探尋小學(xué)數(shù)學(xué)建模的有效路徑

江蘇省揚(yáng)州市梅嶺小學(xué)西區(qū)校 劉志彪

模型思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，數(shù)學(xué)建模能力是學(xué)生素養(yǎng)的內(nèi)核。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師要充分發(fā)掘?qū)W科價(jià)值和功能，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)。

一、原型喚醒，激活學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)模型是生活原型在數(shù)學(xué)中的反映，或者說(shuō)數(shù)學(xué)模型是生活原型在數(shù)學(xué)中的映射。數(shù)學(xué)模型是生活原型的簡(jiǎn)化和抽象。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要通過各種方式如情境創(chuàng)設(shè)、故事講解等來(lái)喚醒生活原型，從而激活學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生數(shù)學(xué)建模做準(zhǔn)備。“原型喚醒”有助于學(xué)生洞悉、洞察、感悟數(shù)學(xué)問題與現(xiàn)實(shí)問題的關(guān)聯(lián)，有助于學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題并進(jìn)行解釋、應(yīng)用。

教學(xué)蘇教版三年級(jí)上冊(cè)的《一一對(duì)應(yīng)》這一部分內(nèi)容時(shí)，教師就可以出示一些生活化的場(chǎng)景圖，喚醒學(xué)生內(nèi)在的生活表象，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究的積極性，如一根一根的電線桿與一段一段的電線、防盜窗上的鋼管和間隙等。這些學(xué)生生活中司空見慣的圖景、圖像的再現(xiàn)，較之于教材中人為設(shè)置的理想化的兔子蘑菇一一間隔排列情境更具自然性、更有說(shuō)服力。在教學(xué)中，教師不僅可以創(chuàng)設(shè)靜態(tài)的生活化情境，而且可以創(chuàng)設(shè)動(dòng)態(tài)化的生活情境。通過生活原型喚醒、激活學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)之后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察物體的排列規(guī)律，并盡可能地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生思考并進(jìn)行操作探究：兩端物體相同時(shí)，物體的排列有怎樣的規(guī)律，為什么有這樣的規(guī)律？?jī)啥宋矬w不同時(shí)，物體的排列又有著怎樣的規(guī)律，為什么有這樣的規(guī)律？當(dāng)數(shù)學(xué)教學(xué)能喚醒生活原型，激活學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)之后，就能拉近新知與學(xué)生已有知識(shí)的距離，讓學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)新知無(wú)縫對(duì)接，讓數(shù)學(xué)新知在學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上生長(zhǎng)開來(lái)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生更好地進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)探究，讓學(xué)生更好地理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

生活是數(shù)學(xué)知識(shí)的源頭活水，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要支撐。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)中選取生活化的資源、素材，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)。數(shù)學(xué)教學(xué)中的“善假于物”不僅是一門科學(xué)，更是一門藝術(shù)。喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，能為學(xué)生數(shù)學(xué)思考、探究奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、活動(dòng)內(nèi)化，應(yīng)用學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)

瑞士教育心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為，一切真知都應(yīng)該由學(xué)生自己獲得，或者由學(xué)生發(fā)明出來(lái)、發(fā)現(xiàn)出來(lái)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生感知、體驗(yàn)情境，運(yùn)用學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、生活經(jīng)驗(yàn)等，助推學(xué)生開展數(shù)學(xué)化的活動(dòng)。通過活動(dòng)，讓學(xué)生的舊知同化或者順應(yīng)新知，從而讓新舊知識(shí)進(jìn)行整合、重組，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)新知。在這個(gè)過程中，學(xué)生積極、主動(dòng)地猜想、驗(yàn)證、交流、抽象、概括等。

以蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)《面積的變化》這一部分內(nèi)容的教學(xué)為例，這一部分內(nèi)容是學(xué)生在已經(jīng)學(xué)習(xí)了圖形的放大和縮小的基礎(chǔ)上展開的。這個(gè)時(shí)候，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到圖形的放大或縮小大小變化而形狀不變，并且圖形中的每一條邊放大或縮小的倍數(shù)是相同的。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生基于自己的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)猜想：圖形的面積是怎樣變化的？在學(xué)生猜想的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生分小組展開驗(yàn)證活動(dòng)，有小組探究長(zhǎng)方形擴(kuò)大或縮小后的面積變化情況，有小組探究三角形擴(kuò)大或縮小后的面積變化情況，還有小組探究平行四邊形、梯形等圖形擴(kuò)大或縮小后的面積變化情況。在活動(dòng)的過程中，有學(xué)生從圖形放大兩倍、三倍等計(jì)算開始，通過觀察、對(duì)比、思考，得出了這樣的數(shù)學(xué)結(jié)論，即“圖形放大或縮小n倍，相應(yīng)的面積就擴(kuò)大或縮小n2倍”，由此建構(gòu)了這樣的數(shù)學(xué)模型：放大后的圖形與原來(lái)圖形的邊長(zhǎng)比是n:1，則面積比是n2：1。在數(shù)學(xué)建模的過程中，學(xué)生舉一反三、觸類旁通，不僅充分經(jīng)歷了行為操作過程（畫圖、測(cè)量等），而且充分經(jīng)歷了思維“操作”過程（猜想、驗(yàn)證、類推、分析和概括）等。

數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的活動(dòng)，讓學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)條理化、結(jié)構(gòu)化、有序化、顯現(xiàn)化、數(shù)學(xué)化。在數(shù)學(xué)模型建構(gòu)活動(dòng)中，教師要調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)想象，讓學(xué)生充分運(yùn)用自我的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)等進(jìn)行驗(yàn)證。在這個(gè)過程中，不僅可以豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而且能深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、學(xué)習(xí)方法的感悟、認(rèn)知。

