現代微分幾何學的發展（上）

陳躍 朱善軍

現代一般認為微分幾何學作為一門數學分支而獨立存在，主要應歸功于19世紀德國大數學家高斯關于曲面內蘊幾何的杰出思想。在20世紀現代數學的眾多分支中，微分幾何已成為一門十分重要的主流分支學科。現代數學中之所以要大量使用微分幾何學方法的主要原因是由于研究高維抽象幾何空間整體問題的需要，并且整體微分幾何往往與代數幾何、代數拓撲、微分拓撲、多復變函數論、偏微分方程等學科交織在一起，形成了更抽象的現代意義上的幾何學。

20世紀前經典微分幾何學的發展狀況

經典微分幾何主要從局部的角度來研究3維歐氏空間中的光滑曲線和光滑曲面。18世紀和19世紀的數學家們運用多元微積分刻畫曲線和曲面的形狀和彎曲程度。他們引入了曲率的重要概念，包括曲線的曲率、曲面上曲線的法曲率和曲面的高斯曲率等。

19世紀初，高斯證明了“高斯曲率僅與曲面的內在度量有關”這一十分重要的內蘊幾何命題，這意味著，表面上看來與包含了曲面的3維空間有關的高斯曲率K，實際上與曲面所在的外部空間完全沒有關系，這個發現在微分幾何學的歷史上具有重大意義。高斯在他1827年的微分幾何著作中系統地創立了曲面的內蘊幾何學，他的主要思想是強調曲面本身的幾何量，它們包括了曲面上曲線的長度、曲面上兩條曲線的夾角、曲面上區域的面積、測地線（即連接曲面上兩點且位于曲面上的最短曲線，如球面上的大圓弧）、測地曲率和高斯曲率等只依賴于曲面內部度量的幾何量。

高斯的內蘊幾何理論為后來高維的黎曼幾何學的產生奠定了堅實的理論基礎。黎曼在他著名的1854年就職演講中，提出了高維的黎曼流形的基本思想和一些初步的研究成果，這種高維流形獨立于外在的空間而存在，并且局部又類似于歐氏空間（就像光滑曲面在局部的形狀類似于切平面一樣）。在這種很抽象的微分流形上，可以賦予現在被稱為“黎曼度量”的距離概念，用以計算流形內幾何體的長度、面積、各種維數的體積、測地線或其他的幾何不變量，特別是還有類似于高斯曲率K那樣的用來刻畫幾何體形狀的黎曼曲率張量。這樣，黎曼就將高斯曲面理論的主要內容基本上都推廣到了高維的黎曼流形上。

19世紀后期，以克里斯托費爾（E. B. Christoffel）和里奇（G. RicciCurbastro）為代表的一些數學家把黎曼幾何學當成了二次微分形式的不變量理論來研究，從中建立了協變微分的基本概念和張量分析的方法，以此來進一步闡發黎曼的深刻思想。協變微分的概念實際上是微積分中微分概念的自然推廣，而像高斯曲率K和黎曼曲率這樣的基本幾何量都是張量，張量的一個特點是指標特別多（如這里的i， j， k， l），令人感到有些眼花繚亂。張量分析方法雖然有這個缺點，但它確實是描寫和表達黎曼流形的局部幾何性質所必需的，這里所說的局部性質是指在流形的一個充分小鄰域中的性質。

然而到20世紀初期，包括早期黎曼幾何在內的經典微分幾何學逐漸進入了一個發展的瓶頸期，局部坐標下大量繁瑣的張量指標運算往往掩蓋了黎曼流形非常豐富的幾何與拓撲內涵，此外再加上20世紀初抽象代數與拓撲學的方法還未成熟，所以就很難再將局部黎曼幾何的研究進一步向前推進到整體黎曼幾何的境地。究竟路在何方？這是很多數學家思考的問題。

20世紀上半葉現代微分幾何學的醞釀和興起

在1900年前后的幾年里，龐加萊寫了一系列關于代數拓撲方面的論文，其中給出了他所發現的微分流形最基本的拓撲不變量：同調群和同倫群。與此同時，é.嘉當（é. J. Cartan）對一種被稱為“李群”的特殊微分流形以及它上面的微分形式（也稱為“外微分形式”）的理論進行了深入研究。接下來，另一位大數學家外爾（C. Weyl）還建立了關于黎曼曲面的系統理論，所有這一切才使得微分流形的概念和理論慢慢清晰起來，從而開始為整體黎曼幾何學建立起真正的理論基礎與框架。

微分流形的嚴格定義是局部同胚于歐氏空間的拓撲空間，這里的要點是：微分流形必須是獨立于外在的幾何空間而存在。這種幾何觀念甚至比非歐幾何還要激進。在波爾約（J. Bolyai）和羅巴切夫斯基（N. Lobachevsky）的非歐雙曲平面上，雖然每一個三角形的內角和都小于180°，但是由于在這種平面上任意點處的曲率都是相等的，因此每個三角形在平面內可以自由地移來移去，并且還有相關的幾何圖形可讓人進行直觀想象。但是在任意維數的微分流形上，可以設置各種各樣的黎曼度量，而且每一點的曲率也不一定相同，因此其中所包含的更小的“子流形”就不能隨意地移來移去了。更麻煩的是，大于3維的微分流形完全不能進行幾何直觀的想象，人們只能憑借代數和分析的工具，通過推理和具體的數學計算來抽象地把控微分流形。