操作中理解 對比中遷移 探究中發(fā)現
——例談《有余數除法》

江蘇省蘇州太湖國家旅游度假區(qū)舟山實驗小學 王燕琴

《有余數的除法》是蘇教版小學數學二年級下冊第一單元的內容。這一知識的學習是建立在學生掌握了表內乘除法的基礎之上的。有余數除法和表內除法是一個有機整體，表內除法是有余數除法的基礎和起點，有余數除法是表內除法的延伸和拓展。近日，我有幸參加了市小學數學優(yōu)質課評比活動，正好執(zhí)教了這一課，下面就結合磨課歷程談一點思考。

一、注重操作，促進對知識的理解

【課前研討】

數學學習中，動手操作是學生學習、理解數學的有效方法。教材中例1對余數概念和有余數除法意義的理解，都是通過操作來實施的，從具象操作到符號表征，引導學生由淺入深理解有余數除法的意義。而通過對學生進行前測時，我們發(fā)現，學生在實際生活中有分東西剩余的經歷，他們對“余數”是有一些認知的，但對于余數的產生以及意義認識是不夠清晰的。因此，在教學時我們要聯系生活實際，創(chuàng)設真實的學生喜聞樂見的情境，運用學生已有的認知和經驗，通過操作溝通有余數除法和表內除法的關系，從而有效引導學生理解“有余數除法”的意義。

【課堂呈現】

師：大頭兒子在玩車子拼裝。10個輪子，每輛裝2個，你會分一分嗎？用一個算式表示。

生：10÷2=5（輛）

師：這個算式表示什么意思？

生：10個輪子，每輛裝2個，可以裝5輛。

師：10個輪子，2個2個地平均分，用除法表示。

師： 10個輪子，每輛裝5個，可以裝幾輛？你能用算式表示嗎？這個算式表示什么意思？

生：可以裝2輛，10÷5=2（輛），10個輪子，每輛裝2個，可以裝5輛。

師：10個輪子，每輛裝3個，結果會怎樣？請拿出10個圓片分一分。

學生操作，展臺交流：你們發(fā)現了什么？這1個還夠裝1輛嗎？

【課后反思】

抓住新舊知識的“聯結點”——平均分，創(chuàng)設大頭兒子“裝車輪”這一現實、有趣的問題情境，一方面激起了學生的探究欲望，使之積極主動地投入到“裝車輪”的活動中；另一方面依托裝車輪的問題情境，喚醒“正好分完”的舊知經驗，然后借助“平均分”這一已有經驗，將圓片3個3個地平均分，通過具體的操作豐富平均分的活動經驗，隨后在操作的基礎上引導學生用語言表達平均分的過程和結果，為后面寫除法算式做鋪墊。

二、反復比較，實現知識的遷移

【課前研討】

我們開始認為，學生在親歷操作活動，發(fā)現并理解了平均分有剩余的情況后，是能夠順利地將表內除法的概念遷移出來，正確理解有余數除法的意義。但是，在實際教學中，很多學生無法列出有余數除法的算式。我們首先從學生的認知角度進行了思考，維果茨基認為，概念學習的首要方法就是遷移，即設法把特定情境中形成的概念運用于一組新的物體或環(huán)境。事實證明，要實現從“表內除法”到“有余數除法”這一遷移很困難。這里存在著兩個認知沖突，一是平均分概念與分物分不完的沖突。學生之前認識平均分，所遇到的情況都是正好能分完的。因此，他們已經牢牢樹立了這么一個觀念：只要是能用除法表示的問題都是可以平均分的，而且沒有剩余。二是用口訣求商與不能計算之間的沖突。學生以往遇到的除法都是能用乘法口訣進行求商的，當學生發(fā)現列出的除法算式不能用乘法口訣求出商時，就認為一定是列式錯誤了，就沒法列出“10÷3=3……1”這樣的算式。

