]Goldstein C， Schappacher N， Schwermer J. The shaping of arithmetic after Gausss disquisitiones arithmeticae. New Nork： Springer， 2007： 453-462.

[6]Zolotarev E I. On the theory of complex numbers. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées， 1880， VI（3）： 51-85； 115-129； 145-167.

[7]Nalbandjan M B. The theory of elliptic functions and its applications in the works of E. I. Zolotarev. Istoriko-Matematicheskie Issledovaniya， 1965（16）： 905-908.

[8]王淑紅. 環論源流. 北京： 科學出版社， 2020： 8-25.

[9]Niven I. Number theory by Z. I. Borevich， I. R. Shafarevich. American Mathematical Monthly， 1967， 74（6）： 751.

[10]Mordell L J. Thought on number theory. Journal of London Mathematical Society， 1946， 22（1）： 58–74.

關鍵詞：佐洛塔廖夫 代數數論 理想 p整數 ■