三、方法滲透，豐富學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)建模有諸多建模方法，同時(shí)，數(shù)學(xué)模型也蘊(yùn)含著一定的建模思想。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地滲透方法，比如數(shù)據(jù)分析法建模、仿真法建模、因子試驗(yàn)法建模、數(shù)理分析法建模等。滲透數(shù)學(xué)建模方法，能豐富學(xué)生的建模經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生有效建模。正如瑞士教育心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為，兒童是在與環(huán)境的相互作用中發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)的。互動(dòng)，能催生學(xué)生的建模方法。

例如：教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《解決問題的策略——列舉》，教師就要有意識(shí)地滲透諸種建模方法，比如“分類列舉的方法”“有序列舉的方法”等。如在教學(xué)中，筆者曾經(jīng)遇到這樣的一道習(xí)題：學(xué)校在六年級(jí)舉行足球比賽，六年級(jí)有18個(gè)班級(jí)，如果采用“循環(huán)賽”（每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)）的比賽形式，那么一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？教學(xué)中，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化抽象，即將六年級(jí)每一個(gè)班看成一個(gè)點(diǎn)，將六年級(jí)每?jī)蓚€(gè)班級(jí)之間的一次比賽用一條線段聯(lián)結(jié)，這樣就將現(xiàn)實(shí)的、復(fù)雜性的問題轉(zhuǎn)化為在18個(gè)點(diǎn)之間連線，再判斷一共可以連線多少條。這是一種抽象化方法的滲透。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生“退下來(lái)”，從研究2個(gè)隊(duì)比賽、3個(gè)隊(duì)、4個(gè)隊(duì)比賽開始，逐步概括、總結(jié)出18個(gè)點(diǎn)之間每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)都要連線的問題，這是“退下來(lái)”建模的一種方法。不僅如此，筆者還引導(dǎo)學(xué)生思考：在某一次宴會(huì)上，18位代表每?jī)蓚€(gè)人之間都需要握一次手，一共需要握多少次手？此外，筆者還將問題變形，如第一輪先進(jìn)行循環(huán)賽，第二輪進(jìn)行淘汰賽，等等。通過滲透比較的方法，讓學(xué)生在建模中感悟列舉策略的要義。

法國(guó)著名數(shù)學(xué)家笛卡爾曾經(jīng)這樣說(shuō)，最優(yōu)價(jià)值的知識(shí)是關(guān)于方法的知識(shí)。數(shù)學(xué)建模教學(xué)，教師必須有意識(shí)地滲透、融入數(shù)學(xué)思想方法。只有這樣，學(xué)生才不僅具有建模的意識(shí)，而且具有建模的能力。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模的過程之后，必然能感悟、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)模型的意義和價(jià)值。

四、遷移應(yīng)用，拓展學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)是一個(gè)從感性到理性的過程。數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)不是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終極目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解釋、遷移和應(yīng)用，才是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本。應(yīng)該說(shuō)，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程中，更體現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型的實(shí)踐應(yīng)用之中。當(dāng)遇到相關(guān)的復(fù)雜性的問題時(shí)，學(xué)生能主動(dòng)調(diào)用、激活自我的內(nèi)在數(shù)學(xué)模型，并能應(yīng)用模型解決問題，才是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)然追求、根本所在。作為教師，可以引導(dǎo)學(xué)生逐步從對(duì)數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用過渡到數(shù)學(xué)模型的靈活應(yīng)用。通過數(shù)學(xué)模型的遷移、應(yīng)用，擴(kuò)充、豐盈學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

例如：教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《梯形的面積》時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生將“平行四邊形的面積”“三角形的面積”與“梯形的面積”進(jìn)行比較，從而抽象、提煉、概括出梯形面積的數(shù)學(xué)計(jì)算模型，讓學(xué)生深刻理解到“平行四邊形可以看成是上下底相等的梯形”“三角形可以看成是上底為0的梯形”等。這個(gè)比較的過程，不僅僅是多邊形面積計(jì)算比較的過程，更是梯形的面積計(jì)算模型的遷移、推廣過程。在隨后的應(yīng)用中，筆者不僅出示了學(xué)生生活中的多樣化素材并引導(dǎo)計(jì)算面積，如計(jì)算滑翔機(jī)模型尾翼的面積，計(jì)算水渠的橫截面的面積以及攔水壩的橫截面的面積等；而且引導(dǎo)學(xué)生解決變形的梯形面積，如讓學(xué)生計(jì)算一堆鋼管的根數(shù)。這就需要學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想、想象，將一堆鋼管最上面一層的根數(shù)看成是梯形上底的長(zhǎng)度，將一堆鋼管最下面一層的根數(shù)看成是梯形下底的長(zhǎng)度，從而將計(jì)算一堆鋼管的總根數(shù)看成是計(jì)算梯形的面積。這樣的問題，需要學(xué)生對(duì)梯形面積公式有深刻的感悟，并能對(duì)梯形的面積公式進(jìn)行靈活的應(yīng)用。通過這樣豐富性的素材，能讓學(xué)生深刻感悟梯形的面積公式，并能豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用是模型建構(gòu)的重要環(huán)節(jié)。在數(shù)學(xué)模型的遷移、應(yīng)用過程中，教師要幫助學(xué)生感悟模型，體會(huì)數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)。借助于學(xué)生自我建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生能從解決一個(gè)問題拓展、延伸到解決另一個(gè)問題，進(jìn)而拓展、延伸到解決一類問題。只有通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的積極遷移、應(yīng)用，才能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型有著更為本質(zhì)、更為深刻、更為全面的理解。