【課堂呈現】

師：觀察三次裝車輪，安裝的結果有什么不同？

生：裝2輪車、5輪車正好裝完，裝3輪車有剩余。

師：看來平均分一些物體時，會有兩種情況，有時剛好分完，有時會有剩余。

師：這種平均分正好分完的情況可以用除法算式表示，那這種平均分后有剩余的情況，你也能寫一寫算式嗎？

呈現學生的算式，觀察比較：

10÷3=3（輛）

10-1÷3=3（輛）

10÷3=3（輛）……1（個）

師：三個算式不一樣，但都想到了——除以3。10個輪子3個3個平均分，所以用10÷3表示。

師：這里都有1，這個1表示什么意思？

生：表示剩余的1個。

教師邊板書邊講述：數學上我們在商的后面加上“……”，再把剩余的個數寫在后面。

調引大江大河的水，引蓄當地水庫、湖泊的水，集蓄雨水，提取地下水，調蓄到水源性坑塘中，滿足農民生活用水要求，是關系農民群眾身體健康的民生問題。為了改善坑塘蓄水環(huán)境，應嚴格實行水源性坑塘保護、水質監(jiān)測和水質處理相結合的措施，使坑塘水質符合國家《地表水環(huán)境質量標準》和《地下水質量標準》。同時，因地制宜建立集中式供水工程和分散式供水工程，經過混凝、沉淀、過濾、消毒等工藝處理，使水質達到國家《生活飲用水衛(wèi)生標準》。再經過硬質管道入戶，讓農民喝上干凈達標的潔凈水、放心水。

【課后反思】

教學過程中，我們要充分運用直觀和算式進行對比，在對比中使學生理解什么是余數以及其意義。并且通過對比，溝通直觀表征、語言表征、符號表征之間的轉換，使學生清楚它們所表示的意思是一樣的，只是表達形式不同，從而深化對有余數除法的理解。在這一教學過程中，首先通過三次分車輪的結果進行對比，使學生明確平均分的兩種情況，“正好分完”和“分后有剩余”，緊接著讓學生試著寫算式，學生根據學習除法的經驗，平均分用除法表示，大部分學生都能寫出10÷3，但是不知道剩余的1個怎么表示，有的寫在前面“10-1”，有的加在后面，于是我們抓住這些不同的算式請學生再次進行比較：三個算式雖然不一樣，但都用了“10÷3”表示，使學生再次明確平均分用除法表示，隨后抓住1的不同表示方法進行規(guī)定寫法的引導，學生對于有余數除法意義的理解也隨著算式的自然呈現而更加深刻。

三、拾階而上，規(guī)律探究水到渠成

【課前研討】

理解“余數必須比除數小”是學生認識上的難點，教材設計了用小棒擺正方形的活動：每4根小棒擺一個正方形，用12、13、14、15、16根小棒能擺幾個正方形？學生先擺一擺，填寫除法算式中的商和余數，然后引導學生觀察、比較除法算式中的除數和余數，發(fā)現規(guī)律。但是教材上只有呈現了擺正方形這一種情況，并且余數1，2，3只出現了一次，學生對余數和除數關系的感悟不夠深刻，那么如何突破這一難點？使學生對余數和除數關系的理解水到渠成呢？

【課堂呈現】

師：搭一個正方形需要幾根小棒？8根小棒可以搭幾個正方形？（學生回答）

師：像這樣用12、13、14、15、16根小棒搭正方形，結果會怎樣？請拿出研究單，圈一圈，寫一寫。

師：17根小棒搭正方形，余數會是幾？18根、 19根呢？

師：觀察算式中的余數和除數，你有什么想說的？

生：除數都是4，余數都是1、2、3

師：余數怎么沒有4呢？

生：因為4根小棒又可以搭一個正方形，沒有余數了。

師：繼續(xù)搭五邊形，除數是5，余數可能是幾？ 可能是5嗎？

生：不可能，因為5根小棒又可以搭一個五邊形了。

師：看來，除數是5，余數只可能是1、2、3、4

師：搭六邊形，除數是6，余數可能是幾？

師：比較這些余數和除數，有什么發(fā)現？

生：我發(fā)現了余數都比除數小

【課后反思】

在探索“余數比除數小”這一規(guī)律時，我們在教材原有基礎上進行延伸，放手讓學生自己去發(fā)現余數的特點，通過在學習單上圈一圈、填一填，發(fā)現余數總在1、2、3之間變化，完成縱向探究；然后再讓學生猜想搭五邊形、六邊形，余數可能是幾，進行橫向探究，在豐富的活動材料支撐下，學生得出“余數比除數小”這一規(guī)律便是呼之欲出了。三次搭小棒活動，學生一步步自主經歷知識的發(fā)現過程，獲得成功的體驗。

波利亞指出“學習最好的途徑是自己去發(fā)現”。因此，我們在概念教學時， 要根據學生已有的知識和經驗，引導學生動手操作，觀察分析、抽象概括， 自覺獲取事物的本質屬性和規(guī)律。本節(jié)課，在具體的情境中理解概念，重視引導學生在具體的情境中理解數學知識，從直觀、形象、具體的材料入手，讓學生經歷具體問題“數學化”的過程，在觀察、猜測、操作和歸納等活動中自主、合作探究形成自己的認識，使學生在獲得間接經驗的同時獲得直接經驗。