數學思想方法與數學知識相統一的教學策略探究

江蘇省無錫市新安實驗小學 朱春雷

小學數學中蘊含著豐富的數學思想方法，在小學數學教學中加強數學思想方法教學不但具有重要意義，而且切實可行。從課程目標上看，在小學除了進行數學知識和方法的教學，也要進行數學思想方法的教學。其實數學思想方法是數學的特殊內容，因此從數學的本質上來看，數學的教學是思想方法與數學知識統一的教學。而日常的教學中長期存在重知識輕思想的問題，這種功利性的片面教學，需要徹底改變，所以小學數學教學需要旗幟鮮明地提出思想方法的教學。下面以教學“3的倍數的特征”為例，探討數學思想方法與數學知識相統一的教學。

“3的倍數的特征”的教學目標是使學生經歷探索3的倍數的特征的過程，知道3的倍數的特征，能根據特征判斷一個數是不是3的倍數；使學生在探索3的倍數的特征的過程中，積累數學活動經驗，進一步培養觀察、比較、分析和歸納能力，初步學習一些數學思想方法；使學生在參與學習活動的過程中，培養主動與他人合作交流的意識，體驗數學學習活動的樂趣，增強對數學學習的自信心。

要達成上述目標，我們基于數學思想方法與數學知識相統一的教學理念，進行了下面的理論思考與教學實踐。

一、通過數學操作理解一個數各個數位上的數的和，并體會數的構成的實質

師引導學生在計數器上撥數，要求用1個珠子在計數器上撥數，最多撥出三位數，看用1個珠子最多能撥出多少個數。追問：撥出3個數，用的珠子怎么樣？（只有1個）分別用2、3、6個珠子呢？（體會各個數“數位上的數之和”）

二、回顧探索倍數特征的基本思想方法，反思特征背后的數學本質

師：我們剛剛研究過2和5的倍數的特征，誰來說2和5的倍數的特征分別是什么？

師：(追問)為什么只看個位上的數字就可以判斷？其他位上的數字難道真的就不用看？（需要看的，但是整十、整百、整千……都是2和5的倍數）

這樣做能讓學生認識到要從整體上觀察一個數的倍數。

師：今天這節課，我們用已經學會的方法并尋找新的方法來學習3的倍數的特征，大家可以先思考一下，想想3的倍數的特征是什么？

（學生自由表達自己的想法。）

師：(小結)有的學生說看個位上數字是否是3的倍數，有的學生認為要看所有數位上的數字，這些想法都需要我們去推理驗證，那請大家思考一下我們今天該怎樣去探索3的倍數的特征？

帶著問題師生逐步明確探究方法，先找出一些3的倍數，再通過觀察比較來驗證此前的猜想，并歸納出3的倍數的特征。

三、運用化歸和分類的思想整理數學知識，通過觀察分析、比較歸納等數學方法抽象概括出特征

要歸納3的倍數的特征，我們先要把3的一些倍數找出來，然后再觀察研究。學生在百數圖上圈出3的倍數。教師啟發學生有序思考：“要找3的倍數，我們先從3的幾倍開始？”（1倍）“依次找下去，想一想，100以內3的倍數有多少個？”這兩個問題是讓學生感覺到倍數問題其實也是除法問題，從而滲透聯系和互逆的思想，為以后綜合解決倍數和整除問題孕伏思想方法。找出一些倍數后，需要擬出研究的思路和具體方法，在研究2和5的倍數的特征中，大家就如同研究探索一般從簡單的開始，逐步研究復雜的，最后歸納出一般性的規律。因此教師提出問題：那么我們可以先研究幾位數，再研究幾位數？（一位數，兩位數等）

1.研究一位數中3的倍數的特征

師：請同學們在百數圖第一行中圈出3的倍數，觀察其特征。（發現一位數中，3、6、9是3的倍數，其余的都不是）

2.研究兩位數中3的倍數的特征

啟發學生運用分類思想方法把研究內容按要求進行分類，確保研究內容能有序且不重復不遺漏。提出問題：依據“在一位數中，3、6、9就是3的倍數”這個特征，我們可以根據數位上有沒有3、6、9把兩位數分成三種情況研究：（1）十位上和個位上都是3、6、9的數；（2）十位上或個位上有一位上是3、6、9的數；（3）十位上和個位上都不是3、6、9的數。

