時間尺度上Lagrange 系統的Hojman 守恒量1)

張 毅 田 雪 翟相華 宋傳靜

* (蘇州科技大學土木工程學院,江蘇蘇州 215011)

? (南京理工大學理學院,南京 210094)

** (蘇州科技大學數學科學學院,江蘇蘇州 215009)

引言

力學系統的對稱性與守恒律密切相關.通過研究對稱性而探索或發現復雜力學系統的守恒律,這是分析力學研究的一個重要方面[1-2].Lie 對稱性[3-9]、Noether 對稱性[10-20]和Mei 對稱性[21-28]是3 種概念不同的對稱性方法.利用對稱性和守恒律,可以簡化動力學問題甚至求解力學系統的精確解,從而更好地理解其動力學行為.微分方程的Lie 理論最早由Lutzky[29]引入力學系統,所得守恒量是Noether 型的.Hojman[30]由Lie 對稱性直接導出一類不屬于Noether 型的守恒量,稱之為Hojman 守恒量[21].Hilger[31]于1990 年提出了測度鏈上的分析理論,而時間尺度作為測度鏈的特殊情形備受關注[32-34].時間尺度分析不僅是連續分析和離散分析的統一,而且是經典微積分對任意時間尺度的拓廣.Bartosiewicz和Torres[35]首先開展時間尺度上Noether 對稱性的研究,此后關于時間尺度上Noether 定理及其證明的探討至今仍方興未艾[36-42].但是,時間尺度上Lie 對稱性直到最近才有一些初步的研究且所得守恒量均為Noether 型的[43-46].鑒于此,本文將研究并給出由時間尺度上Lie 對稱性直接導出的非Noether 型的新型守恒量.

1 時間尺度微積分

為方便讀者,這里對時間尺度微積分做一簡單介紹,詳見文獻[32-33].

設 T 是一個時間尺度,即實數集 R 的任意非空閉子集,如實數集 R、整數集Z、非負整數集N0或[1,3]∪N .前跳算子σ (t)=inf{s∈T:s＞t} 和后跳算子 ρ (t)=sup{s∈T:s＜t} 是關于時間尺度的兩個重要的量.若 σ (t)=t,稱點t∈T 右稠密,σ (t)＞t則右發散;若 ρ (t)=t,稱點t∈T 左稠密,ρ (t)＜t則左發散.相鄰點的位置關系在時間尺度上可用向前或向后步差函數 μ (t)=σ(t)-t或 υ (t)=t-ρ(t) 描述.

2 時間尺度上運動微分方程

時間尺度上Lagrange 方程為[28]

3 時間尺度上Lagrange 系統的兩個重要關系式

本節推導時間尺度上Lagrange 系統的兩個重要關系式,它們是推導時間尺度上Hojman守恒量的基礎.

式(19)和式(21)是時間尺度上Lagrange 系統導數運算的兩個重要關系式.

4 時間尺度上Lie 對稱性

在時間尺度上引進無限小變換

依據微分方程在單參數Lie 變換群下的不變性,可定義時間尺度上Lagrange 系統的Lie 對稱性,即

定義1.對于時間尺度上Lagrange 系統(5),當且僅當

則變換式(22)是Lie 對稱性的.

方程(24)可寫為

稱方程(25)或式(26)為時間尺度上Lie 對稱性確定方程.

5 時間尺度上Lie 對稱性定理

由Lie 對稱性可直接導出時間尺度上一類新守恒量,即有:

定理1.對于時間尺度上Lagrange 系統(5),如果變換式(22)是Lie 對稱性的,并假設所有函數對其變量的混合delta 偏導數連續,且存在函數ψ=ψ(qs)使得

則該系統存在新的守恒量,形如

其中

證明:將式(28)按方程(6)對時間t求delta 導數,得

根據假設,所有函數對其變量的混合delta 偏導數連續,因此函數 ξs和 αs對變量qs和求delta 偏導數以及普通偏導數的次序可交換[33].利用關系式(19)和式(21),有

注意到 ψ =ψ(qs),因此有

將式(31)～ 式(33)代入式(30),得到

將確定方程(25)和式(27)代入上式,有

因此,式(28)是該系統的守恒量.證畢.