師生談話并提出研究方法：請同學們從是否是3的倍數、舉例說明、為什么是3的倍數三個方面，研究上面三種情況。研究結果如下：

（1）十位上和個位上數都是3、6、9的數。師生討論交流：是3的倍數，33、36、39……99，每一位上的數除以3都沒有余數。

（2）十位上或個位上有一位上數是3、6、9的數。不是3的倍數，13、16、19……，31、61、91，有一位上的數不是3的倍數，這個數除以3有余數。

（3）十位上和個位上數都不是3、6、9的數。情況一：是3的倍數，12、15、18……，兩位上的數合起來是3的倍數；情況二：不是3的倍數，11、13、14……，兩位數除以3有余數。

3.運用猜想驗證的思想方法來探究結論

（1）初步形成數學猜想

對研究情況進行比較篩選，發現只剩下符合兩種情況的數是3的倍數，即十位上和個位上數字都是3、6、9的數與十位上和個位上數字都不是3、6、9的數但兩位上的數合起來是3的倍數的數。再進一步分析，發現剩下的這兩種情況還可以合并成一種情況，即兩位上的數合起來是3的倍數的數，因為十位上和個位上數字都是3、6、9的數也符合這種情況。

要對猜想（兩位上的數合起來是3的倍數的數）進行數學化表述。首先，讓學生初步發現兩位上的數合起來是3的倍數的數，可以簡化成兩個數位上的數字之和是3的倍數，通過舉例來理解兩位上的數合起來。如12=9+3，3=1+2；15=9+6，6=1+5。其次，讓學生進一步發現兩個數位上的數字之和是3的倍數。例子1：顛倒12十位上和個位上的數字得到21（也是3倍數），讓學生思考為什么，因為21=18+3， 2+1 =3，數字之和3是3的倍數。例子2：根據12是3的倍數，要求個位2不變，變十位上的數，使之仍然是3的倍數，列舉出42、72。先理解42為什么是3的倍數：42=30+12，42=36+6，6=4+2，數字之和6是3的倍數。再次，完善數字之和是3的倍數的認識。追問學生：若符合上面情況，數字之和還可能是幾，讓這個數是3的倍數？舉出18、81、84、87等得出猜想：數字之和是3的倍數，這個數是3的倍數。

（2）驗證數學猜想，形成數學結論

通過四個層次來驗證猜想。第一層次，回到課前的撥數游戲，用計數器上珠子的個數來驗證。第二層次，用十位上和個位上數都是3、6、9的數來驗證。第三層次，否定式驗證：如果一個數不是3的倍數，這個數各位上數的和會是3的倍數嗎？找幾個這樣的數算一算。第四層次，知識遷移，歸納概括。思考3的倍數是三位數乃至多位數的數的特征，并用舉出的數來驗證猜想。最后歸納概括出結論：各位上數的和是3的倍數的數是3的倍數。

四、在特征的應用拓展中培養學生的聯系和發展思想

基本練習是利用特征判斷一個數是否是3的倍數，例如：29、45、67、86、96中，哪些數是3的倍數？學生可以依據3的倍數的特征，看各位上數的和是否是3的倍數來判斷。在此基礎上，聯系除法并通過分析除法算式判斷被除數是否是3的倍數，讓學生很快說出哪幾個數的得數有余數，即可判斷被除數是否是3的倍數。聯系的思想是分析解決問題的重要思想。學生掌握了3的倍數的特征后，還要進行相關的發展性的思維訓練。如讓學生判斷在3、6、12、15、18中，哪些數是6的倍數，接著思考問題：是6的倍數的數也是3的倍數嗎？為什么？讓學生闡述一個結論：因為6是3的倍數，所以6的倍數也是3的倍數。這時需要進行互逆思維訓練，讓學生思考“反之能否成立”。教師追問：3的倍數也是6的倍數嗎？最后還可以讓學生拓展思考2和4的倍數等，通過辨析理清存在倍數關系的兩個數之間的關系。

在小學進行數學思想方法教學體現了數學的本質要求，教師需要高度重視，認真實施。在小學進行數學思想方法教學的理論與實踐研究，意義深遠，不僅關系到課程目標的實現與否，還影響學生數學能力的提升和可持續發展能力的培養。實施數學思想方法和數學知識統一的教學，可以實現數學課程標準中的課程基本理念：課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法。在小學階段開展思想方法教學，既有利于促進學生掌握正確的思維方法，提高數學能力，又有利于學生為初高中數學學習打下基礎。