定理1 可稱為時間尺度上Lagrange 系統的Lie 對稱性定理.式(28)可稱為時間尺度上Hojman守恒量,它是由Lie 對稱性直接導致的.

對于任意時間尺度,守恒量(28)中函數 Ξ 一般不等于零.函數 Ξ 出現的原因在于任意時間尺度上delta 偏導數不同于普通偏導數,而當時間尺度T=R時兩者是一致的.實際上,若取 T =R,則有

因此 Ξ =0,于是定理1 退化為

定理2.對于經典Lagrange 系統,如果無限小變換(22)是Lie 對稱性的,且存在函數 ψ =ψ(qs) 滿足條件是該系統的守恒量.

定理2 與文獻[30]的結果一致.

6 算例

例.設時間尺度為 T ={2m:m∈N0},研究兩自由度Lagrange 系統,其Lagrange 函數為

試研究該系統的Lie 對稱性,并求出對應的Hojman守恒量.

時間尺度上Lagrange 方程(5)給出

注意到,對于時間尺度上任意函數u(t),有關系

因此,方程(40)可解出

確定方程(25)給出

與生成元式(44)和式(45)相應的變換是Lie 對稱的.方程(27)給出

方程(46)有解

根據定理1,由式(44),式(45)和式(47),得到

這是時間尺度上Lie 對稱性式(44)和式(45)導致的Hojman 守恒量.如果取初始條件為q1(1)=1,q2(1)=0 ,q1(2)=2,q2(2)=1 ,在時間尺度為T=上計算運動軌跡q1,q2和守恒量I1,I2的值,其結果如圖1 所示.圖1 中具體的數據如表1 所示.

表1 時間尺度 T =上 q 1,q2,I1,I2 的值Table 1 The values of q 1,q2,I1,I2 on the time scale T=

圖1 時間尺度 T = 上 q 1,q2,I1,I2 的值Fig.1 Simulations of q 1,q2,I1,I2 on the time scale T=

如取 T =hZ+,h為常 數,則 σ (t)=t+h,μ (t)=h,Lie 對稱性式(44)和式(45)成為

守恒量式(48)和式(49)成為

仍取上述初始條件,令h=1 ,在時間尺度為 T =Z+上計算運動軌跡q1,q2和守恒量I1,I2的值,其結果和數據如圖2 和表2 所示.

圖2 時間尺度 T =Z+ 上 q 1,q2,I1,I2 的值Fig.2 Simulations of q 1,q2,I1,I2 on the time scale T=Z+

表2 時間尺度 T =Z+ 上 q 1,q2,I1,I2 的值.Table 2 The values of q 1,q2,I1,I2 on the time scale T=Z+

這里只取了t∈[1,10],實際上隨著時間的增加,仍有I1≡-4和I2≡4 .由此可知式(52) 和式(53)是守恒量,再次驗證了定理1 的正確性.

若取 T =R ,則 σ(t)=t,μ(t)=0,Lie 對稱性式(44)和式(45)成為

守恒量式(48)和式(49)成為

這是經典情形的Hojman 守恒量.

7 結論

本文將Lie 對稱性方法拓展到時間尺度上Lagrange 系統,給出了時間尺度上Hojman 守恒量.主要貢獻在于:一是利用時間尺度微積分的基本性質導出了時間尺度上Lagrange 系統導數運算的兩個重要關系式.這是推導Hojman 守恒量的基礎;二是由Lie 對稱性直接推導得到了時間尺度上Lagrange系統的Hojman 類型的守恒量.該守恒量不依賴于Lagrange 函數的結構而僅取決于Lie 對稱性變換的生成元.文中以時間尺度上兩自由度系統為例,給出了 T =,T =hZ 以及 T =R,3 種情形下的Hojman守恒量,并通過數值模擬驗證了結果的正確性.當時間尺度取為實數集時,本文結果退化為經典Lagrange 系統的Hojman 守恒量.文章的方法和結果可進一步推廣和應用,如時間尺度上非完整系統,時間尺度上Birkhoff 系統等.